Całki podwójne
ZiE, sem.II, 2008-09
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Obliczyć całki podwójne po podanych prostokątach:
1.1
∫∫
+
P
dxdy
y
x
)
2
3
(
2
≤
≤
≤
≤
−
2
0
1
1
:
y
x
P
1.2
∫∫
−
P
y
x
dxdy
e
3
≤
≤
−
≤
≤
0
1
1
0
:
y
x
P
1.3
∫∫
P
xydxdy
x sin
≤
≤
≤
≤
π
π
2
1
0
:
y
x
P
1.4
∫∫
+
+
P
y
x
dxdy
3
)
1
(
≤
≤
≤
≤
1
0
2
0
:
y
x
P
1.5
∫∫
P
dxdy
y
x
2
≤
≤
≤
≤
6
4
2
1
:
y
x
P
1.6
∫∫
P
dxdy
yx
xy
)
sin(
2
2
≤
≤
≤
≤
2
0
2
0
:
π
y
x
P
.
Zad.2 Zmienić kolejność całkowania:
2.1
∫ ∫
e
x
dy
y
x
f
dx
1
ln
0
)
,
(
2.2
∫ ∫
e
x
dy
y
x
f
dx
1
1
ln
)
,
(
2.3
∫ ∫
2
0
2
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
dx
2.4
∫ ∫
1
0
2
3
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
dx
2.5
∫ ∫
−
−
−
2
6
2
1
4
2
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
dx
2.6
∫
∫
−
−
2
2
2
1
2
2
)
,
(
y
y
dx
y
x
f
dy
2.7
∫
∫
−
−
1
1
3
2
2
2
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
dx
2.8
∫ ∫
−
+
−
1
2
1
1
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
.
Zad.3 Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych i obliczyć je:
3.1
∫∫
−
P
y
x
dxdy
e
≤
≤
−
≤
≤
−
1
1
1
1
:
y
x
P
3.2
∫∫
+
P
dxdy
y
x
xy
)
(
2
2
≤
≤
≤
≤
1
0
1
0
:
y
x
P
3.3
∫∫
+
P
dxdy
y
x
)
cos(
≤
≤
≤
≤
−
4
0
4
4
:
π
π
π
y
x
P
3.4
∫∫
P
dxdy
y
x
xy ln
≤
≤
≤
≤
2
1
1
:
y
e
x
P
.
Zad.4 Obliczyć podane całki iterowane:
4.1
∫ ∫
1
0
2
2
x
x
dy
xy
dx
4.2
dy
x
y
dx
x
x
∫ ∫
1
0
2
2
3
4.3
∫
∫
−
−
+
2
2
4
0
3
3
2
)
(
x
dy
y
x
dx
4.4
∫ ∫
+
3
0
0
2
16
y
dx
y
dy
4.5
∫ ∫
−
4
1
2
2
x
x
dy
x
y
x
dx
4.6
∫ ∫
9
0
3
3
)
sin(
y
dx
x
dy
π
.
Zad.5 Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach:
5.1
∫∫
D
xydxdy
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
2
,
1
,
2
,
=
−
=
=
=
x
x
x
y
x
y
5.2
∫∫
D
xydxdy
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
2
2
,
y
x
x
y
=
=
5.3
∫∫
+
D
dxdy
y
x
)
2
(
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
3
,
0
,
0
=
+
=
=
y
x
x
y
5.4
∫∫
+
D
dxdy
y
x
)
sin(
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
2
,
,
0
π
=
+
=
=
y
x
x
y
y
5.5
∫∫
+
D
dxdy
y
x
x
2
2
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
2
,
2
,
=
=
=
x
y
x
x
y
5.6
∫∫
D
xydxdy
, gdzie obszar D ograniczony jest przez krzywe
)
0
(
0
,
3
,
4
2
≤
=
=
+
−
=
x
dla
y
x
y
x
y
.
Zad.6 Opisać we współrzędnych biegunowych następujące obszary:
6.1
koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R, R>0;
6.2
wycinek kołowy o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R, ograniczony
promieniami koła tworzącymi kąty
α
i
β
, gdzie
π
β
α
2
0
<
<
≤
, z dodatnią półosią osi OX;
6.3
pierścień kołowy o środku w początku układu współrzędnych, promieniu wewnętrznym R
1
i
zewnętrznym R
2
, gdzie 0<R
1
<R
2
;
6.4
wycinek pierścienia kołowego o środku w początku układu współrzędnych, promieniu
wewnętrznym R
1
i zewnętrznym R
2
, gdzie 0<R
1
<R
2
, ograniczony promieniami koła tworzącymi
kąty
α
i
β
, gdzie
π
β
α
2
0
<
<
≤
, z dodatnią półosią osi OX;
6.5
koło o środku w punkcie (R,0) i promieniu długości R, R>0;
6.6
koło o środku w punkcie (0,R) i promieniu długości R, R>0.
Zad.7 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne:
7.1
∫∫
+
−
D
y
x
dxdy
e
)
(
2
2
, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą
2
2
2
=
+
y
x
;
7.2
∫∫
−
+
D
y
x
dxdy
1
2
2
, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
25
,
9
2
2
2
2
=
+
=
+
y
x
y
x
;
7.3
∫∫
D
ydxdy
, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
)
0
,
0
(
,
0
,
,
1
,
4
2
2
2
2
≥
≥
=
=
=
+
=
+
y
x
y
x
y
y
x
y
x
;
7.4
∫∫
D
xdxdy
, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
)
(
,
,
1
)
1
(
2
2
y
x
x
y
y
x
≥
=
=
−
+
;
7.5
∫∫
+
+
D
dxdxy
y
x
)
1
ln(
2
2
, gdzie
{
}
0
,
9
:
)
,
(
2
2
≥
≤
+
=
y
y
x
y
x
D
7.6
∫∫
+
+
D
dxdxy
y
x
y
x
2
2
2
2
)
ln(
, gdzie
{
}
1
,
:
)
,
(
2
2
2
2
2
≥
+
≤
+
=
y
x
e
y
x
y
x
D
7.7
∫∫
+
D
dxdxy
y
x
x
2
2
2
, gdzie
{
}
x
y
y
x
y
x
D
≥
≤
+
=
,
1
:
)
,
(
2
2
.
Zad.8 Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru ograniczonego podanymi krzywymi:
8.1
1
,
2
=
=
x
y
x
8.2
4
,
4
,
sin
,
cos
π
π
=
−
=
=
=
x
x
x
y
x
y
8.3
)
0
,
(
,
2
,
,
1
>
=
=
=
y
x
x
y
x
y
xy
8.4
2
,
1
,
=
=
=
y
x
y
x
y
8.5
1
,
,
ln
2
=
=
=
y
e
x
x
y
8.6
2
,
4
2
−
=
−
=
y
x
y
x
.
Zad.9 Obliczyć objętości brył ograniczonych wymienionymi powierzchniami:
9.1
0
,
0
,
0
,
3
2
6
=
=
=
−
−
=
z
y
x
y
x
z
9.2
5
4
,
1
,
1
,
2
+
=
=
=
=
x
z
z
y
x
y
9.3
y
e
y
xy
z
z
x
x
y
y
⋅
−
=
=
=
=
=
=
)
2
(
,
0
,
3
,
2
,
1
,
0
9.4
0
,
2
2
,
9
2
2
2
2
=
+
=
=
+
z
y
x
z
y
x
9.5
0
),
0
(
0
,
3
2
,
4
2
2
=
≥
=
+
+
=
=
+
z
y
dla
y
y
x
z
y
x
9.6
9
,
9
2
2
2
2
2
−
=
+
=
+
z
y
x
y
x
9.7
1
,
0
,
100
2
2
2
2
+
+
=
=
=
+
y
x
z
z
y
x
9.8
4
,
6
,
4
2
2
−
=
+
+
=
=
+
z
y
x
z
y
x
9.9
2
2
2
2
2
2
4
,
0
,
4
,
1
y
x
z
z
y
x
y
x
+
=
=
=
+
=
+
.
Zad.10 Obliczyć pola następujących powierzchni
10.1 części płaszczyzny 3x+4y+6z=12 leŜącej nad prostokątem o wierzchołkach (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)
10.2 części płaszczyzny z=4x+6y-1 leŜącej nad obszarem D określonym nierównościami
49
9
2
2
≤
+
≤
y
x
10.3 części powierzchni
xy
z
=
leŜącej wewnątrz walca
1
2
2
=
+
y
x
10.4 części sfery
25
2
2
2
=
+
+
z
y
x
leŜącej wewnątrz walca
16
2
2
=
+
y
x
.