Wykład 16
Różniczkowa postać prawa Gaussa. Dywergencja pola
Związek między natężeniem pola elektrostatycznego i gęstością ładunku w pewnym
punkcie przestrzeni określa różniczkowa postać prawa Gaussa.
Dla tego, żeby wyprowadzić wzór na różniczkową postać prawa Gaussa rozważmy
skończony obszar dowolnego kształtu o objętości
V
. Podzielimy ten obszar na dwie części
1
V
i
2
V (
V
V
V
=
+
2
1
). Oznaczmy przez
1
S i
2
S powierzchnie ograniczające odpowiednio
obszary
1
V i
2
V . Strumienie pola elektrycznego przez powierzchni
1
S i
2
S są równe
∫
⋅
=
Φ
i
S
i
i
S
d
E
,
gdzie
2
,
1
=
i
.
Powierzchnie
1
S i
2
S zawierają tą samą powierzchnie przekroju
D
. A zatem, biorąc
pod uwagę iż na powierzchni przekroju
2
1
S
d
S
d
−
=
dla strumieni pola elektrycznego przez
powierzchnie
D
otrzymujemy
∫
∫
⋅
−
=
⋅
D
D
S
d
E
S
d
E
2
1
. (16.1)
198
Uwzględniając (16.1), całkowity strumień pola elektrycznego przez powierzchnie
S
możemy
zapisać w postaci
∫
∫
∫
⋅
+
⋅
≡
⋅
2
1
2
1
S
S
S
S
d
E
S
d
E
S
d
E
. (16.2)
Powtarzając podział obszaru
V
wielokrotnie otrzymujemy dużą liczbę małych
obszarów
n
V
V
V
,
,
,
2
1
ograniczonych powierzchniami
n
S
S
S
,
,
,
2
1
. Całkowity strumień
przez powierzchnie
S
możemy wtedy zapisać jako sumę strumieni pola elektrycznego przez
poszczególne małe obszary:
∫
∑∫
=
⋅
=
⋅
=
Φ
S
n
i
S
i
i
S
d
E
S
d
E
1
. (16.3)
Wprowadźmy teraz wielkość
i
S
i
V
S
d
E
i
∫
⋅
. (16.4)
W granicy
0
→
i
V
ze wzoru (16.4) otrzymujemy skalarną funkcję, która nazywa się
dywergencją pola E
∫
⋅
=
→
i
i
S
i
i
V
S
d
E
V
E
div
1
lim
0
. (16.5)
We współrzędnych kartezjańskich dywergencja pola E
ma postać
E
z
E
y
E
x
E
E
div
z
y
x
⋅
∇
≡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
. (16.6)
Przez symbol „nabla” -
∇
w równaniu (16.6) oznaczyliśmy operator wektorowy
z
y
x
e
z
e
y
e
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
, (16.7)
gdzie
z
y
x
e
e
e
,
,
są jednostkowymi wektorami wzdłuż osi
z
y
x ,
,
.
199
Udowodnimy wzór (16.6), rozważając strumień pola elektrycznego przez szczane
małego sześcianu otaczającego punkt
P
(
z
y
x ,
,
). Załóżmy, że pole elektryczne w środku
sześcianu czyli w punkcie
P
(
z
y
x ,
,
) ma składowe
z
y
x
E
E
E
,
,
. Jeżeli sześcian jest mały, to dla
składowych pola elektrycznego w punktach (
z
y
x
x
,
,
∆
±
) możemy w dobrym przybliżeniu
zapisać
z
y
x
x
E
E
x
x
E
E
,
,
∆
⋅
∆
∆
±
. (16.18)
W podobny sposób dla składowych pola elektrycznego w punktach
)
,
,
(
z
y
y
x
∆
±
oraz (
z
z
y
x
∆
±
,
,
) możemy zapisać
z
y
y
x
E
y
y
E
E
E
,
,
∆
⋅
∆
∆
±
,
z
z
E
E
E
E
z
z
y
x
∆
⋅
∆
∆
±
,
,
. (16.19)
Uwzględniając zwroty wektorów S
d
dla pola powierzchni (na zewnątrz !), dla
strumienia pola elektrycznego przez szczane prostopadłe do osi
x
otrzymujemy
V
x
E
l
x
x
E
l
x
x
E
E
l
x
x
E
E
S
d
E
x
x
x
x
x
x
x
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
−
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
+
=
⋅
=
Φ
∫
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
, (16.20)
200
gdzie
z
y
x
l
∆
=
∆
=
∆
=
∆
2
2
2
jest strona sześcianu, a V
∆
jest objętość sześcianu.
W podobny sposób dla strumienia pola elektrycznego przez szczane prostopadłe do osi
y
i do osi
z
znajdujemy
V
y
E
l
y
y
E
l
y
y
E
E
l
y
y
E
E
S
d
E
y
y
y
y
y
y
y
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
−
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
+
=
⋅
=
Φ
∫
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
, (16.21)
V
z
E
l
z
z
E
l
z
z
E
E
l
z
z
E
E
S
d
E
z
z
z
z
z
z
z
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
=
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
−
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
+
=
⋅
=
Φ
∫
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
. (16.22)
Sumując wzory (16.20) - (16.22), dla całkowitego strumienia pola elektrycznego przez
szczane małego sześcianu mamy
V
z
E
y
E
x
E
S
d
E
z
y
x
S
z
y
x
∆
⋅
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
⋅
=
Φ
+
Φ
+
Φ
=
Φ
∫
)
(
. (16.23)
W granicy
0
→
∆
V
ze wzoru (16.23) otrzymujemy wzór (16.6)
=
⋅
∆
=
∫
→
∆
S
V
S
d
E
V
E
div
1
lim
0
z
E
y
E
x
E
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
.
Powróćmy teraz do równania (16.3) i zapiszmy to równanie w postaci
⋅
=
⋅
=
⋅
=
Φ
∫
∑
∫
∑ ∫
=
=
i
i
n
i
i
S
n
i
S
i
V
S
d
E
V
S
d
E
S
d
E
i
1
1
. (16.24)
W granice
0
→
i
V
i
∞
→
n
nieskończenie mała objętość
i
V przechodzi w
dV
, wyraz w
nawiasach staje się dywergencją pola E
, suma zaś przechodzi a całkę objętościową
201
∫
∫
∑
⋅
=
⋅
=
Φ
=
→
∞
→
V
i
i
n
i
i
V
n
dV
E
div
V
S
d
E
V
i
i
1
0
,
lim
. (16.25)
Otrzymaliśmy więc wzór
∫
∫
⋅
=
⋅
V
S
dV
E
div
S
d
E
, (16.26)
który nosi nazwę twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. To twierdzenia jest słuszne dla
dowolnego pola wektorowego, dla którego istnieje dywergencja.
Zgodnie z prawem Gaussa lewa część równania (16.26) jest równa
∫
∫
⋅
=
=
⋅
V
S
dV
Q
S
d
E
ρ
ε
ε
0
0
1
, (16.27)
gdzie
ρ
jest gęstość objętościowa ładunku.
Po podstawieniu (16.27) do wzoru (16.26) otrzymujemy
0
ε
ρ
=
E
div
. (16.28)
Równanie (16.28) jest różniczkową postacią prawa Gaussa i wyraża lokalny związek między
polem elektrycznym i gęstością ładunku w punkcie
)
,
,
(
z
y
x
. Dla punktów nie zawierających
ładunków
0
=
E
div
.
Potencjał pola elektrostatycznego. Krążenie
Udowodnimy, że siła Coulomba jest siłą zachowawczą oraz potencjalną. Praca którą
wykonuje siła Coulomba przy przemieszczeniu ładunku
/
q z punktu
1
do punktu
2
w polu sił
ładunku
q
jest równa
∫
∫
⋅
=
⋅
⋅
=
2
1
3
2
1
/
/
)
(
)
(
r
l
d
r
kqq
l
d
E
q
A
. (16.29)
202
Oznaczając
/
r
l
d
r
=
+
, otrzymujemy
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
2
2
2
/
/
/
l
d
r
r
dl
l
d
r
r
r
r
r
⋅
⋅
+
≈
+
⋅
⋅
+
=
=
⋅
.
Skąd
[
]
dr
r
dr
r
r
r
r
r
r
r
l
d
r
⋅
=
⋅
⋅
≈
−
⋅
+
=
−
=
⋅
2
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
/
/
2
2
/
.
Po podstawieniu ostatniego wzoru do wzoru (16.29) znajdujemy
−
=
−
=
=
⋅
=
∫
∫
∫
2
1
/
2
1
/
2
1
2
/
2
1
3
/
1
1
1
)
(
r
r
kqq
r
d
kqq
r
dr
kqq
r
l
d
r
kqq
A
, (16.30)
gdzie
1
r i
2
r - odległości punktów
1
i
2
od ładunku
q
.
Ze wzoru (16.30) wynika, że praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku
/
q w
polu elektrycznym ładunku
q
nie zależy od kształtu toru, wzdłuż którego następuje
przemieszczenie; zależy ona jedynie od początkowego i końcowego położenia ładunku
/
q
względem ładunku
q
. Innymi słowy, udowodniliśmy, że siła Coulomba jest siła zachowawczą,
203
a zatem jeżeli tor wzdłuż którego zachodzi przemieszczenie ładunku jest torem zamkniętym,
to:
0
=
⋅
≡
Γ
∫
L
l
d
E
. (16.31)
Całka okrężna we wzorze (16.31) nazywa się krążeniem lub cyrkulacją natężenia pola
elektrycznego. A zatem dla pola elektrostatycznego krążenie jest równa zeru. Pole wektorowe
dla którego cyrkulacja jest równa zeru nazywa się polem potencjalnym. Dla takiego pola
zawsze możemy wprowadzić funkcję skalarną, która nazywa się potencjalną funkcją albo
potencjałem.
Ze wzoru (16.30) widać, że funkcja potencjalna pola elektrostatycznego wytwarzanego
przez ładunek
q
jest równa
r
q
k
z
y
x
⋅
=
)
,
,
(
ϕ
. (16.32)
Należy pamiętać, że podstawowym pojęciem jest różnica potencjałów, a nie sam potencjał.
Istotnie, łatwo sprawdzić, że funkcja potencjalna
C
r
q
k
z
y
x
+
⋅
=
)
,
,
(
/
ϕ
. (16.33)
gdzie
C
jest dowolna stała, również spełnia równanie (16.30)
(
)
∫
∫
∫
−
=
+
−
=
−
=
2
1
/
/
2
1
/
2
1
/
ϕ
ϕ
ϕ
d
q
C
d
q
d
q
A
. (16.34)
A zatem pisząc potencjalną funkcję pola elektrycznego ładunku punktowego w postaci (16.32)
zakładamy, że
0
)
(
=
=
∞
C
ϕ
. Oczywiście, że stałą
C
w (16.33) możemy wybrać w sposób
dowolny. W praktyce często za powierzchnie z zerowym potencjałem wybieramy powierzchnie
Ziemi.
W układzie jednostek SI za jednostkę różnicy potencjałów przyjmuje się wolt (V).
Różnica potencjałów między dwoma punktami jest równa 1 woltowi , jeżeli do
przemieszczenia między nimi 1 kulomba elektryczności niezbędne jest wykonanie pracy równej
1 dżulowi
204
C
J
V
1
1
1
=
.
Zbiór punktów, w których potencjał elektryczny jest taki sam nazywamy powierzchnią
ekwipotencjalną. Z równania (16.32) wynika, że ekwipotencjalne powierzchnie ładunku
elektrycznego są kulami, w środku których znajduje się ładunek.
Potencjalna funkcja pola całkowicie określa pole wektorowe. Związek między
składowymi natężenia pola elektrycznego i potencjałem znajdziemy korzystając ze wzorów
(16.29) i (16.34)
)
(
)
,
,
(
dz
E
dy
E
dx
E
l
d
E
z
y
x
d
z
y
x
+
+
−
=
⋅
−
=
ϕ
. (16.35)
Zmiana potencjału
ϕ
d (różniczka zupełna) przy przejściu z jednego punktu do drugiego jest
równa
dz
z
dy
y
dx
x
z
y
x
d
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
)
,
,
(
. (16.36)
Z porównania wzorów (16.35) i (16.36) otrzymujemy
x
E
x
∂
∂
−
=
ϕ
,
y
E
y
∂
∂
−
=
ϕ
,
z
E
z
∂
∂
−
=
ϕ
. (16.37)
Mnożąc koleinie równania (16.37) przez wektory jednostkowe
z
y
x
e
e
e
,
,
o kierunkach osi
z
y
x ,
,
i dodając następnie je stronami otrzymujemy
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
+
+
=
z
y
x
z
z
y
y
x
x
e
z
e
y
e
x
e
E
e
E
e
E
E
ϕ
ϕ
ϕ
. (16.38)
Wyrażenie w nawiasie nazywa się gradientem funkcji
ϕ
i oznacza się symbolem
ϕ
grad . Przez
operator wektorowy nabla (16.7) równanie (16.38) możemy zapisać w postaci
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
grad
e
z
e
y
e
x
E
z
y
x
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
⋅
∇
−
=
)
(
. (16.39)
205
Potencjał dowolnego rozkładu ładunków. Dipol elektryczny
Korzystając z zasady superpozycji pól elektrycznych, potencjał dowolnego
punktowego rozkładu ładunków możemy zapisać w postaci
∑
∑
=
=
⋅
=
=
n
i
i
i
n
i
i
r
q
k
z
y
x
1
1
)
,
,
(
ϕ
ϕ
, (16.40)
gdzie
i
r jest odległością punktu o współrzędnych (
z
y
x ,
,
) od ładunku
i
q .
W przypadku ciągłego rozkładu ładunku potencjał pola elektrycznego w dowolnym
punkcie określonym wektorem wodzącym R
liczymy korzystając ze wzoru
∫
⋅
−
⋅
=
V
dV
r
R
k
R
ρ
ϕ
)
(
, (16.41)
gdzie
r
- wektor określający położenie elementu objętości
dV
obszaru naładowanego od
początku układu współrzędnych;
ρ
- gęstość objętościowa ładunku elektrycznego.
Jako przykład zastosowania wzoru (16.40) znajdziemy potencjał dipolu elektrycznego.
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków o przeciwnych znaków oddalonych od siebie o
L
. Jeżeli
L
r
>>
to punkt P jest odległy od ładunku
)
( q
+
o:
θ
θ
θ
cos
2
1
/
cos
1
)
2
/
(
cos
2
2
2
L
r
r
L
r
L
L
r
r
e
L
r
x
−
≈
−
⋅
≅
+
⋅
⋅
−
=
−
.
L
-q
+q
θ
r
P
y
x
206
W podobny sposób odległość punktu
P
od ładunku
)
( q
−
wynosi
θ
θ
θ
cos
2
1
/
cos
1
)
2
/
(
cos
2
2
2
L
r
r
L
r
L
L
r
r
e
L
r
x
+
≈
+
⋅
≅
+
⋅
⋅
+
=
+
.
Po podstawieniu tych równań do wzoru (16.40) dla całkowitego potencjału
otrzymujemy
θ
θ
θ
θ
2
2
2
cos
4
cos
cos
2
1
)
(
cos
2
1
L
r
qL
k
L
r
q
k
L
r
q
k
V
−
=
+
−
+
−
=
.
Dla
L
r
>>
otrzymujemy ostatecznie
3
3
2
cos
cos
)
(
r
x
kp
r
r
kp
r
qL
k
V
=
θ
⋅
=
θ
⋅
≈
. (16.42)
Tu przez
p
oznaczyliśmy
qL
p
=
. Wektor
x
e
qL
p
⋅
=
nazywa się momentem dipolowym.
Korzystając z równania (16.42) i wzorów (16.37) dla składowych natężenia pola
elektrycznego otrzymujemy
207
)
1
cos
3
(
2
3
−
=
−
=
θ
∂
∂
r
kp
x
V
E
x
,
θ
θ
∂
∂
sin
cos
3
3
r
kp
y
V
E
y
=
−
=
.
Linii pola dipolu elektrycznego są przedstawione na rysunku.
Jako przykład zastosowania równania (16.41) rozważmy potencjał pola elektrycznego
dowolnego ciągłego rozkładu ładunków w punkcie
P
położonym w odległości dużej od
naładowanego ciała. W celu wyliczenia całki we wzorze (16.41) wprowadźmy oznaczenie
( )
R
r
R
r
⋅
⋅
=
=
θ
ξ
cos
.
Wtedy możemy zapisać
( )
2
2
2
2
1
1
1
r
Rr
R
r
R
r
R
+
⋅
−
=
−
=
−
ξ
.
W matematyce udowodniono, że
)
(
1
2
1
0
2
2
ξ
ξ
l
l
l
P
R
r
R
r
Rr
R
⋅
≡
+
⋅
−
∑
∞
=
, (16.43)
gdzie
)
(
ξ
l
P
są wielomianami zwanymi w matematyce wielomianami Legendre'a
208
1
)
(
0
=
ξ
P
,
ξ
ξ =
)
(
1
P
,
−
=
1
2
3
)
(
2
2
ξ
ξ
P
itd (16.44)
Po podstawieniu (16.44) do wzoru (16.41) znajdujemy
∑
∞
=
⋅
=
0
)
(
l
l
l
R
Q
R
k
R
ϕ
, (16.45)
gdzie
∫
⋅
=
V
l
l
l
dV
P
r
r
Q
)
(
)
(
ξ
ρ
. (16.46)
Korzystając ze wzorów (16.44) otrzymujemy, że
Q
dV
r
Q
V
=
⋅
=
∫
)
(
0
ρ
(16.47)
jest całkowitym ładunkiem obszaru naładowanego,
p
n
dq
r
n
dV
r
r
Q
R
V
R
V
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
θ
⋅
ρ
=
∫
∫
cos
)
(
1
(16.48)
jest rzutem momentu dipolowego
∫
∫
⋅
≡
ρ
⋅
=
V
V
dq
r
dV
r
r
p
)
(
układu na kierunek wektora R
(
R
R
n
R
/
=
) .
Wielkość
∫
⋅
−
=
V
dV
r
r
Q
1
cos
2
3
)
(
2
2
2
θ
ρ
(16.49)
nazywa się momentem kwadrupolowym układu.
Z równania (16.45) wynika, że potencjał pola elektrycznego ciała naładowanego
możemy rozważać jako sumę potencjału
0
ϕ
wypadkowego ładunku układu, umieszczonego w
początku układu; potencjału
1
ϕ
wypadkowego dipola elektrycznego, umieszczonego też w
początku współrzędnych; potencjału
2
ϕ
kwadrupola itd.:
+
+
+
=
2
1
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
, (16.50)
gdzie
209
R
Q
k
=
0
ϕ
,
3
2
1
1
R
R
p
k
R
Q
k
⋅
=
=
ϕ
,
3
2
2
R
Q
k
=
ϕ
itd.
Równanie Poissona
Wyżej udowodniliśmy, że pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym. Korzystając
ze wzorów (16.37) oraz różniczkowej postaci prawa Gaussa
0
ε
ρ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
E
y
E
x
E
E
div
z
y
x
, (16.51)
łatwo otrzymać równanie wyrażające lokalny związek między potencjałem pola i gęstością
ładunku
0
2
2
2
2
2
2
ε
ρ
ϕ
ϕ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
z
E
y
E
x
E
z
y
x
. (16.52)
Wprowadzając różniczkowy operator Laplace'a delta
∆
2
2
2
2
2
2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
, (16.53)
otrzymujemy tak zwane równanie Poissona
0
ε
ρ
ϕ −
=
∆
. (16.54)
Dla punktów gdy
0
=
ρ
czyli dla obszarów gdy nie występują ładunki elektryczne ze wzoru
(16.54) wynika równanie
0
=
∆
ϕ
, (16.55)
które nazywa się równaniem Laplace'a.
210