Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
Drgania wymuszone harmonicznie
układów o jednym stopniu swobody
materiały do wykładu nr 3
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
2
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
m
– masa [kg]
c
– tłumienie [kg/s]
k
– sztywność [N/m]
• swobodne
• wymuszone
( )
( )
i
f t
mu t
( )
( )
d
f
t
cu t
( )
( )
s
f t
ku t
( )
( )
( )
( )
i
d
s
f t
f
t
f t
p t
Z uwagi na siłę wymuszającą drgania dzielimy na:
Podział drgań z uwagi na siłę wymuszającą
( )
( )
( )
( )
mu t
cu t
ku t
p t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
3
Drgania wymuszone harmonicznie (nietłumione)
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
( )
cos
sin
c
n
n
u t
A
t
B
t
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
( )
sin
o
p t
p
t
sin
o
mu
ku
p
t
( )
( )
( )
c
p
u t
u t
u
t
( )
sin
cos
p
u t
D
t
E
t
( )
cos
sin
p
u t
D
t
E
t
2
2
( )
sin
cos
p
u
t
D
t
E
t
2
sin
o
n
p
u
u
t
m
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
4
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
sin
o
n
n
p
D
t
E
t
D
t
E
t
t
m
2
2
2
2
cos
sin
sin
o
n
n
p
E
E
t
D
D
t
t
m
2
2
2
2
2
2
0
0
1
n
o
o
n
n
E
E
E
p
p
D
D
D
m
m
2
2
1
1
/
o
n
n
p
D
m
( )
cos
sin
sin
n
n
u t
A
t
B
t
D
t
0
(0)
u
A
A
u
0
2
/
1
/
o
n
n
n
u
p
B
k
2
1
1
/
o
n
p
D
k
( )
sin
cos
cos
n
n
n
n
u t
A
t
B
t
D
t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
5
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
0
0
2
2
/
1
( )
cos
sin
sin
1 ( /
)
1 ( /
)
o
n
o
n
n
n
n
n
u
p
p
u t
u
t
t
t
k
k
u0= 0.01 ; % przemieszczenie początkowe [m]
v0= 0.02 ; % prędkość początkowa [m/s]
wn= 10 ; % częstość kołowa drgań [rad/s]
w = 1.5 ; % częstość wymuszenia [rad/s]
po= 1 ; % amplituda siły wymuszającej [N]
k = 80 ; % sztywność [N/m]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
t [s]
u
c
[m
]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
t [s]
u
p
[m
]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
t [s]
u(t
) [
m
]
odpowiedź calkowita u(t)
drgania ustalone u
p
(t)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
t [s]
u(
t)
[
m
]
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
6
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
2
1
( )
sin
1 ( /
)
o
n
p
u t
t
k
o
(
)
o
st
p
u
k
2
1
( )
(
)
sin
sin
1 ( /
)
st o
o
n
u t
u
t
u
t
( )
sin(
)
(
)
sin(
)
o
st o
d
u t
u
t
u
R
t
2
1
1 ( /
)
d
n
R
Rezonans
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
7
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
2
1
1 ( /
)
d
n
R
Współczynnik dynamiczny
0
180
o
n
o
n
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
8
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
( )
cos
p
n
u t
Dt
t
2
2
sin
sin
cos
cos
sin
o
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
D
t
D
t
D
t
t
D
t
t
t
m
2
o
n
p
D
k
( )
cos
sin
cos
n
n
n
u t
A
t
B
t
Dt
t
( )
sin
cos
cos
sin
n
n
n
n
n
n
n
u t
A
t
B
t
D
t
Dt
t
0
A
2
o
n
p
D
B
k
Przemieszczenia układu w rezonansie
( )
sin
cos
2
o
n
n
n
p
u t
t
t
t
k
n
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
9
Drgania wymuszone harmonicznie (tłumione)
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
( )
sin
o
p t
p
t
sin
o
mu
cu
ku
p
t
( )
( )
( )
c
p
u t
u t
u
t
( )
cos
sin
n
t
c
d
d
u t
e
A
t
B
t
( )
sin
cos
p
u
t
D
t
E
t
( )
cos
sin
sin
cos
n
t
d
d
u t
e
A
t
B
t
D
t
E
t
2
0
2
2
2
1 ( /
)
1 ( /
)
2 ( /
)
n
n
n
p
D
k
0
2
2
2
2 ( /
)
1 ( /
)
2 ( /
)
n
n
n
p
E
k
2
2
2
2 ( /
)
1 ( /
)
2 ( /
)
o
n
o
n
n
p
A
u
k
2
0
0
2
2
2
2
2
2
1 ( /
)
2 ( /
)
1 ( /
)
2 ( /
)
1 ( /
)
2 ( /
)
o
n
n
o
n
d
d
d
n
n
n
n
u
p
p
B
u
k
k
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
10
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
( )
cos
sin
sin
cos
n
t
d
d
u t
e
A
t
B
t
D
t
E
t
u0= 0.01 % przemieszczenie początkowe [m]
v0= 0.02 % prędkość początkowa [m/s]
wn= 10 % częstość kołowa drgań [rad/s]
w = 1.5 % częstość wymuszenia [rad/s]
po= 1 % amplituda siły wymuszającej[N]
ksi= 0.05 % współczynnik tłumienia [-]
k = 80 % sztywność [N/m]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
t [s]
u
c
[m
]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
t [s]
u
p
[m
]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
t [s]
u(
t)
[m
]
odpowiedź calkowita u(t)
drgania ustalone u
p
(t)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
t [s]
u(
t)
[m
]
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
11
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Rezonans
( )
sin
sin
o
st
d
o
u t
u
t
u
R
t
2
2
o
u
D
E
tg
E
D
2
2
2
1
1 ( /
)
2 ( /
)
d
n
n
R
n
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
12
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Rezonans
1
2
2 (
/
)
tg
1 (
/
)
n
n
n
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
13
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Przemieszczenia układu w rezonansie
n
2
0,
,
,
2
2
2
1
o
o
o
p
p
p
D
E
A
B
k
k
k
2
1
( )
cos
sin
cos
2
1
n
t
o
d
d
n
p
u t
e
t
t
t
k
(
)
2
st o
o
u
u