B. Oleś
1
Jest to
zasada superpozycji fal.
4. Superpozycja i interferencja fal
Jeśli w danym ośrodku rozchodzi się równocześnie kilka fal, to
wypadkowy ruch cząstek ośrodka jest złożeniem ruchów, które
wykonywałyby cząstki podczas rozchodzenia się każdej fali z osobna.
Wynika ona z postaci równania falowego.
Jeśli każda z funkcji
1
i
2
spełnia równanie falowe, to ich
suma
1
+
2
również musi go spełniać.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Z zasady superpozycji wynika
możliwość rozróżniania różnych
dźwięków, kiedy jednocześnie
docierają do naszego ucha,
ponieważ wypadkowa fala jest
algebraiczną sumą fal
pochodzących z różnych źródeł.
B. Oleś
2
Zobaczmy, jaki jest efekt złożenia dwóch fal harmonicznych
biegnących o jednakowych okresach T, amplitudach A i długościach
wysyłanych przez dwa źródła, różniących się tylko fazą
:
)
(
sin
)
(
sin
)
,
(
)
,
(
2
1
t
kx
A
t
kx
A
t
x
t
x
.
2
)
(
sin
2
cos
2
t
kx
A
amplituda fali
wypadkowej
Widzimy, że amplituda fali wypadkowej zależy od fazy
.
Wypadkowa funkcja falowa jest również harmoniczna i ma tą samą
częstość
i długość fali
co fale składowe.
4.1. Superpozycja fal biegnących
Fala wytworzona w ośrodku otwartym,
której rozchodzeniu towarzyszy transport
energii nosi nazwę
fali biegnącej
(bieżącej).
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
3
Jeśli
=2n
amplituda fali
wypadkowej jest
sumą
amplitud fal interferujących.
x
Jeśli
=(2n+1)
następuje
wygaszenie fal
.
x
x
Przypadek pośredni
W przypadku zmiennej różnicy faz interferencja nie zajdzie.
Powstanie w przestrzeni, w wyniku nakładania się fal, obszarów drgań
wzmocnionych i wygaszonych zależy od względnej fazy
fal.
.
2
)
(
sin
2
cos
2
t
kx
A
Jeśli drgania wywołane przez fale w każdym z punktów ośrodka mają
stałą różnicę faz, fale nazywamy
spójnymi
. Ich nakładanie prowadzi do
zjawiska interferencji
.
n =0,
1,
2,…
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
4
4.2. Fale stojące
Jeśli interferują ze sobą dwie fale o tym samym
okresie, amplitudzie lecz biegnące w przeciwne
strony powstaje
fala stojąca
:
.
2
cos
2
sin
2
t
kx
A
Fala ta posiada częstość kołową
i amplitudę zależną od x:
2
sin
2
kx
A
Dla uproszczenia przyjmijmy
=0. Wówczas amplituda
kx
Asin
2
osiąga wartość maksymalną 2A w punktach spełniających warunek:
,...
2
,
1
,
0
,
4
)
1
2
(
|
|
2
/
)
1
2
(
n
n
x
n
kx
Punkty te noszą nazwę
strzałek
.
W punktach zwanych
węzłami
amplituda maleje do zera i cząsteczki w
nich nie wykonują drgań:
,...
2
,
1
,
0
,
2
|
|
n
n
x
n
kx
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
),
(
sin
)
(
sin
)
,
(
)
,
(
2
1
t
kx
A
t
kx
A
t
x
t
x
W piszczałkach organowych
powstają dźwiękowe fale stojące
B. Oleś
5
x
x
x
wę
zły
str
za
łki
t=0
t=T/4
t=T/2
str
za
łki
str
za
łki
str
za
łki
wę
zły
wę
zły
wę
zły
Odległość między sąsiednimi
strzałkami, podobnie jak i
sąsiednimi węzłami wynosi
/2.
Natomiast strzałki odległe są
od węzłów o
/4.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
6
4.3.Fale stojące w strunie
Rozważmy strunę o długości l. Wzbudzona w niej fala stojąca
musi mieć węzły w punktach mocowania, zatem jej długość
musi spełniać warunek:
,...
2
,
1
,
2
n
n
l
n
,...
2
,
1
,
/
2
n
n
l
n
l
Możliwe jest powstanie nieskończenie wielu fal harmonicznych,
nazywamy je
drganiami własnymi
(
drganiami normalnymi
), a ich
częstotliwości f
n
częstotliwościami drgań własnych
:
,...
2
,
1
,
2
2
n
F
l
l
n
f
n
n
n
v
v
F- naprężenie struny,
-
gęstość liniowa
l
f
2
1
v
Najniższa częstotliwość dla n=1,
to
częstotliwość podstawowa.
A wyższe noszą nazwę
wyższych harmonicznych.
Zmiana f
n
poprzez zmianę
l
lub F.
Fala stojąca może być wzbudzona w napiętej strunie (np.
skrzypiec) sztywno umocowanej na obu końcach, gdy
nakładają się fale padająca i odbita.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK,
2009/10
B. Oleś
7
Jeśli struna zostanie pobudzona do drgań
przez bodziec zewnętrzny z częstością
równą lub niewiele się różniącą od częstości
drgań własnych zajdzie
zjawisko rezonansu
.
Zazwyczaj przez szarpanie struny wzbudza się drganie, w którym
występuje
drganie podstawowe
i
wyższe harmoniczne
.
Swobodne i wymuszone drgania struny są
superpozycją wielu drgań normalnych.
W przypadku omawianego zjawiska rezonansu dla układu sprężyna -
ciężarek występowała
tylko jedna częstość rezonansowa
, bo
bezwładność posiadał tylko jeden element-ciężarek, a własności
sprężyste drugi – sprężyna.
Istniał tylko jeden sposób wymiany pomiędzy energią kinetyczną
masy a energią potencjalną deformowanej sprężyny.
Istnieje wiele sposobów wymiany pomiędzy kinetyczną i
potencjalną formą energii drgań, zależnie od wartości n.
Był to
układ o elementach skupionych
.
O napiętej strunie mówimy, że ma
elementy rozłożone
, ponieważ każdy
jej element charakteryzuje się jakąś bezwładnością i sprężystością.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
8
Ważną cechą fali stojącej jest to, ze nie przenosi ona przez ośrodek
energii. Energia każdej cząsteczki jest stała i pozostaje związana z
cząsteczką podczas wykonywania przez nią drgań harmonicznych
wokół położenia równowagi. Całkowita energia pozostaje stale w
obrębie granic układu.
Równanie fali stojącej ma postać drgania harmonicznego:
t
kx
A
cos
)
sin
2
(
Wszystkie punkty struny (z wyjątkiem węzłów)
oscylują z tą samą częstością
,
ale mają różne
amplitudy.
Ponieważ węzły są nieruchome, przez punkty te
nie przepływa energia.
Falę taką można sobie wyobrazić jako układ
oscylatorów drgających równolegle do siebie.
t=0
p
k
E
E
E
,
0
k
p
E
E
E
,
0
t=T/4
t=0
W układach zamkniętych, o ściśle określonych granicach powstają
fale stojące. (
porównaj: fale biegnące
!).
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
9
5. Fale akustyczne
Falami akustycznymi (dźwiękowymi) nazywamy
fale sprężyste rozchodzące się w dowolnym
ośrodku i charakteryzujące się częstotliwościami
z przedziału od 16 do 20 000Hz. Takie fale
docierając do ludzkiego ucha wywołują wrażenie
dźwięku.
Fale o częstotliwościach mniejszych od 16 Hz to infradźwięki,
o wyższych od 20kHz – ultradźwięki.
dźwięk? co
to takiego?
Źródłami fal akustycznych są drgające pręty, struny, membrany,
słupy powietrza, ogólnie: ciała sprężyste pobudzone do drgań za
pomocą zewnętrznych bodźców.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
10
Rozchodząca się w ośrodku fala akustyczna jest
falą podłużną
.
Cząsteczki ośrodka wykonują drgania w kierunku ruchu fali, w
wyniku czego powstają następujące po sobie obszary zwiększonego
i obniżonego ciśnienia, czyli jego zagęszczenia i rozrzedzenia.
V
p
V
B
/
B - stosunek przyrostu ciśnienia do względnej zmiany objętości
wywołanej taką zmianą ciśnienia:
Prędkość fal:
/
E
v
Prędkość fali akustycznej w ciele stałym zależy od własności sprężystych ośrodka,
które charakteryzuje moduł Younga
E oraz od gęstości
=
m/V:
W cieczach i gazach prędkość dźwięku zależy od ściśliwości
(sprężystości objętościowej) ośrodka, którą charakteryzuje
moduł ściśliwości B oraz bezwładności ośrodka i charakte-
ryzującej ją gęstości
:
/
B
v
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
.
v
bezwładność
własności sprężyste
http://www.pbase.com/jjnv/disneyland
l
l
E
/
E - stosunek naprężenia
=F/S do względnej zmiany
długości wywołanej takim naprężeniem:
B. Oleś
11
v
głośnik
drgania molekuł
zagęszczenie rozrzedzenie
(x,t
) – przemieszczenie względem położenia równowagi x, w chwili
t, w kierunku propagacji fali,
p
- zmiana ciśnienia w x w chwili t .
5.1. Natężenie fali akustycznej
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
)
(
sin
)
,
(
2
1
t
kx
A
t
x
Falę dźwiękową można traktować jako
falę ciśnieniową
, przesuniętą o 90
0
względem fali przemieszczeń
(x,t),
np. dla
:
),
sin(
t
kx
p
p
m
,
A
p
m
v
(amplituda ciśnienia)
(gdzie k =2
/
– liczba falowa,
f
π
2
- częstość kołowa)
B. Oleś
12
Natężenie fali I
to średnia moc P
śr
przenoszona przez jednostkowy
element powierzchni S ustawiony prostopadle do kierunku
rozchodzenia się fali:
Dla fali akustycznej: ,
,
/ S
P
I
śr
2
2
2
1
A
B
I
natężenie harmonicznej
fali dźwiękowej
Ze względu na szeroki zakres natężeń, na który reaguje ludzkie ucho
w akustyce wprowadza się
poziom natężenia fali akustycznej
:
0
log
I
I
2
12
0
W/m
10
I
Próg słyszalności
– natężenie najsłabszego
dźwięku:
Jednostką jest 1B (bel) i 1dB=0,1B.
Szkodliwy hałas powyżej 85dB.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
,
2
2
2
1
v
A
P
śr
/
B
v
(B - moduł ściśliwości,
- gęstość)
i dostajemy
B. Oleś
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
13
Szmery, huki, za które odpowiedzialne są
fale nieperiodyczne,
http://www.navaching.com/shaku/shaku.gifs/timbre2.gif
http://i.ehow.com/images/GlobalPhoto/Ar
ticles/4866933/147739-main_Full.jpg
dźwięki, za które odpowiedzialne są
okresowe fale niesinusoidalne będące
złożeniem pewnej liczby tonów.
Tony, wywoływane przez fale harmoniczne o
określonej częstotliwości, np. drgający kamerton,
Wrażenia słuchowe wywołane przez
fale akustyczne:
5.2. Odbieranie dźwięków prze ludzkie ucho
B. Oleś
14
Słyszalne dźwięki charakteryzują się:
wysokością
, którą jest związana z częstotliwością drgań,
głośnością
dźwięku zależną od energii niesionej przez fale akustyczne, czyli
natężenia dźwięku oraz jego częstotliwości.
(fale harmoniczne o określonej częstotliwości noszą nazwę
tonów
)
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
barwą dźwięku
, o której decyduje
widmo akustyczne
, czyli charakterystyczne dla
danego źródła dźwięku nakładanie się na podstawowe drgania harmoniczne (mod
podstawowy) drgań harmonicznych o większych częstotliwościach
(zestaw tonów).
Gdy na różnych instrumentach grana jest ta sama nuta,
której odpowiada pewna częstotliwość podstawowa, to już
wyższe harmoniczne tych instrumentów będą się różnić
natężeniami. Stąd powstające fale wypadkowe różnią się
między sobą brzmieniem i możliwe jest rozróżnienie
wysyłających je instrumentów.
Głośność to subiektywne odczucie natężenia dźwięku. Ale przy stałym natężeniu
dźwięki niskie i wysokie wydają się cichsze niż dźwięki o średniej częstotliwości (2 - 4
kHz). Ma to bezpośredni związek z czułością ucha, które w tym zakresie wykazuje
największą wrażliwość.
B. Oleś
15
5.3. Efekt Dopplera
Kiedy źródło dźwięku i odbiornik poruszają się względem siebie
obserwujemy zjawisko zmiany częstotliwości dźwięku, zwane
efektem Dopplera.
Jedziesz samochodem i nagle rozlega się dźwięk syreny samochodu policyjnego.
Skąd nadjeżdża? Jest za tobą, czy przed? Można zorientować się po wysokości
dźwięku.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
16
Rozpatrujemy przypadek, gdy źródło i odbiornik poruszają się względem
siebie wzdłuż łączącej je prostej.
0
0
T
u
z
Gdy źródło porusza się względem
obserwatora (odbiornika) z szybkością ,
to podczas jego zbliżania do obserwatora
docierają fale o długości:
z
u
(ponieważ odległość między kolejnymi
powierzchniami falowymi maleje o )
T
u
z
Czas, po którym kolejna powierzchnia falowa dotrze do odbiornika
jest krótszy i wynosi T.
f,
v
vT
/
0
0
0
/ f
T
v
v
,
v
v
0
0
f
u
f
f
z
Źródło wysyła fale dźwiękowe o częstotliwości i długości
0
poruszające się z szybkością .
0
0
/
1 T
f
v
Odbierana częstotliwość
dźwięku rośnie.
z
u
f
f
v
v
0
Gdy źródło się oddala,
częstotliwość maleje.
z
u
f
f
v
v
0
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
17
Dla obserwatora poruszającego się w kierunku źródła
dźwięk ma większą prędkość względną:
v
o
u
o
u
v
v'
i rejestruje on więcej maksimów
fal niż będąc w spoczynku.
Stąd wysokość docierającego
dźwięku jest dla niego wyższa
niż rzeczywista:
,
0
0
o
u
v
v'
f
,
0
f
u
o
v
v
f
Dla obserwatora oddalającego się
od źródła dźwięku:
,
0
f
u
o
v
v
f
Przy wzajemnym ruchu źródła dźwięku i
obserwatora z powyższych wzorów dostaniemy:
,
0
f
u
u
z
o
v
v
f
(Górne znaki odnoszą się do zbliżania, dolne do oddalania źródła i obserwatora.)
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
18
Efekt Dopplera dla fal dźwiękowych jest określony przez prędkość
ruchu źródła i odbiornika względem ośrodka, w którym rozchodzi
się dźwięk.
W głębinach morskich, gdzie nie dociera światło, łodzie podwodne używają
urządzeń zwanych sonarami, pozwalających im orientować się w otoczeniu
.
Fale akustyczne, emitowany przez sonar, po odbiciu od obiektu
powracają. Wykorzystanie efektu Dopplera pozwala dodatkowo określić
jego prędkość.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Zastosowania efektu Dopplera
B. Oleś
19
Zastosowanie ultradźwięków i
efektu Dopplera w medycynie –
USG do badanie przepływu krwi.
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
20
5.4. Dudnienia
Co zaobserwujemy wzbudzając do drgań
dwa kamertony o różnych częstościach ?
Każdy z nich emituje ton, który rozprzestrzenia się w postaci fali
głosowej i dociera do naszego ucha. Drgania błony bębenkowej są
superpozycją dwu drgań harmonicznych:
),
(
sin
)
(
sin
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
2
1
t
kx
A
t
kx
A
t
x
t
x
).
(
sin
)
(
sin
)
(
)
(
2
2
1
1
2
1
t
A
t
A
t
x
t
x
x
wyp
B. Oleś
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
21
t
A
t
A
t
x
t
x
x
wyp
2
1
2
1
sin
sin
)
(
)
(
Rozważmy superpozycję dwu drgań harmonicznych o jednakowym
kierunku i zbliżonych częstościach
1
i
2
.
Dla uproszczenia przyjmujemy jednakowe amplitudy i fazy obu drgań równe zeru.
,
2
cos
2
sin
2
2
1
2
1
t
t
A
.
sin
cos
2
śr
mod
t
t
A
x
,
2
2
1
śr
,
2
2
1
mod
.
cos
2
)
(
mod
mod
t
A
t
x
Dostaliśmy równanie drgania harmo-
nicznego o częstości
śr
i pulsującej,
wolnozmiennej amplitudzie:
T
mod
T
,
4π
/
π
2
2
1
śr
T
,
4π
/
π
2
2
1
mod
mod
T
B. Oleś
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
22
.
cos
4
)
(
mod
2
2
2
mod
t
A
t
x
T
mod
T
2
mod
x
t
1 dudnienie
Nasze ucho rejestruje kwadrat amplitudy, czyli:
Częstość powtarzania się
maksymalnego natężenia
dźwięku –
częstość
dudnień
- jest dwukrotnie
większa od częstości
modulacji:
,
2
2
1
mod
dud
Nasze ucho potrafi rozróżnić dwa dźwięki docierające do niego
równocześnie, jeśli różnią się częstotliwościami więcej niż o 6% ich
średniej wartości.
Jeśli różnią się o mniej niż o 10 Hz raczej nie zarejestrujemy ich
w postaci odrębnych tonów, lecz jako pojedynczy dźwięk o
częstotliwości f
śr
i wolnozmiennej amplitudzie.
Wykorzystanie dudnień przy strojeniu
instrumentów muzycznych.
B. Oleś
Wykład 8 Wydz.Chemii PK, 2009/10
23
Wykorzystanie dudnień
przy strojeniu instrumentów muzycznych.
przy określaniu szybkości obiektów podwodą (częstotliwość fali
odbitej od poruszającego się obiektu różni się od częstotliwości fali
wysyłanej na skutek efektu Dopplera)
w angielskim gwizdku policyjnym (posiadającym dwie piszczałki!).
http://www.gdcanada.com/content/53ac10af-9e37-470f-a879-
f28cd680b11f/images/gdcanada-integrated-sonar-suite.jpg