1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE
Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N
0
– liczby naturalne z zerem właściwym; I=N
0
, X
∈R, X-przestrz./zbór,
Φ–rodzina indeksowana; Φ
i
=A
i
=[i,i+1], i=0,1,...; A
0
=[0,1], A
1
=[1,2], ...; przykł: (brak)
Rodzina indeksowana zbioru: niech I≠
∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φ
i
nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.
Sumą uogólnioną podzbio. rodziny
Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ
i
}
Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny
Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ
i
} przykł: I=N
0
, X
∈R, Φ
i
=A
i
–[i,i+1), i=0, 1, ...;
∪(i∈I)A
i
=[0,+
∞)=R
+
=
Φ;
∩(i∈I)A
i
=[0,+
∞)=R
+
=
Φ; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φ
i
)’=
∩( i∈I)Φ
i
’ ; (
∩(i∈I))’=∪(i∈I)Φ
i
’ ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla
różnicy zbiorów: A\
∪(t∈T) A
t
=
∩(t∈T) (A\A
t
) ; A\
∩(t∈T) A
t
=
∪(t∈T) (A\A
t
) 3) Własności: a) (x
∈∪(t∈T) A
t
)
⇔ (t∈T) (x∈A
t
) ; b) (x
∈∩(t∈T) A
t
)
⇔ (t∈T) (x∈A
t
) ; c)
(x
∉∪(t∈T) A
t
)
⇔ (t∉T) (x∈A
t
) ; d) (x
∉∩(t∈T) A
t
)
⇔ (t∉T) (x∈A
t
) ; e) A
∨ ∪(t∈T) A
t
=
∪(t∈T) (A∨A
t
) ; f)
∪(t∈T) (A
t
B
t
)
⊂ ∪(t∈T) A
t
∪(t∈T) B
t
; g)
∩(t∈T) A
t
∨
∩(t∈T) B
t
⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt);
2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A
1
× A
2
×...×A
n
= {(a
1
, a
2
, ...a
n
):a
i
∈A
i
, i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠
∅≠Y,
wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X
×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy
zbiór D
R
={x:X, (y
∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór D
R
-1
={y:Y, (x
∈X) xRy};
Relację R
⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna (x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna (x∈X) xRy⇒yRx
inacz- [(x,y)
∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia (x,y∈X) xRy yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R (y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)
Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie:
ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x] {y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow.
cały podzb.), ma własn: 1. (x
∈X) ϕ(x)≠∅, 2. (y∈X) (x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. (x∈X) [[x]=[y] ([x] [y]≠0)]; [x] – klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „ ” – czyt.
albo kroją się te klasy,
3. RELACJA CZĘŚCIOWEGO I LINIOWEGO PORZĄDKU
Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. (x
∈X) x∈X (zwrotność), 2. (x,y∈X) [x≤y y≤x ⇒ x=y]
(antysymetria), 3. (x,y,z
∈X) [x≤y x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: (
A
,
B
∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1.
A≤A (A
⊂A),itd. dla ‘≤’ i ‘⊂’ pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli D
R
=A i R jest relacją częściowo porządkującą.
Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. (x,y
∈X) x≤y ∨ y≤x;
Element największy (najmniejszy) A
⊂X, Df. Elem. x
o
∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: (x∈A) x≤x
0
, najmn: (x
∈A) x
0
≤x;
Element maksymalny: x
0
∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x
0
≤x x
0
≠x). Element minimalny: x
0
∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x
0
≥x x
0
≠x).
Kresy zbiorów: X
≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli (a∈X) (x∈A) x≤a; ograniczone z dołu jeżeli (b∈X) (x∈A) b≤x; Zbiór
oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem.
nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).
4. FUNKCJE
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek (x,y,z) ((x,y)
∈f (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja
R
⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli (x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y.
Zbiór X to dziedzina f-cji (D
f
), każdy element x
∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (D
f
-1
). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.
Def. Odwzorowanie f: X
→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: (x1,x2) x
1
≠x
2
⇒ f(x
1
)≠f(x
2
) (odwzorowanie różnowartościowe)
Def. Odwzorowanie f: X
→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: (y∈Y) (x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie
f: X
→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
Obrazy i przeciwobrazy: f: X
→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: (x∈A) y=f(x)}.
Przeciwobrazem zbioru B
⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f
-1
(B):={x
∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(∪(t∈T) A
t
)=
∪(t∈T) f(A
t
),
A={A
t
⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) A
t
)
⊂ ∪(t∈T) f(A
t
), 3. f
-1
(
∪(t∈T) B
t
)=
∪(t∈T) f(B
t
), 4. a) f
-1
(
∩(t∈T) B
t
)
⊂ ∪(t∈T) f
-1
(b
t
); b) f(A
1
)\f(A
2
)
⊂ f(A
1
\A
2
), f
-1
(B
1
\B
2
) = f
-1
(B
1
)\f
-1
(B
2
),
f(f
-1
(B)=B o ile B
⊂f(x), f
-1
(f(A))
⊃A;
Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y
∈Y przyporządkowujemy jedyny elem.
x
∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f
–1
, tj. f
–1
:Y
→X, gdzie
(x
∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f
–1
(y); Z tego wynika że: f
-1
(f(x))=x i f
-1
(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.
5. CIAŁA LICZBOWE
Ciało jest tpo zespół (A,□,○) złożony ze zb. A, 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A
przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral.
ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to
dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(
×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a
Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ((a,b)
∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem.
przeciw. ((a,b)
∈Z) (-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.
×
. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr.
(a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.
×
wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr. ((a,b)≠(0,0)) ((a,b)
-1
) (a,b)(a,b)
-1
= (a,b)
-1
(a,b)=(1,0) 9. przemien.
×
(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6)
6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb
rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
(a,b)=(c,d)Ùa=c
∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:
|z|=
√(a
2
+b
2
); Wł: 1. ||z
1
|-|z
2
||≤ |z1
±z2|≤|z
1
|+|z
2
| 2. |z
1
z
2
|=|z
1
||z
2
| 3. |z
1|
/z
2
|=|z
1
|/|z
2
|
Tw. Licz. zesp. jest
⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0)Ù(|Z|=0).
Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy) x-iy; Wł: 1. z
⋅sp(z)= x
2
+y
2
= |z|
2
2. sp(z
1
+z
2
)=sp(z
1
)+sp(z
2
) 3. j.w.(
⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) y=((z-sp(z))/2i)
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez z
n
, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy
część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z=
√( x
2
+y
2
)
⋅ ((x/√( x
2
+y
2
))+ i(y/
√( x
2
+y
2
)))= r(cos
Φ+ i sinΦ)), r=|z|
Def. Argumentem liczby z=x+jy
≠0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie |z|=√(x
2
+y
2
)>0
jest modułem liczby z.
Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n
∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ isinΦ)≠0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych
pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: z
k
=
n
√r (cos((Φ+2kπ)/n)+ isin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.
W przypadku n=2 piszemy
√z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę e
x
o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb
zespolonych , określamy: e
jy
:=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. e
x
=e
x
e
jy
= e
x
(cosy+jsiny), 2. sinz= (e
zi
-e
-zi
)/z 3. cosz= (e
zi
+e
-zi
)/z 4. lnz={ln|z|+ i(
Φ+2kπ), k∈Z};
Wrór de Moivre’a (cos
Φ+ isinΦ)
n
= cos n
Φ+ isin nΦ, n∈N; z
n
=n|z| (cos n
Φ+ isin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ isinΦ)
n
= cos
n
Φ+ (
n
1
)icos
n-1
ΦsinΦ-
(
n
2
)cos
n-2
Φsin
2
Φ+ …+ i
n
sin
n
Φ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnΦ= cos
n
Φ- (
n
2
)cos
n-2
Φ⋅ sin
2
Φ+…, sinnΦ= (
n
1
)cos
n-1
Φ⋅ sinΦ– (
n
3
)cos
n-3
Φ⋅ sin
3
Φ+…;
7. PRZESTRZEŃ LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś „+” i „
⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz.
wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni
A i dow. liczb rzeczyw.
α i β zachodzą równości a) α(x+y)= αx+αy b) (α+β)x= αx+βx c) (αβ)x= α(βx) d) 1⋅x=x; Przykł: R
n
- zb. wszystk. ciągów (x
1
, ...,x
n
), gdzie x
1
, ...,x
n
są
licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x
1
, ...,x
n
)+ (y
1
, ...,y
n
)= (x
1
+y
1
, ...,x
n
+y
n
), mnoż:
α(x
1
, ...,x
n
)= (
αx
1
, ...,
αx
n
), Układ taki (R
n
,+,
⋅) stanowi przestrz. liniową.
8. PRZESTRZEŃ METRYCZNA I
Metryka– Określenie metryki: X
≠∅, d: X
2
→R
+
, (x,y)
→d(x,y); F-cję d: X
2
→R
+
nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0
⇔ x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.)
3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y
∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y,
2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x
0
∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x
0
i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x
0
,r) {x
∈X: d(x
0
,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x
0
i prom. R nazywamy zbiór:
K¯(x
0
,r) { x
∈X: d(x
0
,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A
⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: (x∈A) (Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou
otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest
domknięty
⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ((x
n
)
⊂A) x
n
→x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A A¯\Aº =
A¯ A’¯, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P conajm. jedn. pkt
∉ A i jedn. ∈
A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór A¯={x
∈W: ((x
n
)
⊂A) lim x
n
=x};
Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; (więcej zobacz Granice)
Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) x
n
∈X Df. Ciągiem (x
n
) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x
∈X jeżeli ma on własn.:
(
ε>0) (n
0
∈N) (n>n
0
) d(x
n
,x)<
ε ;lim(x→0) n
n
=x, x
n
–(n
→∞)→x, d(x
n
,x) –(n
→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {x
n
=x, n=1,2,...;
lim(n
→∞) x
n
=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn
→X to dla dowolnego podciągu Xn
k
ciągu Xn: lim(k
→∞) Xn
k
=X
9. PRZESTRZEN METRYCZNA II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy’ego) : Mówimy że ciąg (x
n
) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli ma własn:
(
ε>0) (n
0
∈N) (n>n
0
)
(m
∈N) d(x
n
,x
n+m
)<
ε, d(x
n
,x
n+m
)–(n
→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego: (ε>0) (n
0
∈N) (n>n
0
) d(x
n
,x)<
ε (x
n
→x);
d(x
n
,x
n+m
)
≤d(x
n
,x)+d(x
n+m
,x)<
ε/2+ε/2 dla n>n
0
; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: (x
⊃ (xn)∈(c)) lim(n→∞) x
n
= x
∈X, {{gdzie (x
n
)
∈(c)
oznacza: x
n
spełnia war. Cauchy’ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r
2
,d
ε
) d
ε
(P,Q)=
√((x
P
-x
Q
)
2
+ (y
P
-y
Q
)
2
), P(x
P
,y
P
),
Q(x
Q
,y
Q
) 3. (R
n
,d), x=(x
1
, ..., x
n
). y=(y
1,
..., y
n
), d(x,y)=
√(
(i=1)
Σ
(n)
(x
i
-y
i
)
2
)
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)
→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to
1. (sp(x)
∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x
0
∈X ciąg kolejnych przybliżeń (x
n
) startujacy z pktu x
0
jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),x
n
)
≤(α
n
/(1-
α)) d(x
0
,f(x
0
)) Dowód: Wykazać że (x
n
) spełnia war. Cauchy’ego: d(x
1
,x
2
)= d(f(x
0
),f(x
1
))
≤ L d(x
0
,x
1
) ,, d(x
2
,x
3
)= d(f(x
1
),f(x
2
))
≤ L d(x
1
,x
2
) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(x
n
,x
n+1
)
≤
L
n
d(x
0
,x
1
) ;; d(x
n
,x
n+p
)
≤ d(x
n
,x
n+1
)+ d(x
n+1
,x
n+p
)
≤ d(x
n
,x
n+1
)+ d(x
n+1
,x
n+2
)+ …+ d(x
n+p-1
,x
n+p
)
≤ L
n
d(x
0
,x
1
)+ L
n+1
d(x
0
,x
1
)+ …+ L
n+p-1
d(x
0
,x
1
)= (L
n
+ L
n+1
+ …+ L
n+p-1
) d d(x
0
,x
1
)=
L
n
((1-L
p
)/ (1-L)) d(x
n
,x
1
)
≤ L
n
(1/ (1-L)) d(x
0
,x
1
);; L
n
→0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to
lim(n
→∞) X
n
= sp(x)
∈X.
10. PRESTRZEŃ METRYCZNA III
Zbieżność „po współrzędnych” w R
n
:
Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]
→R ; f
n
→f ;; sup([a,b]) |f
n
(x)- f(x)|
→0 ;; (ε>0) (n
0
∈N) (n>n
0
) (x
∈[a,b]) |f
n
(x)- f(x)|<
ε ;. Zbieżność niemal
jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (f
n
) taki że f: (a,b)
→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym
[
α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:
11. PRZESTRZEŃ METR. IV, GRANICE, CIĄGŁOŚĆ F-CJI
Definicja granicy lim(x
→x
0
) f(x) f-cji f: (X,d)
→(Y, ρ)
Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x
0
granicę g co zapisujemy lim(x
→x
0
)f(x)=g)
⇔ gdy dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach ze zbioru D
f
\{x
0
} i zbieżnego do
punktu x
0
ciąg (f (x
n
)) jest zbieżny do punktu g.; lim(x
→x
0
) f(x)=g
⇔ ((x
n
)
∈D
f
\{x
0
}) x
n
→x
0
, f(x
n
)
→g .;
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x
0
granicę g
⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x
0
|< r
⇒|f(x)-g|< ε;
lim(x
→x
0
) f(x)=g
⇔ (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x
0
)< δ
⇒ d(f(x),g) <ε; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x
0
) f(x)=g, lim(x
→x
0
)=p, i x
0
jest pktem
skupienia zbio. D
f
D
h
, to: 1,2,3. lim(x
→x
0
) [f(x)
±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x
0
) [f(x)/h(x)]=g/p, p≠0; 5. Jeż. lim(x
→x
0
) f(x)=g oraz lim(y
→g) h(y)=p, to lim(x→x
0
) h[f(x)]=p;.
Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x
0
∈D
f
:
Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x
0
⇔ gdy dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach ze zbioru D
f
i zbieżnego do punktu x
0
ciąg (f(x
n
)) jest
zbieżny do punktu f(x
0
).
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x
0
⇔ gdy (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x
0
)<
δ ⇒ ρ(f(x
0
)-f(x))<
ε.
Tw. F-cja f jest ciągła w punkcie x
0
będącym punktem skupienia dziedziny Df
⇔ gdy lim(x→x
0
) f(x)=f(x
0
).
Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła
⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)
→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: (ε>0) (δ>0) (x
1
,x
2
∈X) d(x
1
,x
2
)
≤δ ⇒ρ(f(x
1
),f(x
2
))<
ε;
Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)
→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: (0≤L) (x
1
,x
2
∈X) ρ(f(x
1
),f(x
2
))
≤ L⋅d(x
1
,x
2
). F-cja, która spoełnia war.
Lipsch. jest jednostajnie ciągła:
(1)
ρ(f(x
1
),f(x
2
))
≤ L⋅d(x
1
,x
2
)< L
⋅δ ;; d(x
1
,x
2
)<
δ - jednostajność ;;
(2)
ρ(f(x
1
),f(x
2
))<
ε - jednostajność:: z
(1)
i
(2)
wynika, że L
⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L
12. WŁASNOŚCI F-CJI CIĄGŁYCH NA ZB. ZWARTYM
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (x
n
)
⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: (Xn⊂A) (Xn
k
) Xn
k
–
(k
→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy:
(Xn
⊂X) (Xn
k
) Xn
k
–(k
→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.
Tw. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)
→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód:
~ (
ε>0) (δ>0) (x
1
,x
2
∈X) [d(x
1
,x
2
)<
δ ⇒ρ(f(x
1
),f(x
2
))<
ε];;
E(
ε>0) (δ>0) (x
1
,x
2
∈X) [d(x
1
,x
2
)<
δ ⇒ρ(f(x
1
),f(x
2
))≥
ε];;
δ
1
=1, x
1
,y
1
d(x
1
,y
1
)<1
ρ(f(x
1
),f(y
1
))≥
ε;;
δ
2
=1/2, x
2
,y
2
d(x
2
,y
2
)<1/2
ρ(f(x
2
),f(y
2
))≥
ε;; ...
δ
n
=1/n, x
n
,y
n
d(x
n
,y
n
)<1/n
ρ(f(x
n
),f(y
n
))≥
ε;; (x
n
),(y
n
)
⊂X;;
(Xn
k
),Xn
k
–(n
→∞)→ sp(x) – zbieżny;; d(x
nk
,y
nk
)<1/n
k
ρ(f(x
nk
),f(y
nk
))≥
ε;;
(Xn
k
),Xn
k
–(m
→∞)→ sp(y);; d(x
nkm
,y
nkm
)<1/n
km
ρ(f(x
nkm
),f(y
nkm
))≥
ε;;
x
n
→sp(x), y
n
→sp(y) ⇒ d(x
n
,y
n
)
→ d(sp(x),sp(y));;
d(x
nkm
0
,y
nkm
)
→ d(sp(x)
0
,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;
f(xn
km
)
→f(sp(x)), f(yn
km
)
→f(sp(y)) ⇒ d(f(xn
km
),f(yn
km
))
→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;
d(f(xn
km
)
0
,f(yn
km
))
→ d(f(sp(x))
0
,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;
a więc f(xn
km
)-f(yn
km
)= 0 ~(≥
ε);;.
Tw. (Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)
→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na
tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c
1
i c
2
że f(c
1
)= inf(a
≤x≤b) f(x)), f(c
2
)= sup(a
≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż
funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru
swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x
∈(-π/2,π/2). Jeż
f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x
∈(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b.
13. CIĄGI RZECZYWISTE I
Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy’ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (x
n
)
⇔ gdy: lim(n→∞) x
n
=x
⇔ (ε>0) (n
0
) (m>n
0
) (k>n
0
) (|x
m
-x
k
|<
ε);
Własn. c. zbież. do gran wł. w R – 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi x
n
i y
n
: a,b,c. lim(n
→∞) (x
n
±×y
n
)= lim
(n
→∞)
x
n
±× lim
(n
→∞)
x
n
d. lim
(n
→∞)
(x
n
/y
n
)= (lim
(n
→∞)
x
n
)/
(lim
(n
→∞)
y
n
), y
n
≠0, lim
(n
→∞)
y
n
≠0; e. jeż. (n
0
) (n
0
≤n) x
n
<y
n
to lim
(n
→∞)
x
n
≤ lim
(n
→∞)
y
n
2. ciągi stałe są zbież. (x
n
=x, n=1,2... to lim(n
→∞)x
n
=x) 3. ciąg ma conawyż. jedn. granicę
4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0
n
√a→n,
n
√n→1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z
R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (x
n
) i (y
n
) są zbież. w R i lim
(n
→∞)
x
n
= lim
(n
→∞)
y
n
oraz ciąg (z
n
) ma własn.: (n
0
∈N) (n>n
0
) x
n
≤z
n
≤y
n
, to ciąg (z
n
) jest zbież. oraz lim
(n
→∞)
x
n
=
lim
(n
→∞)
y
n
= lim
(n
→∞)
z
n
Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)
n
Tw. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11.
każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy’ego.
Tw. (O ciągu monotonicznym) Ciąg x
n
nazyw.: 1. rosną. jeż. (n
∈N) (x
n
<x
n+1
) 2. malej. jeż. (n
∈N) (x
n
>x
n+1
) 3. niemalej. (n
∈N) (x
n
≤x
n+1
) 4. nierosn. (n
∈N) (x
n
>=x
n+1
)
14. CIĄGI RZECZYWISTE II
Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn:
(x
⊃x
n
∈(c)) lim(n→∞)x
n
=x
∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.
Granice niewłaściwe: Ciąg x
≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim
(n
→∞)
x
n
=+(-)
∞ ⇔ (M) (n
0
) (n>n
0
) x
n
>(<)M
15. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy
∆x→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f‘(x
0
), f‘(x
0
)=lim(
∆x→0) [f(x
0
+
∆x) - f(x
0
)]/
∆x.
Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x
0
i dla przyrostu
∆x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x
0
+
∆x)-f(x
0
)]/
∆x.
Tw. (O reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux
0
→X ma pochodna f’(x
0
) w p. x
0
to słuszny jest wzór:
∆f(x
0
)=f(x
0
+
∆x)-f(x
0
)= f’(x
0
)dx+
ω(∆x) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0,
lim(
∆x→0) ω(∆x)/∆x=0 Dowód: ∆f(x
0
)=f’(x
0
)
∆x+ (∆f(x
0
)- f’(x
0
)
∆x)
(
ω(∆x))
;; lim(
∆x→0) ((∆f(x
0
)- f’(x
0
)
∆x)/∆x)= lim(∆x→0) [(∆f/∆x)⋅( x
0
)- f’(x
0
)]=0.;
Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux
0
→R ma poczhodą w p. x
0
, to f-cja f jest ciągła w p. x
0
, Dowód: lim(
∆x→0) f(x
0
+
∆x)= f(x
0
).
16. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ II
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R
⊃Ux
0
–f
→f(Ux
0
)–g
→R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x
0
, a f-cja g ma pochodną w punkcie y
0
= f(x
0
) to istnieje poch. fcji g
⋅f w x
0
:
g’[f(x
0
)]* f’(x
0
)= (g
⋅f)’(x
0
).
Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f
(n)
(x)= [f
(n-1)
](x), n=1,2,...przy czym [f
(0)
]’(x)=f‘(x).
Def: Zakładamy że ist. pochodna f
(n-1)
(x) f-cji f: R
⊃Ux
0
→R dla x∈Ux
0
. Oznaczamy
Φ(x)=f
n-1
(x). Jeż. istnieje
Φ’(x
0
), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji
Φ) nazywamy n-ta poch.
f-cji f w p. x
0
lub poch. n-tego rzędu w p. x
0
, f
n
(x
0
), n=0,1,...;
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R
⊃D
f
–na
→D
f
-1
⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w D
f
: f’(x)
≠0, x∈D
f
to f-cja odwrotna f
-1
ma poch. w D
f
-1
y
f
-1
’(x
0
)=1/f’(f
-1
(x
0
));
Tw. (O pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: Ux
o
→R takie że isnieje f’(x
0
) i g’(x
0
), wtedy: 1. (f(x
0
)
±g(x
0
))’= f’(x
0
)
± g’(x
0
) 2. [f(x
0
)g(x
0
)]’= f’(x
0
)g(x
0
)+
f(x
0
)g’(x
0
) 3. [f(x
0
)/g(x
0
)]’= {[f’(x
0
)g(x
0
)- f(x
0
)g’(x
0
)]/ g
2
(x
0
)}
17. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Tw. (Rolle’a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c
∈(a;b), że f ‘(c)=0. Dowód: A) f(x)=const
f’(x)=0 B) f(x)≠const. x
∈<a,b> istnieje supf(x)>f(a)∨ inff(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)=inff(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ ∆x)-f(c)]/∆x ={≥0 dla ∆x>0, ≤0 dla ∆x<0}, Ponieważ
c+
∆x∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f’(c) więc 0≤f
-
‘(c)= f’(c)= f
+
’(c)
≤0 czyli f’(c)=0;.
Tw. (Lagrange’a): Jeżeli f-cja f:[x
0
,x]
→R jest ciągła na przedziale domkn. <x
0
,x> ist f’(x) dla x
∈(x
0
,x), to istnieje taki punkt c
∈(x
0
,x), że f(x)-f(x
0
)= f’(c)(x-x
0
). Wnioski: 1)
Jeż. f-cja f: R
⊃D
f
→R ma w D
f
poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R
⊃(a,b)→R istnieje f’(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b>
f’(x)=0 to dla każdego x
∈<a;b> f(x)- f(x
0
)=0(x-x
0
)
⇒ f(x)=f(x
0
). Jeżeli f’(x
0
)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego
x
∈ (a;b) f‘(x)>0 to: a) x<x
0,
f(x)-f(x
0
)=f‘(x)(x-x
0
)<0; f(x)-f(x
0
)<0
⇒f(x)<f(x
0
) b) x
0
<x, f(x)-f(x
0
)=f(x
0
)(x-x
0
)>0
⇒ f(x)>f(x
0
). Jeżeli f‘(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to
f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f ‘(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux
0
→R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux
0
oraz ma pochodną rzędu n w Ux
0
, to (x
∈Ux
0
) oraz x≠x
0
istnieje liczba ς
∈(0,1) taka że
f(x)=
K=0
Σ
n-1
[(f
K
(x
0
)/k!)* (x-x
0
)
K
]+ [(f
(n)
(c))/n!)* (x-x
0
)
n
]
reszta Lagrangea
, c=x
0
+ς(x-x
0
) Dowód: (dla przypadku 2
≤n) –dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange’a
o wart. średniej.;; Obieram dowol. x
∈Ux
0
, obierając dowolną licz. λ
∈R definiujemy f-cję φ=φ
x,λ
: Ux
0
→R, t→φ(t);; φ(t) f(x)-
K=0
Σ
n-1
[(f
K
(t)/k!)* (x-t)
K
]- λ((x-t)
n
)/n! ,t
∈Ux
0
,
Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x
0
,x] lub [x,x
0
]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φ
λ
(x
0
)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące
do przedz. o końc. (x) i (x
0
) takie że φ’(c)=0;;
φ’(t)= (-1)
K=0
Σ
n-1
[(f
K+1
(t)/k!)* (x-t)
K
]+
K=0
Σ
n-1
[(f
K
(t)/ (k-1)!)* (x-t)
K-1
]+ [λ(x-t)
n-1
/(n-1)!]= (-1)
K=0
Σ
n-1
[(f
K+1
(t)/ k!)* (x-t)
K
]+
K=0
Σ
n-2
[(f
K+1
(t)/ k!)* (x-t)
K
]+ [λ(x-t)
n-1
/ (n-1)!]= (-1)
⋅
[(f
n
(t)/ (n-1)!)* (x-t)
n-1
]+ [λ(x-t)
n-1
/ (n-1)!]= (-1)
⋅ [(f
n
(c)/ (n-1)!)* (x-c)
n-1
]+ [λ(x-c)
n-1
/ (n-1)!]=0;; (x-c)
n-1
/ (n-1)!
⋅ [λ- f
n
(φ)]=0;; λ=f
n
(φ), c=x
0
+ ς(x-x
0
), ς
∈(0,1);;.
Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x
0
=0 otrzymamy
K=0
Σ
n-1
[(f
(K)
(0)) /k!]*x
K
+R
n
, gdzie R
n
=[f
(n)
C/n!]* x
n
. Punkt c jest położony między 0 i x.
18. CAŁKA RIEMANNA I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: R
n
=
k=1
Σ
n
f(c
k
)*
∆x
k
,
δ
n
=max(1
≤k≤n)∆x
k
– średnica przedziału,
∆x
k
=x
k
-x
k-1
, k=1, 2, ..,n – długość prezdz. częściowego;
Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (R
n
) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru
punktów pośrednich c
i
, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem
a
∫
b
f(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R
całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]
→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],
Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje
⇔ gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (S
n
→S;; s
n
→s) i s=S
19. CAŁKA RIEMANNA II
Liniowość całki Riemanna: Tw. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]
→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na
tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość:
a
∫
b
[f(x)+g(x)]dx=
a
∫
b
f(x)dx+
a
∫
b
g(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja
αf: [a,b]→R
,
α∈R(jednorodność całki) : x→(αf)(x)=αf(x);;
R(a,b) – zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)
→R,
f
→T(f)=
a
∫
b
f(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(
αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;
Tw. (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <
α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C
1
<a;b> 3)
zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział
<α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej
a
∫
b
g[h(x)]h’(x)dx=
α
∫
β
g(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1.
φ:<
α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f’(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;
Tw. (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C
1
na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór
∫u(x)*v’(x)dx = u(x)*v(x) -∫u’(x)*v(x)dx ,
który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Tw. (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C
1
<a;b>
to
a
∫
b
U(x)*V’(x)dx= U(x)*V(x)
a
b
-
a
∫
b
U’(x)*V(x)dx.
Tw. (O jednostajnej ciągłości) F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także
całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz
a
∫
b
[f(x)+g(x)]dx=
a
∫
b
f(x)dx+
a
∫
b
g(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i
a
∫
b
Af(x)dx= A
a
∫
b
f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6)
Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7)
Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to
a
∫
c
f(x)dx +
c
∫
b
f(x)dx=
a
∫
b
f(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na
przedziale <a;b>, wówczas f(x)
≤g(x); dla x∈<a,b>⇒
a
∫
b
f(x)dx
≤
a
∫
b
g(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m
≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤
a
∫
b
f(x)dx
≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to
a
∫
b
f(x)dx=
∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest R-
całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x
∉A, to
a
∫
b
f(x)dx=0,;
20. CAŁKA RIEMANNA III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0
≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka
a
∫
b
f(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę lims
n
= limS
n
=
a
∫
b
f(x)dx
nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a
≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest
zgone z określeniem pola figury płaskiej.
Tw. Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f
1
i f
2
spełniają na tym przedziale nierówność f
1
(x)
≤ f
2
(x) to pole
D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i
x= b wyraża się wzorem
D=
a
∫
b
[f
2
(x)-f
1
(x)]dx.
Tw. Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t
∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to
pole
D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|=
α
∫
β
|y(t)|*x’(t)dt., gdy postać wyraźna: to jej pole
P=
a
∫
b
|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ
∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole:
P=1/2
a
∫
b
r
2
dφ;
Tw. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a
≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C
1
<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l=
a
∫
b
√(1+f ’
2
(x)) dx.
Tw. Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t
∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C
1
<
α,β> to jej długość l wyraża się całką l=
α
∫
β
√([x’(t)]
2
+[y‘(t)]
2
)dt ; długość wyraźną postacią: L=
a
∫
b
√(1+[f(x)]
2
)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L=
a
∫
b
√(f
2
(φ)+[f’(φ)]
2
)dφ;
Tw. Objętość
V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏
a
∫
b
f
2
(x)dx.
Tw. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t
∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C
1
<
α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t)
nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem
V= ∏
α
∫
β
y
2
(t)*x’(t)dt.
Tw. Pole
S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C
1
<a;b> wyraża się całką
S=2∏
a
∫
b
f(x)√(1+f ’
2
(x)) dx.
20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F’ jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x
∈X
F’(x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy
całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci
F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja
pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem
∫f (x) dx.
Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór
∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na
przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
Tw. (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [
∫f(x)dx]’= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F’(x)= f(x); [∫f(x)dx]’= (F(x)+C)’= F’(x)+f(x).
Tw. (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf’(x)dx=f(x)+C
Tw. (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw. (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw. F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.
DF: Wzór rekurencyjny: In=
∫x
n
e
x
dx = x
n
e
x
- nI
n - 1
.
21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: <a,
∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek I
f
(a,
∞)=
a
∫
b
f(x)dx b
∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy
a
∫
∞
f(x)dx
Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł.
a
∫
∞
f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b
→+∞)
a
∫
b
f(x)dx
Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (
a
∫
α
f(x)dx) a<
α<b, lim(x→b
-
)f(x)=
±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>
Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł.
a
∫
b
f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(
α→b
-
)
a
∫
α
f(x)dx
Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: <a,
∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz (a≤A) (x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk.
a
∫
∞
g(x)dx
wynika zbieżn.
a
∫
∞
f(x)dx b) odwrotnie: ze zb.
a
∫
∞
f(x)dx
⇒
a
∫
∞
g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest
a
∫
∞
|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł.
a
∫
∞
f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w
zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest
a
∫
∞
f(x)dx i jednocześnie
a
∫
∞
|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że
a
∫
∞
f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli
a) f-cja f: <a,
∞)→R jest R-całk. w każd. <a,b>⊂<a,∞) oraz (k>0) (a≤b)|
a
∫
b
f(x)dx|
≤k b) f-cja g: <a,∞)→R jest monotonicznie zbież. do 0 to
a
∫
b
f(x)g(x)dx jest zbież.
Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest
a
∫
∞
|f(x)|dx to mówimy że całk niewł.
a
∫
∞
f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż.
a
∫
∞
f(x)dx jest
zbież. i jednocześ.
a
∫
∞
|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk.
a
∫
∞
f(x)dx jest warunkowo zbież.;
22. CAŁKI EULERA
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (
β-eulera): β(a,b)
0
∫
1
x
a-1
(1-x)
b-1
dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (
Γ-eulera): Γ(a)
0
∫
∞
x
a-1
e
-x
dx, a>0
Własn: 1. całka
β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π/sinaπ],
0<a<1 f)
β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) n
a
⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)=
π/sinaπ f) Γ(1/2)=√π;
23. SZEREGI LICZBOWE
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((a
n
),(s
n
)) Tradycyjnie te parę notujemy
(k=1)
Σ
(n)
a
k
, (s
n
)- ciąg sum częściowych,
Def. (zbieżności szeregu) Szereg
(k=1)
Σ
(
∞)
a
k
jest zbież
⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer.
(k=1)
Σ
(n)
a
k
jest
rozbież.
Tw. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż.
(k=1)
Σ
(
∞)
a
k
jest zbież. to lin(n
→∞)a
n
=0 Dowód: Szereg
(k=1)
Σ
(
∞)
a
k
jest zbież
⇔ lim(n→∞)s
n
=s
∈R, (s
n
)- spełnia war. (Cauch.)
⇔
(
ε>0) (n
0
∈N) (n>n
0
)
(m
∈N) |s
n+m
-s
n
|<
ε ⇒ |s
n
-s
n-1
|
→0;; |
(k=1)
Σ
(k)
a
k
-
(k=1)
Σ
(n-1)
a
k
|=|a
n
|
Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg
(n=1)
Σ
(
∞)
|a
n
|, Dowód:
(n=1)
Σ
(
∞)
a’
n
- utworzony z wyrazów dodatn.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
::
(n=1)
Σ
(
∞)
a’’
n
- utworzony z wyrazów ujemn.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
;; (s
n
)-ciąg sum
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
;; (s’
n
)-ciąg sum
(n=1)
Σ
(
∞)
a’
n
;; (s’’
n
)-ciąg sum
(n=1)
Σ
(
∞)
a’’
n
;; (s*)- suma
(n=1)
Σ
(
∞)
|a
n
|;; s’
n
≤s* oraz s’’
n
≤s*,
więc (s’
n
) i ( s’’
n
) są rosnące więc sa zbiezne, więc
(n=1)
Σ
(
∞)
a’
n
i
(n=1)
Σ
(
∞)
a’’
n
są zbieżne;; S’-suma
(n=1)
Σ
(
∞)
a’
n
; S’’ suma
(n=1)
Σ
(
∞)
a’’
n
; S-suma
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
;; S
n
=S’
m
-S’’
r
i n=m+r, jeżeli
n
→∞to m,r→∞;; limS
n
= limS’
m
- limS’’
r
=S’-S’’ czyli szereg
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest zbieżny i jego sumą jest liczba S’-S’’. ;;
Tw. (szereg zespolony) szer. zesp.
(n=0)
Σ
(
∞)
z
n
jest zbież.
⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw.
(n=0)
Σ
(
∞)
x
n
i części urojonej
(n=0)
Σ
(
∞)
y
n
24. SZEREGI LICZBOWE II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
;
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
; (a
n,
b
n
≥0, n=1,2,...), Jeżeli (n
0
∈N) (n
0
≤n) a
n
≤b
n
, to: a) jeżeli szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
b
n
jest zbież, to zbież. jest też szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
; b) jeż. szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest rozbież. to rozbież jest szr.
(n=1)
Σ
(
∞)
b
n
;
Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego) Dany jest szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
; Oznaczamy
α=lim
n
sup
n
√(|a
n
|). Jeżeli 1)
α<1 to
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest zbieżny 2)
α>1 to
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest rozbież.
3)
α=1 to przypadek wątpliwy;
Tw. Jeż. szeregi
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
i
(n=1)
Σ
(
∞)
b
n
są zbieżne to zbieżne są tez szeregi:
(n=1)
Σ
(
∞)
(a
n
+b
n
) oraz
(n=1)
Σ
(
∞)
δa
n
i
(n=1)
Σ
(
∞)
(a
n
+b
n
)=
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
+
(n=1)
Σ
(
∞)
b
n
; i
(n=1)
Σ
(
∞)
δa
n
=
δ
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
Tw. (Kryterium ilorazowe d’Alamberte’a) Dany jest szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
wtedy a) jeżeli limsup|a
n+1
/a
n
|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|a
n+1
/a
n
|
≥ dal n≥n
0
to szer. jest rozb.
Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,
∞]→R
+
\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f
monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x
0
≥1 c) f(n)=a
n
, n=1,2,... to: szereg
(n=1)
Σ
(
∞)
a
n
jest zbież. (rozbież)
⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł.
1
∫
∞
f(x)dx
25. SZEREGI LICZBOWE III
Szereg naprzemienny: szereg
(n=1)
Σ
(
∞)
(-1)
n+1
a
n
, a
n
>0, nazyw. szer. naprzem.
Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. a
n
monotonicznie dąży do 0, to szer.
(n=1)
Σ
(
∞)
(-1)
n+1
a
n
jest zbież. oraz |R
n
|
≤a
n+1
, n=1,2,...
Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny
(n=1)
Σ
(
∞)
(-1)
n
/n
**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów
Σ(od n=1 do ∞) a
n
oraz
Σ (od n=1 do ∞) b
n
są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona
nierówność a
n
<=b
n
to z e zbieżności szeregu b
n
wynika zbieżność a
n
i odwrotnie.
26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (f
n
) n
∈N
0
; f
n
: R
⊃D→R, x→f
n
(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (s
n
) n
∈N
0
: S
n
:D
→R,
x
→S
n
(x)
(k=0)
Σ
(n)
f
n
(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((f
n
),(S
n
)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
(x), x
∈D
Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest zbież. punktowo w D, jeż. szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)
Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest zbież. jednost. do supS
na D jeż. sup(x
∈D) |S
n
(x)- S(x)|
→0 Piszemy wtedy że S
n
S(x) („ ” jednostajnie dąży),
(
ε>0) (n
0
) (n>n
0
) (x
∈D) |S
n
(x)- S(x)|<
ε
Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]
⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.
Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
określony na D ma własn: a) (n
0
∈N) (n
0
≤n) (x∈D) |f
n
(x)|
≤a
n
, b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
jest zbież. to: szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (f
n
)n
∈N
0
jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.
Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to:
a
∫
b
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
(x)dx=
(n=0)
Σ
(
∞)
a
∫
b
f
n
(x)dx
Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
mają ciągłe pochodne w (a,b), szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer.
(n=0)
Σ
(
∞)
f ’
n
jest zbież. jednost.
(niemal jednost. zbież) to ma pochodną (
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
(x))’=
(n=0)
Σ
(
∞)
f
n
’(x)
27. SZEREGI FUNKCYJNE II POTEGOWE
(*)(*)
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
(x-x
0
)
n
; (*)
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
x
n
, a
n
- współczynnik szer. potęgowego.
Promień zbieżn szer. potęgow. R R sup{r
≥0
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
r
n
} jest zbieżny, |x|<r
Tw (Cauchy’ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(
n
√|a
n
|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy
λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R
+
\{0}}
Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n
→∞)|a
n+1
/a
n
|=
λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.
Tw. Jeżeli szereg
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
x
n
ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale
[-a,a]
⊂(-R;R)).
Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x
∈(-R,R)
0
∫
x
(
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
t
n
)dt=
(n=0)
Σ
(
∞)
(a
n
/n+1)x
n+1
; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.
Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x
∈(-R,R) to (
(n=0)
Σ
(
∞)
x
n
)’=
(n=1)
Σ
(
∞)
x
n-1
; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.
Szer. potęgow. zesp: (*)(*)
(n=0)
Σ
(
∞)
z
n
(z-z
0
)
n
; (*)
(n=0)
Σ
(
∞)
a
n
z
n
, Jeż.
λ=lim
n
sup
n
√|a
n
|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|
≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy
λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R}