1
Wymagania stawiane układom
automatyki
1
Wymagania stawiane układom
automatyki
2
W zastosowaniach praktycznych układom
automatyki stawiane są wymagania:
- zapewnienia odpowiedniego
zapasu
stabilności
,
- osiągnięcia właściwej
jakości regulacji
w
stanach przejściowych,
- nie przekroczenia dopuszczalnego
uchybu ustalonego
.
3
Do analizy
stabilności
liniowych układów automatyki
wykorzystuje się:
kryterium analityczne Hurwitza,
kryterium graficzne Nyquista.
Do oceny
jakości regulacji
w stanie przejściowym
stosuje się:
parametry odpowiedzi skokowej,
wskaźnik regulacji,
kryteria całkowe.
Do określenia
uchybu ustalonego
regulacji służy
twierdzenie o wartości końcowej przekształcenia
Laplace’a.
4
Stabilność jest jednym z podstawowych pojęć teorii
sterowania, wyrażającym własność pozostawania
rozwiązań równań różniczkowych opisujących układ
dynamiczny w odpowiednio określonym obszarze
ograniczonym.
Układ sterowania jest
stabilny
, jeżeli po wytrąceniu ze
stanu równowagi sam wraca do stanu poprzedniego.
Pojęcie to odnosi się zarówno do zamkniętych jak i
otwartych liniowych układów sterowania.
O stabilności układu sterowania można wnioskować na
podstawie równania różniczkowego, opisującego
związek między wielkością wyjściową y(t) a wejściową
x(t).
ZAPAS STABILNOŚCI
5
Dokonując przekształcenia Laplace'a równania
różniczkowego można wyznaczyć transformatę
odpowiedzi układu Y(s) w postaci:
Wielomian M(s) w mianowniku transmitancji G(s)
określa właściwości dynamiczne tego układu i nazywa
się
wielomianem charakterystycznym.
)
s
(
X
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
X
s
a
s
b
)
s
(
X
)
s
(
G
)
s
(
Y
l
n
0
l
l
k
m
0
k
k
)
dt
x
d
b
(
)
dt
y
d
a
(
k
k
m
0
k
k
l
l
n
0
l
l
6
Rozwiązanie równania różniczkowego, stanowiące
odpowiedź układu sterowania, jest sumą składowej
wymuszonej y
w
(t) i składowej przejściowej y
p
(t):
y(t)= y
w
(t) + y
p
(t)
Składowa wymuszona jest określona przez parametry
układu oraz przebieg wymuszenia i nie musi być
brana pod uwagę przy badaniu stabilności układu.
O tym czy układ nadąża za zmianami wielkości
sterującej, decyduje przebieg składowej przejściowej,
zależny od właściwości dynamicznych układu.
Badanie
stabilności
układu sterowania można zatem
ograniczyć do analizy składowej przejściowej, która
jest rozwiązaniem jednorodnego równania
różniczkowego badanego układu.
7
Przebieg składowej przejściowej jest określony przez
równanie charakterystyczne
,
które otrzymuje się
poprzez przyrównanie wielomianu charakterystycznego
do zera:
M(s)=a
n
s
n
+ a
n-1
s
n-1
+ ... + a
1
s + a
o
= 0
Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego
s
i
są
jednokrotne, to składowa przejściowa wyraża się
kombinacją liniową funkcji wykładniczych:
n
0
i
t
s
i
p
i
e
c
)
t
(
y
Na przebieg składowej przejściowej i
stabilność
układu
sterowania ma wpływ położenie pierwiastków równania
charakterystycznego
s
i
na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej.
8
Pierwiastki rzeczywiste
t
przy
e
c
)
t
(
y
s
t
1
p
1
t
przy
0
e
c
)
t
(
y
s
t
1
p
1
1
t
0
1
p
1
c
e
c
)
t
(
y
0
s
9
Pierwiastki zespolone
)
t
cos(
ce
e
c
e
c
)
t
(
y
j
s
t
t
)
j
(
2
t
)
j
(
1
p
2
,
1
)
t
cos(
ce
e
c
e
c
)
t
(
y
j
s
t
t
)
j
(
2
t
)
j
(
1
p
2
,
1
)
t
cos(
c
e
c
e
c
)
t
(
y
j
s
t
j
2
t
j
1
p
2
,
1
10
Aby procesy przejściowe zanikały, czyli żeby badany
układ był
stabilny
, wszystkie pierwiastki rzeczywiste
muszą być ujemne, a zespolone mieć ujemną część
rzeczywistą.
Jeżeli chociażby jeden z pierwiastków równania
charakterystycznego ma dodatnią część rzeczywistą, to
układ sterowania jest
niestabilny
.
W przypadku, w którym istnieją pierwiastki
jednokrotne o części rzeczywistej równej zeru, układ
znajduje się na
granicy stabilności
.
Przy czym dla pierwiastków rzeczywistych odpowiedź
jest
aperiodyczna
, a dla pierwiastków zespolonych
odpowiedź układu ma charakter
oscylacyjny
.
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej (układ wraca do poprzedniego
stanu ustalonego) jest aby: Re(s
i
)<0
11
Liniowy układ sterowania jest stabilny jeżeli wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego mają część
rzeczywistą mniejszą od zera, czyli leżą w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Twierdzenia, pozwalające ocenić stabilność bez
obliczania pierwiastków równania
charakterystycznego układu (biegunów), nazywane są
kryteriami stabilności
.
Wyróżnia się:
• kryteria analityczne, np. Hurwitza lub Routha
• kryteria graficzne częstotliwościowe, np. Nyquista
• kryteria grafo-analityczne, np. Michajłowa.
12
Określa warunki, jakie powinny spełniać
współczynniki równania charakterystycznego, aby
pierwiastki tego równania miały ujemne części
rzeczywiste.
Kryterium Hurwitza
Układ automatyki jest stabilny tylko wówczas, gdy
współczynniki równania charakterystycznego
(a
n
, a
n-1
, ..., a
0
) układu zamkniętego:
a
n
s
n
+ a
n-1
s
n-1
+ ... + a
1
s + a
0
= 0
oraz podwyznaczniki W
1
, W
2
, ... ,W
n-1
wyznacznika
Hurwitza W
n
są większe od zera.
13
n
14
W przypadku, gdy układ jest
niestabilny
, kryterium
Hurwitza nie pozwala określić liczby pierwiastków
równania charakterystycznego leżących w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Kryterium Hurwitza nie pozwala określić
zapasu
stabilności
, ale umożliwia znalezienie wartości
parametrów układu automatyki przy których
będzie stabilny, np. wartości nastaw regulatora.
15
Przykład
Transmitancja układu otwartego ma postać:
Należy wyznaczyć graniczną wartość współczynnika
wzmocnienia k, taką aby układ zamknięty był stabilny
dla: T
1
= 5 sek, T
2
= 2 sek, T
3
= 1.4 sek
)
s
T
1
)(
s
T
1
)(
s
T
1
(
k
)
s
(
G
3
2
1
o
Transmitancja układu zamkniętego:
Równanie charakterystyczne układu:
T
1
T
2
T
3
s
3
+(T
1
T
2
+T
1
T
3
+T
2
T
3
)s
2
+(T
1
+T
2
+T
3
)s+1+k = 0
k
)
s
T
1
)(
s
T
1
)(
s
T
1
(
k
)
s
(
G
3
2
1
z
16
stąd k > -1, zaś w praktyce k > 0
Wyznacznik Hurwitza:
gdzie: a
3
= T
1
T
2
T
3
> 0 a
2
= T
1
T
2
+ T
1
T
3
+ T
2
T
3
> 0
a
1
= T
1
+ T
2
+ T
3
> 0 a
0
= 1+k > 0
W
1
= a
2
= 5 · 2 + 2 · 1.4 + 1.4 · 5= 19.8 > 0
W
2
= a
2
a
1
- a
0
a
3
= 19.8 · 8.4 - 14 ( 1 + k) > 0
K< 10.88
Układ zamknięty będzie stabilny dla:
0 < k < 10.88
17
Kryterium Nyquista
Kryterium pozwala określić
stabilność
układu
zamkniętego na podstawie charakterystyki amplitudowo-
fazowej układu otwartego.
Transmitancja układu otwartego G
o
(s):
G
0
(s) = G
1
(s) G
2
(s)
18
Transmitancja układu zamkniętego:
Równanie charakterystyczne:
M(s)=1 + G
0
(s)=0
stąd
G
0
(s) = -1
Warunek graniczny stabilności:
- amplituda: |G
0
(s)| = 1
- faza: φ = -π
czyli przejście charakterystyki amplitudowo-fazowej
układu otwartego przez punkt (-1, j0)
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
G
o
o
z
19
Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty
jest również stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje
punktu (-1, j0).
Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i ma k
pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, to układ
zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego obejmuje
punkt (-1, j0) k/2 razy.
20
Kryterium Nyquista dla układów statycznych
21
Kryterium Nyquista dla układów astatycznych I rzędu
22
Logarytmiczne kryterium Nyquista
układ po zamknięciu
będzie stabilny
układ po zamknięciu
będzie niestabilny
0
A
lg
20
1
A
0
A
lg
20
1
A
20 lg |G(jω)|
20 lg |G(jω)|
23
zapas
amplitudy
zapas fazy
W dobrze tłumionych układach, niepodatnych na samowzbudzenie
zapas amplitudy powinien wynosić od 6 do 12 dB, a zapas fazy od
30
0
do 60
0
.
20 lg |G(jω)|
24
JAKOŚĆ REGULACJI W STANACH
PRZEJŚCIOWYCH
Kryteria czasowe
Tworzą parametry odpowiedzi układu (uchybu regulacji e lub
wielkości regulowanej y) na skokowe zmiany wielkości zadanej
lub zakłóceń:
•
czasu regulacji
t
r
jako czasu po upływie którego uchyb regulacji
staje się mniejszy niż przyjęta wartość dopuszczalna
e,
najczęściej przyjmuje się t
r
min oraz
e = (0.02
0.05) y
z
•przeregulowania
æ = e
2
/ e
1
· 100% = 10
30 % , najczęściej
przyjmuje się 20%
Czas regulacji określający szybkość działania układu, w praktyce
można ocenić w przybliżeniu jako: t
r
= (3
5) T
zast ob
25
Oscylacyjny przebieg uchybu regulacji wywołany skokową zmianą
wartości zadanej
26
Aperiodyczny przebieg uchybu regulacji wywołany skokową zmianą
wartości zadanej
27
Wskaźnik regulacji
Za wskaźnik regulacji przyjmuje się stosunek
transformaty Laplace`a uchybu regulacji układu
zamkniętego E
r
(s) (z regulatorem) do transformaty
Laplace`a uchybu sterowania układu otwartego E
o
(s)
(bez regulatora):
Jeżeli rozpatrywać ten sam układ sterowania przed i po
zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego, to wskaźnik
regulacji pozwala ocenić, o ile zmienia się uchyb
sterowania w wyniku zastosowania ujemnego
sprzężenia zwrotnego.
28
Wskaźnik regulacji najczęściej przedstawia się w
postaci widmowej:
29
Kryteria całkowe
Całkowe kryteria jakości pozwalają ocenić zarówno
jakość regulacji w stanie ustalonym (dokładność
statyczna), jak i w stanie nieustalonym (zapas
stabilności i szybkość działania układu).
Za całkowe kryteria jakości regulacji przyjmuje się
funkcjonały typu:
I
1
= e (t) dt min IE- integral error
I
2
= e
2
(t) dt min ISE- integral squared
error
30
min
dt
)
t
(
e
t
I
0
2
3
min
dt
)
t
(
e
I
0
4
min
dt
)
t
(
e
t
I
0
5
ITSE - integral of time multiplied
by squared error
IAE - integral value of error
ITAE - integral of time multiplied
by absolute value of error
31
DOPUSZCZALNY UCHYB USTALONY
Za
miarę
dokładności
statycznej
regulacji
przyjmuje się wartość uchybu regulacji w stanie
ustalonym:
e(t) = y
o
(t) – y(t)
Wartość
tą
można
wyznaczyć
analitycznie
wykorzystując twierdzenia o wartości końcowej
rachunku operatorowego Laplace’a.
Oczywistym jest, że najbardziej pożądaną wartością
tego uchybu jest wartość zero.
32
Transformata wielkości wyjściowej y(t) jest sumą
składowej wywołanej zmianą wymuszenia i składowej
spowodowanej działaniem zakłócenia:
Y(s) = G
1
(s) G
2
(s) E(s) + G
2
(s) Z(s)
nastepnie
E(s) = Y
o
(s) – Y(s)
E(s) = Y
0
(s) – G
1
(s) G
2
(s) E(s) – G
2
(s) Z(s)
G
o
(s) = G
1
(s) G
2
(s)
33
Biorąc pod uwagę, że zakłócenia są przypadkowe i nie
można przewidzieć, jaki będzie moduł i argument
transformaty Z(s), dlatego znak minus można zastąpić
znakiem plus:
E(s) = G
u
(s) Y
o
(s) + G
u
(s) G
2
(s) Z(s)
gdzie
nazywa się
transmitancją uchybową
układu zamkniętego.
34
Uchyb nadążania i zakłóceniowy
Na podstawie ostatniej zależności można wyrazić
składową transformaty uchybu wnoszoną przez
zmiany wielkości zadanej y
o
(t) jako
uchyb nadążania
za zmianami wartości zadanej:
E
y
(s) = G
u
(s) Y
o
(s)
a składową – wywołaną oddziaływaniem zakłóceń
można przedstawić w postaci
uchybu zakłóceniowego
:
E
z
(s) = G
u
(s) G
2
(s) Z(s)
Wartość tych składowych w stanie ustalonym
wyznacza się korzystając z twierdzenia o wartości
końcowej przekształcenia Laplace’a.
35
Wartości
składowych
uchybu
ustalonego
wyznacza się z następujących zależności: