Zadania z analizy matematycznej 4
semestr 4, gr. 2, sem. letni 2007/8.
Ci¡g dalszy zada« z ciaª i σ-ciaª.
Zadanie 1.12.
Niech X = (0, 1), A
n
= (0,
n−1
n
)
, n ∈ N. Czy ciaªo generowane przez {A
n
}
jest jest równe σ({A
n
})
?
Zadanie 1.13.
Niech X = R, A
1
= {(n, n + 1) : n ∈ Z}, A
2
= {[n, n + 1] : n ∈ Z}. Sprawdzi¢, czy zachodz¡ inkluzje
σ(A
1
) ⊂ σ(A
2
)
i σ(A
1
) ⊃ σ(A
2
).
Zadanie 1.14.
Przez B
n
lub B oznaczamy σ-ciaªo generowane przez wszystkie zbiory otwarte w przestrzeni R
n
. Elementy
B
nazywamy zbiorami borelowskimi.
Czy nast¦puj¡ce zbiory s¡ zbiorami borelowskimi: zbiór domkni¦ty, zbiór jednopunktowy, zbiór liczb
wymiernych w R, zbiór liczb niewymiernych w R?
Zadanie 1.15.
Wykaza¢, »e przedziaªy postaci [a, b], (a, b], [a, b) s¡ zbiorami borelowskimi na prostej.
Zadanie 1.16.
Pokaza¢, »e σ({(a, b) : a, b ∈ R, a < b}) = B.
Zadanie 1.17.
Znale¹¢ najmniejsze ciaªo podzbiorów przestrzeni R zawieraj¡ce wszystkie zbiory jednopunktowe.
Zadanie 1.18.
Znale¹¢ najmniejsze σ-ciaªo podzbiorów przestrzeni R zawieraj¡ce wszystkie zbiory dwuelementowe.
Zadanie 1.19.
Dane s¡ σ-ciaªa podzbiorów przestrzeni R:
σ
1
= σ({(a, b) : a, b ∈ R, a < b}),
σ
9
= σ({(p, q) : p, q ∈ Q, p < q}),
σ
2
= σ({[a, b] : a, b ∈ R, a < b}),
σ
10
= σ({[p, q] : p, q ∈ Q, p < q}),
σ
3
= σ({[a, b) : a, b ∈ R, a < b}),
σ
11
= σ({[p, q) : p, q ∈ Q, p < q}),
σ
4
= σ({(a, b] : a, b ∈ R, a < b}),
σ
12
= σ({(p, q] : p, q ∈ Q, p < q}),
σ
5
= σ({(−∞, a) : a ∈ R}),
σ
13
= σ({(−∞, p) : p ∈ R}),
σ
6
= σ({(−∞, a] : a ∈ R}),
σ
14
= σ({(−∞, p] : p ∈ R}),
σ
7
= σ({(a, ∞) : a ∈ R}),
σ
15
= σ({(p, ∞) : p ∈ R}),
σ
8
= σ({[a, ∞) : a ∈ R}),
σ
16
= σ({[p, ∞) : p ∈ R}).
Pokaza¢, »e σ
i
= σ
j
dla dowolnych 1 6 i < j 6 16.
1