Praca domowa nr 15 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka” 

Zad.  1.  Przypuszcza  się,  że  pewna  kostka  sześcienna  nie  jest  rzetelna  oraz,  że,  szanse  wypadnięcia 
poszczególnych  oczek  (odpowiednio  „1”  –  „6”)  wyrażają  stosunki  1:2:2:3:1:1.  W  celu  sprawdzenia 
tego, wykonano 120 rzutów  kostką, uzyskując wyniki dla poszczególnych oczek: „1”  –  11, „2”  – 22, 
„3”  –  30,  „4”  –  33,  „5”  –  14,  „6”  –  10.  Na  poziomie  istotności  0,05  zweryfikować  wysunięte 
przypuszczenie. 
Wskazówka:  jeśli  przez 

i

p

  oznaczymy  prawdopodobieństwo  wyrzucenia  i-tego  oczka,  to  hipotezę 

zerową  H

0

  można  zapisać  jako  H

0

: 

10

1

,

10

1

,

10

3

,

10

2

,

10

2

,

10

1

6

5

4

3

2

1













p

p

p

p

p

p

,  która  to 

hipoteza jest równoważna hipotezie H

0

: cecha X ma rozkład postaci:  

Liczba oczek 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

p

i

 = (X = i) 

1/10 

2/10 

2/10 

3/10 

1/10 

1/10 

Zad.  2.  Poniższa  tabela  przedstawia  informacje  o  zachorowalności  prosiąt  na  nosówkę  (cecha  X),  
wraz z informacjami o tym, czy matki prosiąt chorowały na tę chorobę (cecha Y): 

Klasy X            Klasy Y 

Matka chorowała 

Matka nie chorowała 

Potomek chory 

60 

40 

Potomek zdrowy 

30 

70 

Na  poziomie  istotności  0,05  zbadać,  czy  istnieje  zależność  między  zachorowalnością  prosięcia  
na nosoryjówkę, a tym, czy matka prosięcia chorowała na tę chorobę. 

Zad.  3.  Spośród  studentów  pewnego  wydziału  wylosowano  6  studentów,  którzy  ukończyli  III  rok 
studiów i zanotowano ich średnie oceny uzyskane na I roku (cecha X) oraz ich średnie uzyskane oceny 
na III roku. Zebrane dane przedstawia tabela: 

x

i 

3,5  

4,6  

3,9  

3,0  

3,5  

4,5 

y

i 

4,2 

4,5 

4,2 

3,4 

3,8 

4,6 

Zakładając, że łączny rozkład cech X, Y jest normalny: 
a) zweryfikować, na poziomie istotności 0,05, hipotezę o liniowej niezależności cech X i Y w populacji 
ogółu studentów wydziału, którzy ukończyli III rok, 
b)  w  przypadku,  gdy  hipotezę  weryfikowaną  w  punkcie  a)  należy  odrzucić,  oszacować  równanie 
funkcji regresji, 
c)  zinterpretować  wartość  współczynnika  kierunkowego  z  oszacowanego  w  punkcie  b)  równania 
funkcji regresji, 
d) przewidzieć, jakiej średniej oceny na III roku może spodziewać się student, który na I roku studiów 
uzyskał średnią 3,75. 

Odpowiedzi: 
Zad.  1:  λ

2

emp

  =  2,(6)  <  λ

2

0,05;5

  =  11.0705  =>  nie  mamy  podstaw  do  odrzucenia  H

0

  =>  wysunięte 

przypuszczenie możemy uznać za słuszne; 
Zad. 2: λ

2

emp

 = 18,18 > λ

2

0,05;1

 = 3.8415 => odrzucamy H

0

 => X, Y są zależne => zachorowalność matek 

ma wpływ na zachorowalność prosiąt; 
Zad.  3:  a)  Ir

emp

I  =  I0,924I  =  0,924  >  0.8114  =  r

0,05;6

  =>  odrzucamy  H

0

  =>  istnieje  liniowa  zależnośc 

między  X  i  Y,  b) 

 

x

f



  =  średni  y  =  0,664·x  +  1,572,  c)  jeśli  średnia  ocen  studenta  w  I  roku  byłaby 

wyższa  o  1  stopień,  to  średnio  rzecz  biorąc  jego  średnia  ocena  w  III  roku  byłaby  wyższa  o  0,664 

stopnia, d) 





75

,

3



f

 = 0,664·3,75 + 1,572 = 4,06 – przewidywana średnia na III roku studiów studenta, 

który na I roku studiów uzyskał średnią 3,75.