Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i 
Informatyki 

 

Laboratorium Teorii Obwodów 

Przedmiot: Elektrotechnika teoretyczna 

 

 

Numer ćwiczenia: 

2 

 

Temat: Zasada superpozycji i 
wzajemności  

 

I.   Wprowadzenie 

Zasada  superpozycji,  czyli  "nakładania  się"  umożliwia  rozkład  obwodu  złożonego  z 

większej  ilości  źródeł  prądu  lub/i  napięcia  na  obwody  składowe  i  analizę  układów  osobno. 
Zasadę superpozycji definiujemy w następujący sposób: 

Odpowiedź obwodu liniowego na jednoczesne działanie kilku wymuszeń jest równa sumie 

odpowiedzi obwodu na każde z wymuszeń z osobna.  

Obwodem  liniowym  nazywamy  obwód  spełniający  warunki  jednorodności  i 

addytywności. Obwód jednorodny to obwód, który na wymuszenie u reaguje odpowiedzią y, a 
na  wymuszenie  c∙u  odpowiedzią  c∙y.  Natomiast  obwód  addytywny  to  obwód,  który  na 
wymuszenia u

1

 i u

2

 reaguje odpowiedzią y

1

 i y

2

, a na wymuszenie  u

1

 + u

2

 odpowiada sumą 

y

1

 + y

2

. 

Na  podstawie  zasady  superpozycji  można  stwierdzić,  iż  prąd  w  dowolnym  elemencie 

układu  liniowego  jest  sumą  algebraiczną  prądów  przepływających  przez  ten  element  w 
wyniku oddziaływania na niego każdego źródła z osobna. Ze względu na liniową zależność 
między prądami a napięciami w układzie zasada ta obowiązuje również w przypadku napięć. 
Ilustrację zasady superpozycji przedstawiono na rysunku 1.  

 

 

Rysunek 1. Ilustracja zasady superpozycji. 

 

E

1

 

E

2

 

R

1

 

R

2

 

R

4

 

R

3

 

1' 

2' 

1" 

2" 

I

1

 

I

2

 

I

3

 

I

4

 

= 

+ 

R

1

 

R

2

 

1" 

2" 

E

1

 

R

4

 

R

3

 

1' 

2' 

I

1

' 

I

2

' 

I

3

' 

I

4

' 

1" 

2" 

1' 

2' 

E

1

 

E

2

 

R

1

 

R

2

 

R

4

 

R

3

 

I

1

'' 

I

2

'' 

I

3

'' 

I

4

'' 

Zasadę  superpozycji  można  zastosować  w  przypadku  układów  zawierających  wiele 

źródeł. W takich układach można dokonać analizy prądów i napięć w obwodzie dla każdego 
źródła osobno, a następnie obliczyć sumę algebraiczną poszczególnych wartości. Należy przy 
tym pamiętać, że impedancje źródeł pomijanych w danym układzie składowym nadal należy 
uwzględniać  podczas  obliczeń:  w  przypadku  źródła  napięciowego  impedancja  źródła  jest 
równa  zero  (zaciski  źródła  należy  zewrzeć),  a  w  przypadku  źródła  prądowego  admitancja 
źródła jest równa zero (zaciski źródła należy pozostawić rozwarte).  

Zasadę wzajemności obrazuje rysunek 2. Zasadę tą można przedstawić następująco:  

Jeżeli  w  n-tą  gałąź  obwodu  (liniowego)  pasywnego  włączy  się  idealne  źródło  napięcia, 

które w m-tej gałęzi wymusza prąd I

m

, to włączenie źródła do m-tej gałęzi wymusi prąd I

n

 w 

gałęzi n-tej, przy czym jeśli w obwodzie E

n

 = E

m

, to również I

n

 = I

m

, a rezystancja wzajemna 

gałęzi n i m obwodu pasywnego są sobie równe.  

 

 

Rysunek 2. Ilustracja zasady wzajemności. 

 

II. Przebieg ćwiczenia 
 

Celem  ćwiczenia  jest  praktyczna  ilustracja  słuszności  zasady  superpozycji  i  zasady 

wzajemności. 

Zasada superpozycji 

W pierwszej części ćwiczenia sprawdzana będzie zasada superpozycji. W tym celu należy 

wykorzystać  układ  udostępniony  na  płytce  drukowanej.  Schemat  układu  przedstawiono  na 
rysunku 3. 

 

Rysunek 3. Schemat układu wykorzystywanego do sprawdzenia zasady superpozycji. 

R

m

 

I

m

 

R

n

 

E

n

 

m

 

m'

 

n

 

n'

 

I

m

 

R

n

 

m

 

m'

 

n

 

n'

 

E

m

 

I

n

 

R

m

 

I

1

 

I

2

 

 

E

1 

= 25 V 

 

E

2 

= 15 V 

 

R

1 

= 4,7 k  

 

R

2 

= 3,9 k  

 

R

3 

= 5,6 k  

 

R

4 

= 1,0 k  

 

R

5

= 5,6 k  

 

R

6 

= 1,8 k  

 

R7

 

= 1,0 k  

 

E

1

 

E

2

 

R

7

 

R

6

 

R

3

 

R

4

 

R

5

 

1' 

2' 

1" 

2" 

I

3

 

I

7

 

I

6

 

I

4

 

R

1

 

R

2

 

Układ  badawczy  należy  połączyć  ze  wskazanych  przez  prowadzącego  przyrządów 

pomiarowych,  a  przed  przystąpieniem  do  realizacji  zadania  spisać  dane  z  tabliczek 
znamionowych  urządzeń  pomiarowych  (klasę  urządzeń),  ustawić  przewidywany  zakres 
pomiarowy  na  amperomierzu  oraz  odczytać  klasę  elementów  występujących  w  układzie 
pomiarowym  (dokładność  procentową).  Po  podłączeniu  układu  należy  poprosić 
prowadzącego o sprawdzenie poprawności połączeń.

 

 

Pomiary  natężenia  prądu  w  poszczególnych  gałęziach  obwodu  należy  przeprowadzić  w 

trzech etapach: 

1.  I' – przy włączonej SEM E

1

 i wyłączonej SEM E

2

 (zwarte zaciski 1", 2"). 

2.  I" – przy włączonej SEM E

2 

i wyłączonej SEM E

1

 (zwarte zaciski 1', 2'). 

3.  I = I' + I" – przy włączonych SEM E

1 

i E

2.

 

Należy  zwrócić  szczególną  uwagę  na  kierunek  przepływu  prądu  (dokładnie  przepisać 

wskazanie amperomierza). 

Wyniki  pomiarowe  oraz  zakres  pomiarowy  należy  zapisać  w  tabeli  pomiarowej  nr  1 

(dołączonej do instrukcji).  

 

Zasada wzajemności 
W  drugiej  części  ćwiczenia  sprawdzana  będzie  zasada  wzajemności.  Pomiary  wykonać 

należy dla zmodyfikowanego układu pomiarowego z rysunku 3. Schemat zmodyfikowanego 
układu przedstawiono na rysunku 4.   

Pomiar należy przeprowadzić według następującej kolejności: 

1.  Nastawić SEM E =25V. 

2.  Odczytać wartość prądu na amperomierzu I

A

. 

3.  Zamienić  miejscami  SEM  z  amperomierzem  i  odczytać  wartości  prądu  na  amperomierzu 

I 

'

A

. 

 

 

 

 

E

1

 

R

1

 

R

2

 

R

7

 

R

6

 

R

3

 

R

4

 

R

5

 

I

1

 

I

2

 

A 

Rysunek 4. Schemat układu. 

 

 

III. Uwagi do sprawozdania 

 

Na  podstawie  przeprowadzonych  pomiarów  należy  wykonać  sprawozdanie  z 

wykonanego ćwiczenia. W sprawozdaniu należy zawrzeć: 

1.  Cel i metodykę ćwiczenia. 

2.  Schematy  układów  pomiarowych  wraz  z  dokładnym  opisem  elementów  układu  i 

parametrami urządzeń pomiarowych. 

3.  Przedstawić wyniki pomiarowe w tabelach. 

4.  Przeprowadzić analizę błędu pomiarowego. 

5.  Przeprowadzić analizę analityczną układów pomiarowych i obliczyć wartości prądów 

dla  poszczególnych  układów,  a  następnie  porównać  wyniki  obliczeń  z  wynikami 
uzyskanymi podczas pomiarów. 

6.  Sformułować i przedstawić wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia. 

 

IV. Zagadnienia teoretyczne 
 

1.  Omówić przebieg ćwiczenia: 

a.  cel ćwiczenia, 

b.  w jaki sposób sprawdzona zostanie zasada superpozycji a w jaki wzajemności 

– jakie wielkości i w jaki sposób będą mierzone podczas ćwiczenia. 

c.  układy pomiarowe wykorzystane podczas ćwiczenia. 

2.  Zasada superpozycji w układach zawierających źródła napięciowe i prądowe – omów 

na przykładzie takiego obwodu. 

3.  Zastosuj zasadę superpozycji do analizy układu przedstawionego na rysunku 3. 

 

V. Literatura 

1.  R. Sikora, Elektrotechnika teoretyczna, Wydawnictwo Uczelniane PS, Szczecin 1990 

2.  M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, tom I Obwody liniowe i nieliniowe, 

PWN. 

3.  S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 

Warszawa, Wydanie V 

 

Tabela 1. Tabela pomiarowa układu badania zasady superpozycji. 

Lp. 

I

n

' 

[mA] 

I

n

" 

[mA] 

(I

n

'+I

n

")

obliczone

 

[mA] 

Uwagi 

1 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

6 

 

 

 

 

7 

 

 

 

 

 

 

 

podpis 

prowadzącego: 

 

 

 

 

 

Tabela 2. Tabela pomiarowa układu badania zasady wzajemności. 

Lp. 

I

A

 

[mA] 

I

A

' 

[mA] 

Uwagi 

1 

 

 

 

 

 

podpis 

prowadzącego: