ĆWICZENIA 11 – TEORIA (
prosta i płaszczyzna )
1
Uwaga: Wszystkie informacje zawarte w tych materiałach dotyczyć będą przestrzeni R
3
.
I PŁASZCZYZNA
Płaszczyzna to jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.
Pojęcie płaszczyzny jest nam wpajane od dziecka, poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru,
powierzchni stołu, czy ogólniej - płaskiego pola, rozciągających się "w nieskończoność".
Definicja 1
W geometrii analitycznej płaszczyznę definiujemy jako zbiór punktów spełniających pewne równanie.
Równanie to moŜna zapisać w róŜnej postaci, między innymi jako:
1)
równanie ogólne,
2)
równanie normalne,
3)
równanie odcinkowe,
4)
równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.
Zanim przejdziemy do omawiania poszczególnych postaci równania płaszczyzny zauwaŜmy, Ŝe
•
przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leŜące na jednej prostej) przechodzi tylko
jedna płaszczyzna
•
przez daną prostą i punkt nie leŜący na niej przechodzi tylko jedna płaszczyzna
•
przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi tylko jedna płaszczyzna
•
prosta przechodząca przez dwa róŜne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie
•
płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów
•
kaŜdy punkt płaszczyzny naleŜy do nieskończenie wielu prostych
•
prosta w przestrzeni moŜe:
•
nie mieć punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do
płaszczyzny
•
mieć jeden punkt wspólny
•
być zawarta w tej płaszczyźnie
II RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY
Niech dany będzie punkt P
1
(x
1
, y
1
, z
1
) oraz wektor v=[A, B, C]
T
.
Jak widać, przez punkt P
1
moŜna przeprowadzić dokładnie jedną
płaszczyznę
π
prostopadłą do wektora v.
JeŜeli na płaszczyźnie
π
obierzemy dowolny punkt P
2
(x, y, z) to
wówczas wektor v
π
=[ x-x
1
, y-y
1
, z-z
1
]
T
o początku w punkcie P
1
i
końcu w punkcie P
2
będzie równieŜ prostopadły do wektora v.
Czyli
v
⊥π
⇒
v
⊥
v
π
.
Korzystając z warunku prostopadłości wektorów
(v
⊥
v
π
⇔
v
o
v
π
= 0) otrzymujemy, Ŝe
v
⊥
v
π
⇔
A (x-x
1
) +B(y-y
1
)+C(z-z
1
) = 0
co moŜna zapisać inaczej
Ax +By +Cz-Ax
1
-By
1
-Cz
1
=0
π
v
P
1
P
2
v
π
D
ĆWICZENIA 11 – TEORIA (
prosta i płaszczyzna )
2
Definicja 2
Równanie płaszczyzny postaci
π
: Ax +By +Cz+D=0,
gdzie D = -Ax
1
-By
1
-Cz
1
nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny.
Definicja 3
Wektor v=[A, B, C]
T
prostopadły do płaszczyzny
π
nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny.
III RÓWNANIE NORMALNE PŁASZCZYZNY
Definicja 4
Równanie płaszczyzny postaci
π
: x cos
α
+ y cos
β
+ z cos
χ
+
δ
=0,
gdzie cos
2
α
+cos
2
β
+ cos
2
χ
= 1 nazywamy równaniem normalnym płaszczyzny.
Wartości cos
α
, cos
β
i cos
χ
interpretowane są jako cosinusy kierunkowe wektora prostopadłego do
płaszczyzny, czyli cosinusy kątów jakie tworzy on odpowiednio z osią OX, OY i OZ.
Uwaga: Aby z równania ogólnego płaszczyzny o wektorze kierunkowym v=[A, B, C]
T
uzyskać postać
normalną płaszczyzny naleŜy równanie to podzielić przez długość wektora v.
IV RÓWNANIE ODCINKOWE PŁASZCZYZNY
JeŜeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych i jednocześnie nie jest
równoległa do Ŝadnej z osi układu, to wówczas moŜemy zapisać równanie tej płaszczyzny w postaci
odcinkowej. Zaletą tego zapisu jest to, Ŝe podaje on punkty przecięcia płaszczyzny z osiami
współrzędnych układu, czyli punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
Definicja 5
Równanie płaszczyzny postaci
π
:
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Uwaga: Aby przejść z postaci ogólnej lub normalnej płaszczyzny do postaci odcinkowej, moŜna
zastosować wzory:
a = -D/A = -
δ
/ cos
α
,
b = -D/ B = -
δ
/ cos
β
,
c = -D/C = -
δ
/ cos
χ
.
V PŁASZCZYZNA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY PUNKTY
W przestrzeni
R
3
istnieje tylko jedna płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty,
dlatego moŜna ją jednoznacznie wyznaczyć. Niech zatem P
1
(x
1
, y
1
, z
1
), P
2
(x
2
, y
2
, z
2
) i P
3
(x
3
, y
3
, z
3
) będą
punktami płaszczyzny
π
. Współrzędne dowolnego innego punktu naleŜącego do
π
moŜemy zapisać jako
P(x, y, z).
Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny
π
wyznaczmy najpierw składowe współrzędne wektorów o
początku w punkcie P
1
i końcach w punktach P
2,
P
3
i P:
v
1
=[ x-x
1
, y-y
1
, z-z
1
]
T
,
v
2
=[ x
2
-x
1
,
2
y-y
1
, z
2
-z
1
]
T
,
v
3
=[ x
3
-x
1
, y
3
-y
1
,
3
z-z
1
]
T
.
ĆWICZENIA 11 – TEORIA (
prosta i płaszczyzna )
3
Jak wiadomo (ćwiczenia 10) trzy wektory są współpłaszczyznowe tylko wówczas, gdy ich iloczyn
mieszany jest równy 0. Zatem aby wyznaczyć równanie szukanej płaszczyzny naleŜy rozwiązać
równanie:
(
)
0
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
3
2
1
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
×
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
v
v
v
o
.
VI ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD PŁASZCZYZNY
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π
obliczamy ze
wzoru :
2
2
2
0
0
0
|
|
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
+
+
+
+
+
=
=| x
0
cos
α
+ y
0
cos
β
+ z
0
cos
χ
+
δ
|.
VII KĄT MIĘDZY DWOMA PŁASZCZYZNAMI
Weźmy dwie płaszczyzny o równaniach normalnych postaci
π
1
: A
1
x +B
1
y +C
1
z+D
1
=0
π
2
: A
2
x +B
2
y +C
2
z+D
2
=0
Wektory normalne tych płaszczyzn to odpowiednio
π
1
:
v
1
=[A
1
,B
1
,C
1
]
T
π
2
:
v
2
=[A
2
,B
2
,C
2
]
T
MoŜemy zauwaŜyć, Ŝe kąt między płaszczyznami jest taki sam
jak kąt między ich wektorami normalnymi, dlatego moŜna go
obliczyć ze wzoru
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
|
|
|
|
cos
C
B
A
C
B
A
C
C
B
B
A
A
C
C
B
B
A
A
+
+
⋅
+
+
+
+
=
⋅
+
+
=
v
v
ϕ
Uwaga: Aby sprawdzić, czy płaszczyzny są równoległe bądź prostopadłe wystarczy zbadać
równoległość bądź prostopadłość ich wektorów normalnych. Zagadnienia te zostały opisane w
materiałach do ćwiczeń 11.
P
0
π
π
1
π
2
v
1
v
2
ϕ
ϕ
ĆWICZENIA 11 – TEORIA (
prosta i płaszczyzna )
4
VIII PROSTA
W geometrii analitycznej prostą określamy jako zbiór
punktów
spełniających
pewne
równanie
liniowe.
Równanie to moŜna zapisać w róŜnej postaci, między
innymi jako
•
równanie kierunkowe,
•
równanie parametryczne,
•
równanie krawędziowe.
Definicja 5
Równanie kierunkowe prostej l przechodzącej przez
punkt P
1
(x
1
, y
1
, z
1
) i równoległej do wektora v=[a, b, c]
T
jest postaci:
l:
c
z
z
b
y
y
a
x
x
1
1
1
−
=
−
=
−
.
Wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej,
natomiast
jego
składowe
–
współczynnikami
kierunkowymi
prostej.
IX KĄT MIĘDZY PROSTĄ I
PŁASZCZYZNĄ
Kąt nachylenia
ψ
prostej
l
:
c
z
z
b
y
y
a
x
x
1
1
1
−
=
−
=
−
do płaszczyzny
π
:
Ax
+By +Cz+D=0,
jest to kąt ostry, który tworzy prosta l ze swoim
rzutem l’ na płaszczyznę
π
. Kąt ten obliczamy ze
wzoru:
2
2
2
2
2
2
|
|
sin
2
cos
c
b
a
C
B
A
Cc
Bb
Aa
+
+
⋅
+
+
+
+
=
=
−
ψ
ψ
π
Uwaga: Aby sprawdzić, czy płaszczyzna i prosta
są równoległe bądź prostopadłe naleŜy zbadać prostopadłość bądź równoległość wektora normalnego
v=[A, B, C]
T
płaszczyzny i wektora kierunkowego v
1
=[a, b, c]
T
prostej. ZauwaŜmy Ŝe:
π
||l
⇔
v
⊥
v
1
⇔
v
°
v
1
=0
π⊥
l
⇔
v||v
1
⇔
v
×
v
1
=0
P
1
v
v=[A, B, C]
T
l
l’
ψ
ψ
ψ
ψ ψ
ψ
π
−
2