Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012 - termin dodatkowy
1. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły V opisanej nierównościami
x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4z,
x
2
+ y
2
¬ z
2
,
y 0
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Sprawdzić, czy całka
Z
L
2(xe
−y
− 1)dx + (e
y
− x
2
e
−y
)dy
nie zależy od drogi całkowania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
(x
2
+ y
2
)dx +
1
2
(x + y)
2
dy,
gdzie K jest brzegiem trójkąta o wiechchołkach (2, 2), (1, 3) i (1, 1) zorientowanym dodatnio.
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego ~
W = [xy ln z
2
, cos(x + yz), e
xyz
].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania
y
0
+ tgx y = y
2
sin x
spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie (y
2
cos x − 3x
2
y − 2x)dx + (2y sin x − x
3
+ ln y)dy = 0 jest
równaniem różniczkowym zupełnym.
4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y
000
− 9y
0
= x
2
− 3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
a)
∞
X
n=1
√
n
2
+ 1
2n
2
+ n − 1
b)
∞
X
n=1
(2n)!
n
2n
[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny
zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.
6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) =
x
2
x
2
+ 1
w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności otrzyma-
nego szeregu.
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu liczbowego
∞
X
n=1
ln
1 −
1
n
2