Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
10
1
5
2
4
1
)
(
4
1
)
(
)
(
=
=
∩
→
=
∩
B
A
P
A
P
B
A
P
20
1
10
1
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
=
=
∩
∩
→
=
∩
∩
∩
C
B
A
P
B
A
P
C
B
A
P
10
3
)
(
10
1
)
(
5
2
10
6
=
→
−
+
=
B
P
B
P
( )
2
1
10
3
3
1
20
1
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
∩
∩
=
∩
∩
∩
=
B
P
B
C
P
C
B
A
P
C
B
P
C
B
A
P
ODP
Zadanie 2
)
1
;
(
:
k
n
k
B
x
n
k
−
+
≅
y
x
dla
)!
(
)!
1
(
)!
1
(
)
1
(
)
(
!
)
,
(
1
1
,
:
:
<
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
j
n
i
j
i
y
x
y
x
n
y
x
f
j
n
i
j
i
x
x
n
j
n
i
gęstość Beta:
1
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
Γ
Γ
+
Γ
β
α
x
x
β
α
β
α
dla Beta(
:
)
, β
α
)
1
(
)
(
var
,
2
+
+
+
=
+
=
β
α
β
α
αβ
X
β
α
α
EX
min ma rozkład B(1,n)
max ma rozkład B(n,1)
y
x
)!
2
(
)
(
!
)
,
(
2
max
min,
<
−
−
=
−
n
x
y
n
y
x
f
n
∫ ∫
∫ ∫
−
−
−
−
=
−
=
=
−
=
−
−
=
⋅
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
)!
2
(
!
)
(
)!
2
(
!
max
min
x
x
n
n
t
n
n
t
x
y
dydx
x
y
n
n
xy
E
∫ ∫
∫
∫
−
−
−
−
−
=
+
−
=
−
+
=
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
2
)!
2
(
!
)!
2
(
!
)
(
x
x
n
n
n
xt
t
n
n
x
dtdx
t
n
n
x
t
x
∫
∫
=
−
−
+
−
−
=
=
−
=
−
−
+
−
−
=
−
−
1
0
1
0
1
1
1
)
1
(
)!
2
(
!
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
)!
2
(
!
n
t
t
n
t
n
n
t
t
x
n
x
x
n
x
n
n
x
n
n
n
n
=
+
+
+
−
−
+
+
−
+
−
=
+
+
+
+
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
)!
2
(
!
n
t
n
t
n
t
n
n
t
n
t
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
−
+
+
−
−
+
−
=
+
−
+
+
−
−
−
+
+
−
+
−
=
2
1
2
1
2
1
1
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
)(
1
(
2
)
1
(
1
)
2
(
1
)
1
(
1
)!
2
(
!
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
1
2
1
1
2
1
+
=
+
+
+
−
+
+
−
−
=
n
n
n
n
n
n
n
2
)
1
(
2
1
max)
cov(min,
n
n
n
+
−
+
=
)
2
(
)
1
(
max
var
min
var
2
+
+
=
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
corr
1
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
2
1
)
2
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
−
−
+
+
=
+
+
+
−
+
=
Zadanie 3
[ ]
(
)
≅
n
n
p
n
p
n
µ
µ
N
Y
X
Y
X
1
1
,
,
z teorii:
(
)
2
1
2
1
2
2
2
2
,
2
1
min
2
2
σ
σ
σ
p
σ
δ
e
δ
δ
µ
µ
µ
δ
µ
µ
µ
E
δ
µ
µ
Y
X
Y
X
Y
X
X
Y
+
−
=
Π
−
−
+
−
Φ
=
−
−
dla p=1 bo u nas:
p
n
n
p
=
1
weźmy np.
Y
X
µ
µ
=
wtedy widać Ŝe A,B,C odpada
dla p=1
granice bierzemy
(
)
OK
gdy
OK
gdy
OK
gdy
,
min
min
X
Y
X
Y
X
Y
Y
X
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
E
=
<
<
=
ź
le trochę, chodzi o to Ŝe estymator nieobciąŜony
Y
X
µ
µ
n
,
,
∀
a wtedy tylko jeśli p=1
dla pewnych
Y
X
µ
µ
n
,
,
moŜe się zdarzyć, Ŝe estymator nieobciąŜony dla p róŜnego od 1
ODP (D) prawidłowa
Zadanie 4
µ
µ
σ
=
=
,
1
2
)
1
,
( µ
N
Y
≅
(
)
(
)
4
,
0
6
,
0
=
≤
=
≤
r
e
P
q
e
P
Y
Y
(
)
(
)
4
,
0
ln
6
,
0
ln
=
−
≤
=
−
≤
µ
r
Z
P
µ
q
Z
P
)
1
,
0
(
N
Z
≅
Z tego :
2
ln
ln
ln
qr
µ
µ
r
µ
q
=
+
−
=
−
qre
e
qr
qr
qr
σ
µ
µ
X
=
=
+
=
+
=
+
=
2
1
ln
exp
2
1
2
ln
exp
2
1
exp
2
Zadanie 5
(
) (
)
sq
n
sq
s
n
s
n
e
n
sq
s
f
qe
q
e
s
f
q
q
e
s
n
s
f
N
f
N
s
S
f
s
S
N
f
−
−
−
−
−
−
−
=
−
Γ
=
=
=
=
)!
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
)
1
(
)
(
)
1
(
+
−
=
−
x
f
s
f
qe
q
e
sq
s
- ma się sumować do 1 ale f(x+1) się sumuje, z tego wynika Ŝe
stała=1 i jest to rozkład X+1 gdzie X ma rozkład Poissona z parametrem sq
Z tego wynika, Ŝe:
(
)
(
)
sq
s
S
N
sq
s
S
N
E
=
=
+
=
=
var
1
czyli odpowiedź (A)
Zadanie 6
(
)
(
)
<
+
+
=
+
<
+
5
5
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
X
X
X
X
P
X
X
X
X
P
)
1
,
0
(
,
N
Y
Y
σ
X
i
i
i
≅
=
2
)
2
,
2
(
2
2
2
3
2
4
2
1
)
1
(
1
)
(
5
+
=
→
<
+
+
=
≅
=
x
x
f
Y
Y
Y
Y
P
X
F
X
4
3
42
1
∫
∫
=
−
=
−
=
=
=
+
=
+
=
−
5
0
6
1
6
1
2
2
6
5
6
1
1
1
1
)
1
(
1
t
t
t
x
x
ODP
Zadanie 7
∏
=
−
−
−
−
−
=
=
=
80
1
220
80
60
160
80
20
3
1
1
1
i
µ
µ
µ
µ
µ
x
e
µ
e
e
µ
e
e
µ
L
i
µ
µ
L
220
ln
80
ln
−
−
=
4
11
8
22
220
80
0
220
80
220
80
2
2
=
=
→
=
→
=
+
−
=
+
−
=
∂
∂
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Zadanie 8
1
2
p
p
>
( )(
)
( ) (
)
(
)
−
⋅⋅
⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
Γ
⋅⋅
⋅
Γ
−
−
−
−
−
∑
∑
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
p
p
n
x
λ
p
n
n
p
x
λ
p
n
p
x
x
CONST
e
x
x
p
λ
e
x
x
p
λ
i
i
rosnąca
∏
=
n
i
i
x
1
α
x
φ
E
c
x
φ
p
=
>
Π
=
=
)
(
else
0
x
1
)
(
2
i
(
)
α
c
X
P
i
=
>
∏
{
}
{
}
c
K
K
x
x
c
x
n
i
ln
ln
...
ln
1
=
>
+
+
=
>
=
Κ
∏
(
)
( )
( )
∫
−
−
−
−
=
=
<
=
<
−
t
e
t
t
t
x
λ
t
e
λ
e
λ
e
λ
xe
λ
e
X
P
t
X
P
0
2
exp
exp
1
)
(ln
( )
t
t
X
e
λ
e
λ
f
−
=
exp
2
)
ln(
gęstość zaleŜy od λ więc suma teŜ, czyli zaleŜy od λ i
α
Zadanie 9
k
m
M
M
M
m
M
X
L
X
a
L
n
n
n
a
a
b
>
−
=
−
=
=
1
)
(
1
)
,
0
(
sup
)
,
(
sup
0
,
c
M
m
M
c
m
M
M
<
−
>
−
- róŜne stałe
k
M
m
k
M
m
>
<
−
1
- róŜne stałe
Zadanie 10
=
=
0
0
0
1
5
,
0
0
3
,
0
2
,
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
3
,
0
0
2
,
0
5
,
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
2
P
=
⋅
=
1
0
0
0
2
,
0
0
5
,
0
3
,
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
3
,
0
0
2
,
0
5
,
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
3
P
P
