SZEREGI LICZBOWE
Zad.1 Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:
1.
∑
∞
=
+
1
)
3
(
1
n
n
n
2.
n
n
∑
∞
=
1
5
1
3.
∑
∞
=
+
−
1
)
1
2
)(
1
2
(
1
n
n
n
4.
n
n
∑
∞
=
1
2
1
2004
Zad.2 Posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu wykazać, że następujące szeregi są
rozbieżne
1.
∑
∞
=
⋅
1
2
11
n
n
2.
n
n
n
∑
∞
=
+
1
1
1
3.
∑
∞
=
1
1
n
n
n
4.
∑
∞
=
1
1
cos
n
n
Zad.3 Zbadać zbieżność szeregów:
1.
1
2
!
n
n
n
n
n
∞
=
∑
2.
2
1
2
n
n
n
n
∞
=
∑
3.
( )
5
1
5
!
n
n
n
n
∞
=
∑
4.
2
1
1
arc tg cos
n
n
n
∞
=
∑
5.
(
)
∑
∞
=
+
1
10
1
2
n
n
n
n
n
6.
(
)
1
1
1
n
n
n
n
n
∞
+
=
+
∑
7.
( )
∑
∞
=
1
4
4
!
4
n
n
n
n
n
8.
1
1
1
5
n
n
n
∞
−
=
∑
9.
( )
(
)
∑
∞
=
−
+
1
1
3
2
3
1
!
2
n
n
n
n
n
10.
∑
∞
=
+
+
1
3
3
1
3
n
n
n
11.
1
1
arc tg
2
n
n
n
∞
=
∑
12.
∑
∞
=
1
2
2
sin
n
n
n
Zad.4 Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.
1.
∑
∞
=
+
+
−
1
1
1
1
)
1
(
n
n
n
2.
n
n
n
n
n
+
+
−
∑
∞
=
+
4
2
1
1
1
)
1
(
3.
1
2
1
)
1
(
1
1
+
−
∑
∞
=
+
n
n
n
Zad.5 Rozstrzygnąć, które z podanych niżej szeregów są zbieżne warunkowo, a które bezwzględnie
1.
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
3
2
n
n
n
2.
∑
∞
=
+
−
1
5
3
2
n
n
n
n
3.
( )
∑
∞
=
+
−
2
2
1
1
n
n
n
n