ŚCINANIE
Czyste ścinanie – stan naprężenia wywołujący wyłącznie odkształcenia postaciowe. Praktyczna
realizacja takiego stanu jest niemożliwa bez udziału dodatkowego obciążenia
zewnętrznego np. sile tnącej przy zginaniu towarzyszy moment gnący.
Rozpatrzmy
płaski stan naprężenia:
1
=
2
= -
W przekroju obróconym o kąt 45
mamy stan czystego ścinania
= 0,
=
.
Ścinanie techniczne – można wyodrębnić grupę elementów w których naprężenia styczne
odgrywają zasadniczą rolę: nity, sworznie, kołki, kliny, wpusty, spoiny.
W tych przypadkach przyjmujemy założenie o równomiernym rozkładzie naprężeń stycznych w
przekroju poprzecznym
dop
t
A
T
A
t
– całkowity przekrój przenoszący siłę tnącą
Ścinaniu towarzyszy zwykle docisk powierzchniowy pomiędzy współpracującymi elementami.
Czynimy tu również założenie, że docisk rozkłada się równomiernie.
d
d
d
k
A
P
gdzie: A
d
– powierzchnia docisku
-
rzeczywista, dla elementów płaskich;
-
umowna (średnicowa), dla elementów okrągłych.
Przykład Wyznaczyć najmniejszą dopuszczalną średnicę d, średnicę głowy D, oraz wysokość
głowy h, pręta obciążonego jak na rysunku. Siła P=37 kN,
Dla materiału pręta: k
r
=120 MPa, k
t
=70 MPa, k
d
=180 MPa.
1.
Z warunku na zerwanie pręta
]
[
02
,
0
10
120
10
37
4
4
4
6
3
2
m
k
P
d
k
d
P
r
r
2.
Z warunku na ścięcie
]
[
85
,
0
10
70
02
,
0
10
37
6
3
cm
dk
P
h
k
dh
P
t
t
3. Z warunku na docisk powierzchniowy
]
[
6
,
2
.....
4
4
)
(
2
2
2
cm
d
k
P
D
k
d
D
P
d
d
d
2
1
2
1
1
2
45
n
S
2
=-
1
=
max
=
P
d
D
h
Przykład
Obliczanie nitów
m
n
d
A
n
t
4
2
n
– liczba nitów,
m
– liczba przekrojów ścinanych w nicie,
d
n
= średnica nita
Do blachy o grubości g=12,5 mm przynitowano dwa kątowniki równoramienne 80x80x8.
Siła rozciągająca połączenie T=200 kN. Wyznaczyć liczbę n nitów potrzebnych do przeniesienia
siły tnącej, gdy k
t
=80 MPa, k
d
=200 MPa, oraz k
r
=100 MPa.
Średnicę nita przyjmuje się zwykle równą 1,5
2,5 grubości łączonych części,
tu przyjmujemy d
n
= 20 mm, m = 2.
z
98
,
3
10
80
2
02
,
0
10
200
4
4
4
6
2
3
2
2
t
n
t
n
k
m
d
P
n
k
m
n
d
T
przyjmujemy
n = 4 nity
Sprawdzenie naprężeń:
1)
w przekrojach osłabionych otworami: z tablic A
L
= 12,3 cm
2
; A
netto
=2(12,3-
2·0,8)=21,4 cm
2
MPa
k
MPa
A
T
r
netto
100
5
,
93
10
4
,
21
10
200
4
3
2)
naprężenia docisku powierzchniowego:
MPa
k
MPa
d
g
T
d
d
200
200
10
)
2
25
,
1
(
2
10
200
4
4
3
T
T
d
SKRĘCANIE PRĘTÓW PROSTYCH
I.
Pręty o przekroju kołowym.
znak momentu
Skręcanie – gdy na pręt działają dwie pary sił
w dwóch różnych płaszczyznach
prostopadłych do osi pręta.
Taką parę sił nazywamy momentem skręcającym M
s
.
Przeanalizujmy charakter odkształceń powstających w skręcanym pręcie kołowym.
Wnioski i założenia:
1.
Hipoteza płaskich przekrojów
-
przekroje tylko się obracają.
2.
Brak wydłużeń i przewężeń
wskazuje na występowanie tylko
naprężeń stycznych
.
Warunki geometryczne
Długość łuku AA’=ds=rd
oraz ds=
dx
stąd
dx
d
r
a dla
<r
dx
d
Warunki fizyczne -
wytnijmy z pręta element ds., d
, dx
– jego stan odkształcenia odpowiada
czystemu ścinaniu.
Zatem prawo Hooke’a:
= G
Wykorzystując war. geometryczny
dx
d
G
Warunek równowagi pręta
A
s
x
dM
M
M
0
dA
dT
dM
A
A
A
s
dA
dx
d
G
dA
dx
d
G
dA
M
2
2
0
0
J
M
J
dx
d
G
M
s
s
s
s
k
r
J
M
0
max
r
J
W
0
0
W
0
– wskaźnik wytrzymałości na skręcanie
s
S
k
W
M
0
max
- warunek wytrzymałościowy na skręcanie
dla
16
32
3
0
4
0
d
W
d
J
D
d
D
W
d
D
J
16
)
(
32
)
(
4
4
0
4
4
0
(+)
M
s
M
s
(-)
M
s
M
s
M
s
M
s
B
A
’
A
r
x
dx
d
0
ds
dx
ds
d
r
0
dA
r
0
max
d
D
d
Rozpatrzmy stan naprężenia na powierzchni elementu skręcanego.
Jest to ścinanie niejednorodne.
Kierunki główne leżą pod kątem 45
do osi
= I
1
I = I
2
I
Przemieszczenie w pręcie skręcanym – jest to kąt skręcenia
]
[
0
rad
GJ
l
M
S
w mierze stopniowej
0
180
GJ
l
M
S
GJ
0
– sztywność skręcania
dop
S
GJ
l
M
0
- warunek
sztywnościowy, zwykle
dop
= 0,25
/m
Często dana jest moc i obroty a moment skręcający trzeba wyliczyć ze wzorów,
ogólnie:
30
;
n
N
M
S
-
prędkość kątowa
gdy
N w [kW]
]
[
9550
Nm
n
N
M
S
N w [kM]
]
[
2
,
716
kGm
n
N
M
S
Przykład Wał stalowy przenosi moc 5 kW, wykonując n=950 obr/min. Obliczyć średnicę
wału jeżeli k
s
=30 MPa,
dop
= 0,25
/m, G=8,1 10
4
MPa.
]
[
3
,
50
950
5
9550
9550
Nm
n
N
M
S
z war wytrzym.
s
S
k
W
M
0
max
]
[
0205
,
0
10
30
3
,
50
16
16
3
6
3
m
k
M
d
s
S
z war. sztywn.
]
[
00435
,
0
180
25
,
0
180
]
[
0
rad
rad
GJ
l
M
dop
S
d
]
[
0348
,
0
10
10
1
,
8
00435
,
0
3
,
50
32
32
4
6
4
4
m
G
M
dop
S
Przykład Obliczyć minimalną średnicę wału. k
s
=50 MPa, M=100 Nm, l
1
=20 cm, l
2
=30 cm.
Warunek równowagi:
-M
1
+M-M
2
=0 -
układ 1 krotnie hiperstatyczny
należy ułożyć dodatkowe równanie rozpatrując
odkształcenia
0
2
2
2
0
1
1
1
2
1
GJ
l
M
GJ
l
M
zatem
M
1
l
1
=M
2
l
2
M
2
=M
1
l
1
/l
2
M=M
1
+M
2
M=M
1
+M
1
⅔=5/3M
1
M
1
=3/5M=60 Nm
M
2
=M-M
1
=40 Nm
war. wytrz.
s
S
k
W
M
0
max
16
3
0
d
W
]
[
0182
,
0
10
50
60
16
16
3
6
3
m
k
M
d
s
S
M
s
M
s
2
2
1
1
45
l
1
l
2
M
M
1
M
2
M
1
=60
M
2
=40
M=100
0
M
max
= M
1
=60 Nm