Praca domowa nr 5 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka” 

Zad.  1.  Załóżmy,  ze  prawdziwa  jest  hipoteza  Mendla,  iż  dla  krzyżówki  grochu  w  drugim  pokoleniu 
stosunek  nasion  żółtych  do  zielonych  jest  jak  3:1.  Wylosowano  niezależnie  10  nasion.  Obliczyć 
prawdopodobieństwo, że: a) będą co najwyżej 4 nasiona żółte, b) będzie co najmniej 5 i nie więcej niż 
8 nasion żółtych. 
Zad.  2.  Właściciel  kurzej  fermy  stwierdził,  że  kogutków  wykluwa  się  trzy  razy  więcej  niż  kurek. 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że z 5 niezależnie wybranych jajek wykluje się co najmniej 1 kogutek, 
ale nie mniej niż 2 kurki. 
Zad. 3. Z talii 52 kart losujemy 6. Niech  X  będzie zmienną losową, oznaczającą liczbę wylosowanych 
pików. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej  X . 
Zad.  4.  Obsługa  działa  artyleryjskiego  ma 3  pociski. Prawdopodobieństwo  trafienia  do  celu  jednym 
pociskiem  (przy  jednym  wystrzale)  w  danych  warunkach  wynosi  0.7.  Strzelanie  kończy  się  z  chwilą 
trafienia  do  celu  lub  wyczerpania  pocisków.  Niech  X   będzie  zmienną  losową,  oznaczającą  liczbę 
oddanych strzałów. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej  X . 
Zad. 5. Niech  X  będzie wynikiem pojedynczego rzutu symetryczną kostką. Wyznaczyć: a) rozkład  X , 
b)  dystrybuantę  X ,  wraz  z  wykresem,  c)  prawdopodobieństwa: 





5

3





X

P

, 





5

3





X

P

, 





5

3





X

P

, 





5

3





X

P

. 

Zad.  6.  Na  drodze  ruchu  pociągów  znajdują  się  -  w  znacznej  odległości  od  siebie  -  4  semafory, 
z których  każdy  -  wobec  odległości  niezależnie  od  siebie  -  zezwala  na  przejazd  pociągu 
z prawdopodobieństwem 0,8. Niech zmienna losowa  X  oznacza liczbę semaforów zezwalających na 
przejazd  i  poprzedzających  pierwsze  zatrzymanie  lub  stację  docelową.  Wyznaczyć:  a)  rozkład  X , 
b) dystrybuantę  X , wraz z wykresem, c) 





2



X

P

. 

Odpowiedzi: 

Zad. 1: a) 

,

4

1

4

3

10

10

4

0

k

k

k

k













































 b) 

;

4

1

4

3

10

10

8

5

k

k

k

k













































 Zad. 2: 

;

4

1

4

3

5

5

3

1

k

k

k

k













































 

Zad. 3: 













,

,

6

,...,

2

,

1

0,

k

k

X

P

k





 gdzie 









k

X

P

;

6

52

6

39

13













































k

k

 

Zad. 4:  

i

x

 

1 

2 

3 





i

i

x

X

P

p





 

0,7 

0,21 

0,09 

Zad. 5:  

a) 









6

,...,

2

,

1

6

/

1

 ,



k

k

, 

b)  Dystrybuanta  F   jest  funkcją  przedziałami  stałą  (schodkową), 

 

0



t

F

  dla 





1

,







t

,  następnie 

dystrybuanta rośnie wyłącznie skokami o wielkości 1/6 w punktach 1,2,...,6, 
c) Wartości poszczególnych prawdopodobieństw: 1/6, 1/3, 1/2, 1/3; 
Zad. 6:  
a)  

i

x

 

0 

1 

2 

3 

4 





i

i

x

X

P

p





 

0,2 

0,16 

0,128 

0,1024 

0,4096 

b)  



t

 





0

,





 



1

,

0

 



2

,

1

 



3

,

2

 



4

,

3

 







,

4

 

 

t

F

 

0 

0,2 

0,36 

0,488 

0,5904 

1 

c) 0,64.