Przekształcenia całkowe
Wykład 6
fragmenty
Przekształcenia całkowe
Wykład 6
fragmenty
Zastosowania przekształceń Laplace’a
1. Równania różniczkowe liniowe
Dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu o stałych
współczynnikach:
Zakładamy, że oraz funkcja i szukane rozwiązanie
wraz ze wszystkimi pochodnymi są oryginałami.
n
( )
(
1)
0
1
1
( )
n
n
n
n
a y
a y
a
y
a y
f t
−
−
′
+
+
+
+
=
…
0
0
a
≠
( )
f t
( )
y t
Przekształcenie Laplace’a
Szukamy takiego rozwiązania równania, aby spełniało
one warunki początkowe (WP):
Przekształcenie Laplace’a
(
1)
0
1
2
1
(0)
,
(0)
,
(0)
,
,
(0)
.
n
n
y
b y
b y
b
y
b
−
−
′
′′
=
=
=
=
…
Przykład 1
Rozwiązać równanie
z warunkiem początkowym
2
( ) 3 ( )
5
2
4
y t
y t
t
t
′ +
=
+ +
(0) 1
y
=
Rozwiązanie:
Stosujemy transformatę Laplace’a do obu stron równania:
Odczytujemy z tablic uwzględniając WP:
[
]
(
)
[
]
[
]
( )
( )
( )
2
2
L
( ) 3 ( )
L 5
2
4
L
( ) +3L
( )
5L t
2L t
4L 1
y t
y t
t
t
y t
y t
′ +
=
+ +
′
=
+
+
Przekształcenie Laplace’a
[
]
[
]
[
]
L
( )
L
( )
(0)
L
( )
1
y t
s
y t
y
s
y t
′
=
−
=
−
( )
( )
( )
2
3
2
2
1
1
L t
=
L t =
L 1 =
s
s
s
Wstawiamy do równania wyjściowego:
Rozwiązujemy równanie, w którym niewiadomą jest :
[
]
[
]
3
2
10
2
4
L
( )
3L
( )
1
s
y t
y t
s
s
s
+
− =
+
+
[
]
[
]
3
2
3
2
3
10
2
4
(
3)L
( )
1
4
2
10
L
( )
(
3)
s
y t
s
s
s
s
s
s
y t
s
s
+
= +
+
+
+
+
+
=
+
[
]
L
( )
y t
Przekształcenie Laplace’a
Rozkładamy prawą stronę równania na ułamki proste
Wykorzystujemy transformatę odwrotną
[
]
[
]
2
3
2
3
L
( )
3
13
1
40 1
4 1
10 1
L
( )
27
3
27
9
3
A
B
C
D
y t
s
s
s
s
y t
s
s
s
s
=
+ +
+
+
= −
+
−
+
+
1
1
1
1
2
3
13
1
40
1
( )
L
L
27
3
27
4
1
10
1
L
L
9
3
y t
s
s
s
s
−
−
−
−
⎛
⎞
⎛ ⎞
= −
+
−
⎜
⎟
⎜ ⎟
+
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
−
+
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Przekształcenie Laplace’a
Czyli
3
2
13
40
4
5
( )
27
27
9
3
t
y t
e
t
t
−
= −
+
−
+
Przekształcenie Laplace’a
2. Układy równań różniczkowych liniowych
Przykład 1
Rozwiązać układ równań
z warunkami początkowymi
3
2
2
t
t
y
y
z
e
z
y
z
e
′
⎧ + − =
⎨
′ +
−
=
⎩
(0) 1,
(0) 1
y
z
=
=
Przekształcenie Laplace’a
Rozwiązanie:
Stosujemy transformatę Laplace’a do obu stron równania:
Przekształcenie Laplace’a
Odczytujemy z tablic
[ ]
[ ]
( )
L
L( )
(0)
L( ) 1
L
L( )
(0)
L ( ) 1
1
L e
1
t
y
s
y
y
s
y
z
s
z
z
s
z
s
′ =
−
=
−
′ =
−
=
−
=
−
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
L
L
L
L
L
3L
2L
2L
t
t
y
y
z
e
z
y
z
e
⎧
′ +
−
=
⎪
⎨
′ +
−
=
⎪⎩
( )
( )
( )
( )
1
(s+1)L
L
1
1
2
3L
(
2)L
1
1
y
z
s
y
s
z
s
⎧
−
=
+
⎪⎪
−
⎨
⎪
+ −
=
+
⎪⎩
−
Wstawiamy do układu:
Rozwiązujemy ten układ względem niewiadomych i
L( )
y
L( )
z
Przekształcenie Laplace’a
( )
( )
( )
( )
(s+1)L
L
1
1
3L
(
2)L
1
s
y
z
s
s
y
s
z
s
⎧
−
=
⎪⎪
−
⎨
+
⎪
+ −
=
⎪⎩
−
2
2
L( )
2
L( )
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3
1
y
z
s
W
s
s
s
s
s
s
s
W
s
s
s
s
s
s
s
s
s
W
s
s
s
+
−
=
=
− +
−
−
− +
−
=
=
+
−
−
−
+
− +
−
=
=
+
−
−
Wyznaczamy niewiadome np. metodą wyznaczników:
Przekształcenie Laplace’a
Otrzymujemy
Wykorzystujemy transformatę odwrotną
L( )
L( )
1
L( )
1
1
L( )
1
y
z
W
y
W
s
W
z
W
s
=
=
−
=
=
−
Przekształcenie Laplace’a
1
1
1
y=L
1
1
z=L
1
t
t
e
s
e
s
−
−
⎛
⎞ =
⎜
⎟
−
⎝
⎠
⎛
⎞ =
⎜
⎟
−
⎝
⎠