Materia l do zaj

,

e´c z algebry liniowej na

Wydziale Zarz

,

adzania Uniwersytetu

Warszawskiego

J´

ozef Chaber, El˙zbieta Pol i Roman Pol

1

Komentarz.
Materia l odpowiada programowi zaj

,

e´

c z algebry liniowej na Wydziale

Zarz

,

adzania UW i jest oparty na naszym do´swiadczeniu w prowadzeniu tych

zaj

,

e´

c.

W przewidzianym na zaj

,

ecia czasie nie ma wiele miejsca na uzasadnia-

nie metod. Wydaje si

,

e jednak wa˙zne, aby podkre´sla´

c ´scis ly zwi

,

azek tych

metod z uk ladami r´

owna´

n i eliminacj

,

a Gaussa. Do l

,

aczyli´smy, wydzielaj

,

ac je

tr´

ojk

,

atami

/

. . .

.

, obja´snienia w tym duchu do wszystkich, poza cz

,

e´sci

,

a

dotycz

,

ac

,

a wyznacznik´

ow, zagadnie´

n przewidzianych w programie. S

,

adzimy,

˙ze takie wyja´snienia powinny by´

c  latwo dost

,

epne dla student´

ow, nawet je´sli

w klasie nie ma na nie czasu.

Przyk lady zamieszczone w tek´scie s

,

a zbli˙zone do zada´

n, jakie przera-

biali´smy w klasie. Za l

,

aczone zestawy zada´

n dawali´smy studentom do sa-

modzielnej pracy, a nasze kolokwia i egzaminy by ly ´sci´sle powi

,

azane z tymi

zadaniami.

2

1. Wektory i macierze, dzia lania algebraiczne i operacje elemen-

tarne na macierzach.

1.1. Przestrze´

n liniowa ~

R

n

.

Wektorem n-wymiarowym nazywamy uporz

,

adkowany uk lad liczb rzeczy-

wistych x

1

, x

2

, . . . , x

n

, kt´

ory b

,

edziemy zapisywa´

c w postaci kolumny

~

x =









x

1

x

2

..

.

x

n









;

x

i

nazywamy i-t

,

a wsp´

o lrz

,

edn

,

a wektora ~

x.

Transponowanie ~

x

T

oznacza, ˙ze wektor ~

x zapisujemy w postaci wiersza

~

x

T

= [x

1

, x

2

, . . . , x

n

].

Zbi´

or wszystkich n-wymiarowych wektor´

ow oznaczamy symbolem ~

R

n

.

Wektory z ~

R

n

,

~

x =









x

1

x

2

..

.

x

n









,

~

y =









y

1

y

2

..

.

y

n









,

dodaje si

,

e i mno˙zy przez skalary a (tzn. liczby a ∈ R) “po wsp´

o lrz

,

ednych”

~

x + ~

y =









x

1

+ y

1

x

2

+ y

2

..

.

x

n

+ y

n









,

a~

x =









ax

1

ax

2

..

.

ax

n









.

Przestrze´

n ~

R

n

z opisanymi dzia laniami dodawania wektor´

ow i mno˙zenia

wektor´

ow przez skalary jest przestrzeni

,

a liniow

,

a. Symbolem ~0 oznaczamy

wektor zerowy w tej przestrzeni, tzn. wektor o wszystkich wsp´

o lrz

,

ednych

r´

ownych zeru.

1.2. Operacja mno ˙zenia ~

x

T

~

y.

Iloczyn wektora - wiersza przez wektor - kolumn

,

e tego samego wymiaru,

~

x

T

= [x

1

, x

2

, . . . , x

n

],

~

y =









y

1

y

2

..

.

y

n









,

3

okre´slamy formu l

,

a

~

x

T

~

y = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

=

P

n
i=1

x

i

y

i

.

Jest to operacja liniowa:

~

w

T

(~

x + ~

y) = ~

w

T

~

x + ~

w

T

~

y, ~

w

T

(a~

x) = a( ~

w

T

~

x), dla ~

w, ~

x, ~

y ∈ ~

R

n

, a ∈ R.

Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze ~

x

T

~

y = ~

y

T

~

x.

1.3. Macierze.

Macierz

,

a o m wierszach i n kolumnach, kr´

otko – (m × n)-macierz

,

a, na-

zywamy tabliczk

,

e

(1)

A =









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

. . . a

mn









, a

ij

∈ R.

Macierz A b

,

edziemy interpretowa´

c na dwa sposoby:

(i) jako uk lad wektor´

ow - wierszy:

(2)

A =









~

w

T

1

~

w

T

2

..

.

~

w

T

m









,

~

w

T

i

= [a

i1

, a

i2

, . . . , a

in

], ~

w

i

∈ ~

R

n

;

(ii) jako uk lad wektor´

ow - kolumn:

(3)

A = [~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

], ~a

j

=









a

1j

a

2j

..

.

a

mj









∈ ~

R

m

.

1.4. Macierze jako przekszta lcenia liniowe.

Niech A b

,

edzie (m × n)-macierz

,

a zapisan

,

a w postaci wierszowej (2). Dla

ka˙zdego wektora ~

x ∈ ~

R

n

iloczyn A~

x okre´slamy formu l

,

a

A~

x =







~

w

T

1

~

x

..

.

~

w

T

m

~

x







∈ ~

R

m

.

Iloczyn jest operacj

,

a liniow

,

a (zob. 1.2.):

4

A(~

x + ~

y) = A~

x + A~

y, A(a~

x) = a(A~

x), dla ~

x, ~

y ∈ ~

R

n

, a ∈ R.

Macierz A okre´sla wi

,

ec przekszta lcenie

A : ~

R

n

→ ~

R

m

przyporz

,

adkowuj

,

ace wektorom ~

x ∈ ~

R

n

wektory A~

x ∈ ~

R

m

, z zachowaniem

operacji dodawania wektor´

ow i mno˙zenia wektor´

ow przez skalary – takie

przekszta lcenia nazywa si

,

e przekszta lceniami liniowymi (zob. 11).

1.5. Algebra macierzy.

(A) Dodawanie i mno ˙zenie przez skalary.

Sum

,

e (m × n)-macierzy

A =







a

11

. . .

a

1n

..

.

..

.

a

m1

. . . a

mn







, B =







b

11

. . .

b

1n

..

.

..

.

b

m1

. . . b

mn







okre´slamy formu l

,

a

A + B =







a

11

+ b

11

. . .

a

1n

+ b

1n

..

.

..

.

a

m1

+ b

m1

. . . a

mn

+ b

mn







.

Iloczyn macierzy A przez skalar a ∈ R jest macierz

,

a

aA =







aa

11

. . .

aa

1n

..

.

..

.

aa

m1

. . . aa

mn







.

Przyk lad.






1

0

0

1

0 −1






+






1

2

1 −1
1

1






=






2 2
1 0
1 0






,

1
3






1

0

0

1

0 −1






=






1
3

0

0

1
3

0 −

1
3






.

(B) Iloczyn (m × n)-macierzy i (n × k)-macierzy.

Niech

A =







a

11

. . .

a

1n

..

.

..

.

a

m1

. . . a

mn







=







~

w

T

1

..

.

~

w

T

m







,

~

w

i

∈ ~

R

n

,

5

B =







b

11

. . . b

1k

..

.

..

.

b

n1

. . . b

nk







= [~b

1

, . . . ,~b

k

],

~b

j

∈ ~

R

n

,

b

,

ed

,

a macierzami takimi, ˙ze liczba kolumn macierzy A jest r´

owna liczbie

wierszy macierzy B. Iloczyn AB jest (m × k)-macierz

,

a okre´slon

,

a formu l

,

a

AB =







~

w

T

1

~b

1

. . .

~

w

T

1

~b

k

..

.

..

.

~

w

T

m

~b

1

. . .

~

w

T

m

~b

k







,

tzn. na przeci

,

eciu i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy AB stoi iloczyn

i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B,

~

w

T

i

~b

j

=

P

n
l=1

a

il

b

lj

.

Przy interpretacji A i B jako przekszta lce´

n liniowych B :

~

R

k

→ ~

R

n

i

A : ~

R

n

→ ~

R

m

, iloczyn AB okre´sla przekszta lcenie liniowe AB : ~

R

k

→ ~

R

m

,

kt´

ore jest z lo˙zeniem tych przekszta lce´

n:

(AB)~

x = A(B~

x).

Przyk lady.

1. Niech A =

"

2 3
4 0

#

, B =

"

1

2 0

3 −1 0

#

(a) Znale´

z´

c AB

(b) Sprawdzi´

c, ˙ze dla ~

x ∈ ~

R

3

, (AB)~

x = A(B~

x).

2. Niech A =

"

0 1

−1 0

#

, B =

"

0 1
1 0

#

. Pokaza´

c, ˙ze AB 6= BA.

3. Niech C =

"

1 −1
1 −1

#

. Sprawdzi´

c, ˙ze C

2

= CC =

"

0 0
0 0

#

.

(C) W lasno´

sci algebraiczne dzia la´

n na macierzach.

W podanych ni˙zej formu lach zak lada si

,

e, ˙ze wymiary macierzy pozwalaj

,

a

na wykonanie wskazanych operacji na macierzach:

A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA,
A(BC) = (AB)C, a(AB) = (aA)B = A(aB).

6

Dwie pierwsze regu ly to rozdzielno´s´

c mno˙zenia wzgl

,

edem dodawania,

trzecia regu la oznacza, ˙ze mno˙zenie macierzy jest  l

,

aczne, a ostatnia wi

,

a˙ze

operacj

,

e iloczynu macierzy z operacj

,

a mno˙zenia macierzy przez skalary. Naj-

mniej widoczna z tych regu l –  l

,

aczno´s´

c mno˙zenia, staje si

,

e jasna, je´sli in-

terpretuje si

,

e macierze jako przekszta lcenia liniowe, zob. (B), bo sk ladanie

przekszta lce´

n jest operacj

,

a  l

,

aczn

,

a.

Dla ka˙zdego n okre´slamy (n × n)-macierz jednostkow

,

a

I

n

=







1

0

. ..

0

1







,

w kt´

orej na przek

,

atnej stoj

,

a jedynki, a poza ni

,

a zera. Poniewa˙z I

n

~

x = ~

x

dla ~

x ∈ ~

R

n

, przekszta lcenie I

n

: ~

R

n

→ ~

R

n

jest identyczno´sci

,

a. Dla ka˙zdej

(m × n)-macierzy A, I

m

A = AI

n

= A.

1.6. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Posta´

c schod-

kowa macierzy.

(I) Operacja elementarna (I)

(i)(k)

na wierszach macierzy A polega na

zamianie i-tego wiersza macierzy A z k-tym.

(II) Operacja elementarna (II)

(i)+a(k)

, gdzie i 6= k, polega na dodaniu do

i-tego wiersza macierzy A wiersza k-tego pomno˙zonego przez skalar a.

(III) Operacja elementarna (III)

c(i)

, gdzie c 6= 0 polega na pomno˙zeniu

i-tego wiersza macierzy A przez skalar c.

Pierwszy niezerowy wyraz wiersza nazywa´

c b

,

edziemy wyrazem wiod

,

acym

tego wiersza.

M´

owimy, ˙ze macierz A ma posta´

c schodkow

,

a, je´sli

(S1) ˙zaden wiersz zerowy macierzy A nie poprzedza wiersza niezerowego,

(S2) wyrazy wiod

,

ace kolejnych niezerowych wierszy macierzy stoj

,

a w

kolumnach o rosn

,

acych numerach.

Wyja´snimy, w jaki spos´

ob dowoln

,

a m × n-macierz mo˙zna sprowadzi´

c do

postaci schodkowej operacjami elementarnymi typu (I) i (II) na wierszach
tej macierzy. Algorytm, kt´

ory opiszemy, nazywany jest metod

,

a eliminacji

Gaussa.

Niech A b

,

edzie (m×n)-macierz

,

a niezerow

,

a. Zamieniaj

,

ac wiersze macierzy

A miejscami (operacja typu (I)) mo˙zna umie´sci´

c jako pierwszy wiersz, w

7

kt´

orym wyraz wiod

,

acy stoi w kolumnie o mo˙zliwie najmniejszym numerze

j

1

. Otrzymamy macierz

A

1

=









0 . . . 0

a

1j

1

. . .

a

1n

0 . . . 0

a

2j

1

. . .

a

2n

..

.

..

.

..

.

..

.

0 . . . 0 a

mj

1

. . . a

mn









,

gdzie a

1j

1

6= 0. Odejmuj

,

ac kolejno, dla i = 2, 3, . . . , m, od i- tego wiersza

macierzy A

1

pierwszy wiersz pomno˙zony przez

a

ij1

a

1j1

(czyli wykonuj

,

ac opera-

cj

,

e (II)

(i)−

aij

1

a1j

1

(1)

) otrzymujemy macierz A

2

, w kt´

orej kolumny o numerach

mniejszych ni˙z j

1

s

,

a zerowe, a jedynym niezerowym wyrazem w kolumnie o

numerze j

1

jest a

1j

1

:

A

2

=









0 . . . 0 a

1j

1

a

1j

1

+1

. . .

a

1n

0 . . . 0

0

a

0
2j

1

+1

. . .

a

0
2n

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0 . . . 0

0

a

0
mj

1

+1

. . . a

0
mn









.

Nast

,

epnie powtarzamy procedur

,

e dla macierzy powsta lej z A

2

przez opusz-

czenie pierwszego wiersza, uzyskuj

,

ac (m × n)-macierz A

3

, stosujemy proce-

dur

,

e do macierzy powsta lej z A

3

przez opuszczenie dw´

och pierwszych wierszy,

otrzymuj

,

ac (m × n)-macierz A

4

i po kolejnych analogicznych krokach docho-

dzimy do (m × n)-macierzy w postaci schodkowej.

Przyk lad. Sprowadzi´

c nast

,

epuj

,

ace macierze do postaci schodkowej ope-

racjami elementarnymi typu (I) lub (II) :

1.








1

2

3 1

2

4

6 1

−3 −6 −9 1

1

2

3 0








2.











0

0

0

0 0

1

0

1

2 −1 2

2

0

0

0

1 3

5

0 −2 −4

5 7 14

1

2

3

4 5

6











3.








2

4

2

−1 −2 −1

1

5

3

8

1 −2








4.






0

1 1 −1

0

0 −1 3 −1 −2
1

1 1

1

2






8

2. Uk lady r´

owna´

n liniowych.

2.1. Uk lady m r´

owna´

n z n niewiadomymi.

Uk ladem m r´

owna´

n z n niewiadomymi nazywamy uk lad

(1)























a

11

x

1

+

a

12

x

2

+ · · · +

a

1n

x

n

=

b

1

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+ · · · +

a

2n

x

n

=

b

2

..

.

..

.

..

.

..

.

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m

,

gdzie liczby a

ij

i b

i

s

,

a dane, a x

1

, . . . , x

n

s

,

a niewiadomymi.

Uk lad ten

b

,

edziemy zapisywa´

c w postaci macierzowej

(2)

A~

x = ~b,

gdzie

A =







a

11

. . .

a

1n

..

.

..

.

a

m1

. . . a

mn







, ~b =







b

1

..

.

b

m







∈ ~

R

m

, ~

x =







x

1

..

.

x

n







∈ ~

R

n

.

Je´sli ~b = ~0, to uk lad b

,

edziemy nazywa´

c jednorodnym.

Oznaczaj

,

ac kolumny i wiersze macierzy A odpowiednio przez

~a

j

=







a

1j

..

.

a

mj







∈ ~

R

m

, ~

w

T

i

= [a

i1

, . . . , a

in

], ~

w

i

∈ ~

R

n

,

to znaczy pisz

,

ac

A = [~a

1

, . . . , ~a

n

] =







~

w

T

1

..

.

~

w

T

m







,

mo˙zemy przedstawi´

c uk lad r´

owna´

n (1) w postaci wektorowej

(3)

x

1

~a

1

+ . . . + x

n

~a

n

= ~b,

lub te˙z, zapisa´

c go w postaci

(4)















~

w

T

1

~

x = b

1

..

.

..

.

~

w

T

m

~

x = b

m

.

9

2.2. Rozwi

,

azywanie uk lad´

ow r´

owna´

n metod

,

a eliminacji.

Rozpatrzmy uk lad r´

owna´

n (4). Dla ka˙zdej pary wska´

znik´

ow i 6= k, uk lady

r´

owna´

n

(

~

w

k

T

~

x = b

k

~

w

i

T

~

x = b

i

, oraz

(

~

w

k

T

~

x = b

k

( ~

w

i

+ a ~

w

k

)

T

~

x = b

i

+ ab

k

s

,

a r´

ownowa˙zne, tzn. maj

,

a ten sam zbi´

or rozwi

,

aza´

n.

Wynika st

,

ad, ˙ze je´sli z uk ladem r´

owna´

n (2) zwi

,

a˙zemy macierz [A,~b],

dopisuj

,

ac do A kolumn

,

e ~b, a nast

,

epnie przekszta lcimy [A,~b] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do postaci [A

0

,~b

0

], to uk lad r´

owna´

n

(5)

A

0

~

x = ~b

0

b

,

edzie r´

ownowa˙zny z uk ladem wyj´sciowym (2).

Metoda eliminacji polega na sprowadzaniu macierzy [A,~b] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do macierzy w postaci schodkowej [A

0

,~b

0

] i opisaniu

zbioru rozwi

,

aza´

n uk ladu (5) (identycznego ze zbiorem rozwi

,

aza´

n uk ladu (2)).

Dla podkre´slenia, ˙ze w macierzy [A,~b] ostatnia kolumna gra rol

,

e inn

,

a, ni˙z

pozosta le, zob. (3), b

,

edziemy zapisywa´

c t

,

e macierz w postaci [A | ~b].

Niech

(6)

[A

0

| ~b

0

] =









~

u

T
1

c

1

..

.

..

.

~

u

T
m

c

m









,

a wi

,

ec (5) jest uk ladem r´

owna´

n

(7)

~

u

i

T

~

x = c

i

, i = 1, . . . , m,

i za l´

o˙zmy, ˙ze macierz [A

0

| ~b

0

] jest schodkowa.

Mo˙zliwe s

,

a dwa przypadki:

(A) dla pewnego i, ~

u

i

= ~0, ale c

i

6= 0 – w´

owczas i-te r´

ownanie ~0

T

~

x = c

i

jest sprzeczne, a zatem uk lad r´

owna´

n (5) nie ma rozwi

,

aza´

n;

(B) sytuacja opisana w (A) nie ma miejsca – w´

owczas uk lad r´

owna´

n (5)

jest niesprzeczny i cofaj

,

ac si

,

e od ostatniego niezerowego r´

ownania w (7) do

pierwszego, mo˙zna wyznaczy´

c wszystkie rozwi

,

azania.

Opiszemy dok ladniej przypadek (B). Niech ~

u

1

T

, . . . , ~

u

r

T

b

,

ed

,

a niezerowy-

mi wierszami macierzy A

0

i niech wyrazy wiod

,

ace kolejnych wierszy ~

u

1

T

, . . . , ~

u

r

T

stoj

,

a w kolumnach o numerach j

1

< j

2

< . . . < j

r

.

10

Uk lad r´

owna´

n (7) nie nak lada ˙zadnych ogranicze´

n na zmienne x

j

z in-

deksami r´

o˙znymi od j

1

, . . . , j

r

– s

,

a to zmienne wolne, kt´

ore traktujemy jako

parametry rozwi

,

aza´

n.

Rozwi

,

azywanie uk ladu (7) zaczynamy od r´

ownania ~

u

r

T

~

x = c

r

, wyzna-

czaj

,

ac zmienn

,

a x

j

r

w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych – parametr´

ow x

j

,

gdzie j > j

r

. Nast

,

epnie z r´

ownania ~

u

T
r−1

~

x = c

r−1

wyznaczamy zmienn

,

a x

j

r−1

w zale˙zno´sci od zmiennych x

j

o indeksach j > j

r−1

, i podobnie, wyznaczamy

kolejne zmienne x

j

r−2

, . . . , x

j

1

. W rezultacie, ka˙zda zmienna x

j

k

wyznaczona

jest w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych x

j

z indeksami j > j

k

. Przypomnij-

my, ˙ze zmienne x

j

dla j < j

1

s

,

a tak˙ze zmiennymi wolnymi.

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy uk lad r´

owna´

n jest niesprzeczny i je´sli tak,

opisa´

c wszystkie jego rozwi

,

azania w zale˙zno´sci od zmiennych wolnych – para-

metr´

ow.

1.











2x

2

+ x

3

= 3

−2x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 4

x

1

−

x

2

+ x

3

= 1

2.











x

1

− 2x

2

−

x

3

= −2

2x

1

+

x

2

+ 3x

3

=

1

−3x

1

+

x

2

− 2x

3

=

1

3.











x

1

− 2x

2

+

x

3

=

3

−x

1

+ 4x

2

= −1

2x

1

+ 4x

3

=

12

4.



















6x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

+ 4x

5

= 5

4x

1

+ 2x

2

+

x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 4

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 2x

4

+

x

5

= 0

2x

1

+

x

2

+ 7x

3

+ 3x

4

+ 2x

5

= 1

3. Podprzestrzenie liniowe przestrzeni ~

R

m

, liniowa niezale ˙zno´

s´

c

wektor´

ow, bazy, przestrze´

n zerowa N (A) i obraz R(A) macierzy A.

3.1. Kombinacje liniowe wektor´

ow.

Kombinacjami liniowymi wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

n

∈ ~

R

m

nazywamy wektory

postaci

(1)

~

v = t

1

~

v

1

+ . . . + t

n

~

v

n

=

P

n
j=1

t

j

~

v

j

, t

j

∈ R.

11

Niepusty zbi´

or wektor´

ow V ⊂ ~

R

m

jest przestrzeni

,

a liniow

,

a, je´sli ka˙zda

kombinacja liniowa wektor´

ow ~

v

j

∈ V jest elementem V .

Dla ustalonego uk ladu wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

n

∈ R

m

, zbi´

or Lin(~

v

1

, . . . , ~

v

n

)

wszystkich kombinacji liniowych (1) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a; nazywamy

j

,

a przestrzeni

,

a rozpi

,

et

,

a na wektorach ~

v

1

, . . . , ~

v

n

, albo pow lok

,

a liniow

,

a tego

uk ladu wektor´

ow.

3.2. Liniowa niezale ˙zno´

s´

c wektor´

ow.

Uk lad wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

r

∈ ~

R

m

jest liniowo niezale˙zny, je´sli uk lad r´

owna´

n

(2)

x

1

~

v

1

+ . . . + x

r

~

v

r

= ~0

ma tylko trywialne rozwi

,

azanie x

1

= x

2

= . . . = x

r

= 0. Oznacza to, ˙ze w

uk ladzie r´

owna´

n liniowych zapisanym formu l

,

a (2) nie ma zmiennych wolnych,

wi

,

ec dla dowolnego ~b ∈ Lin(~

v

1

, . . . , ~

v

r

) (nie tylko dla ~b = ~0), uk lad r´

owna´

n

(3)

x

1

~

v

1

+ . . . + x

r

~

v

r

= ~b

ma dok ladnie jedno rozwi

,

azanie.

Uwaga. Uk lad wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

r

∈ ~

R

m

jest liniowo niezale˙zny wtedy

i tylko wtedy, gdy po sprowadzeniu macierzy [~

v

1

, . . . , ~

v

r

| ~0] operacjami ele-

mentarnymi na wierszach do macierzy w postaci schodkowej, otrzymuje si

,

e

macierz, w kt´

orej wyraz wiod

,

acy i-tego wiersza stoi w i-tej kolumnie, dla

i = 1, 2, . . . , r, a pozosta le wiersze s

,

a zerowe.

Je´sli (2) ma nietrywialne rozwi

,

azania, to uk lad wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

r

na-

zywamy liniowo zale˙znym.

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy dany uk lad wektor´

ow jest liniowo niezale˙zny.

1. ~

v

1

=








1

−1

1

−1








, ~

v

2

=








1
1
0
1








, ~

v

3

=








2
1

−2

1








2. ~

v

1

=








2
1
0

−1








, ~

v

2

=








0

−1

1
0








, ~

v

3

=








1
1
1
2








, ~

v

4

=








1

−2

1

−3








Twierdzenie. Ka˙zda przestrze´

n liniowa V ⊂ ~

R

m

jest rozpi

,

eta na pew-

nym liniowo niezale˙znym uk ladzie wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

r

, gdzie r ≤ m.

12

/

Konstruujemy uk lad ~

v

1

, ~

v

2

, . . . wektor´

ow w V wybieraj

,

ac najpierw

~

v

1

6= ~0, a potem kolejno ~v

i

6∈ Lin(~v

1

, . . . , ~

v

i−1

) dla i > 1. Z Uwagi wynika,

˙ze po ka˙zdym kroku konstrukcji mamy uk lad liniowo niezale˙zny, a liczba

wyst

,

epuj

,

acych w tym uk ladzie wektor´

ow (r´

owna liczbie niezerowych wierszy

odpowiedniej macierzy w postaci schodkowej) nie jest wi

,

eksza ni˙z m (liczba

wierszy tej macierzy). Zatem dla pewnego r ≤ m wyb´

or nast

,

epnego wektora

~

v

r+1

nie b

,

edzie mo˙zliwy, czyli Lin(~

v

1

, . . . , ~

v

r

) = V .

.

3.3. Bazy w przestrzeniach liniowych V ⊂ ~

R

m

.

Uk lad wektor´

ow ~

v

1

, . . . , ~

v

r

w V jest baz

,

a przestrzeni liniowej V ⊂ ~

R

m

,

je´sli V = Lin(~

v

1

, . . . , ~

v

r

), oraz uk lad ~

v

1

, . . . , ~

v

r

jest liniowo niezale˙zny.

R´

ownowa˙zne okre´slenie bazy ~

v

1

, . . . , ~

v

r

w V : ka˙zdy wektor ~

v ∈ V zapisuje

si

,

e jednoznacznie jako kombinacja liniowa ~

v = t

1

~

v

1

+. . .+t

r

~

v

r

(wsp´

o lczynniki

t

1

, . . . , t

r

interpretuje si

,

e jako wsp´

o lrz

,

edne wektora ~

v w bazie ~

v

1

, . . . , ~

v

r

).

Uk lad wektor´

ow ~

e

1

, ~

e

2

, . . . , ~

e

m

, gdzie

~

e

j

=












0

..

.

1

..

.

0












∈ ~

R

m

,

[~

e

1

, . . . , ~

e

m

] = I

m

,

jest baz

,

a w ~

R

m

; nazywa´

c j

,

a b

,

edziemy baz

,

a standardow

,

a w ~

R

m

.

Niech V = Lin(~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

) b

,

edzie przestrzeni

,

a rozpi

,

et

,

a na uk ladzie

wektor´

ow w ~

R

m

. Opiszemy, w jaki spos´

ob mo˙zna wybra´

c wektory ~a

j

1

, . . . , ~a

j

r

z tego uk ladu, aby otrzyma´

c baz

,

e V , a ponadto, jak zapisa´

c ka˙zdy z pozo-

sta lych wektor´

ow ~a

i

jako kombinacj

,

e liniow

,

a poprzedzaj

,

acych go wektor´

ow

wybranych.

Macierz A = [~a

1

, . . . , ~a

n

], kt´

orej kolumnami s

,

a wektory z danego uk ladu,

sprowadzamy operacjami elementarnymi na wierszach do postaci schodkowej

(4)

[~b

1

, . . . ,~b

n

].

Niech j

1

< . . . < j

r

b

,

ed

,

a numerami kolumn, w kt´

orych stoj

,

a wyrazy

wiod

,

ace niezerowych wierszy macierzy (4). W´

owczas uk lad wektor´

ow

(5)

~a

j

1

, . . . , ~a

j

r

jest baz

,

a V .

13

Aby zapisa´

c dowolny wektor ~a

i

, i 6= j

1

, . . . , j

r

, jako kombinacj

,

e liniow

,

a

poprzedzaj

,

acych go wektor´

ow z uk ladu (5), zwi

,

azujemy z macierz

,

a schod-

kow

,

a (4) uk lad r´

owna´

n

(6)

x

1

~b

1

+ . . . + x

n

~b

n

= ~0.

W uk ladzie (6) zmienne x

j

dla j 6= j

1

, . . . , j

r

s

,

a wolne, przyjmijmy x

i

=

−1, oraz x

j

= 0 dla pozosta lych zmiennych wolnych, a nast

,

epnie wyznaczmy

z uk ladu (6) warto´sci s

j

r

, s

j

r−1

, . . . , s

j

1

pozosta lych zmiennych (zauwa˙zmy, ˙ze

dla j

k

> i, s

j

k

= 0).

W´

owczas

(7)

~a

i

= s

j

1

~a

j

1

+ . . . + s

j

q

~a

j

q

, gdzie j

q

< i.

/

Opisana procedura wyboru bazy z uk ladu rozpinaj

,

acego przestrze´

n V

odpowiada konstrukcji z dowodu Twierdzenia w 3.2. Dla uzasadnienia tej
procedury rozpatrzmy uk lad r´

owna´

n

(8)

x

1

~a

1

+ . . . + x

n

~a

n

= ~0.

Uk lad (8) jest r´

ownowa˙zny uk ladowi (6), bo macierz [~b

1

, . . . ,~b

n

| ~0] otrzymuje

si

,

e z macierzy [~a

1

, . . . , ~a

n

| ~0] w wyniku operacji elementarnych na wierszach.

Znajduj

,

ac s

j

1

, . . . , s

j

r

tak, ˙ze −~b

i

+s

j

1

~b

j

1

+. . .+s

j

r

~b

j

r

= ~0 (i s

j

k

= 0 dla j

k

> i),

zapewniamy wi

,

ec (7). W szczeg´

olno´sci, dla ka˙zdego i, ~a

i

∈ Lin(~a

j

1

, . . . , ~a

j

r

),

sk

,

ad V = Lin(~a

j

1

, . . . , ~a

j

r

).

Liniowa niezale˙zno´s´

c uk ladu (5) wynika z Uwagi w 3.2, bo w macierzy

schodkowej [~b

j

1

, . . . ,~b

j

r

| ~0] wyraz wiod

,

acy i-tego wiersza stoi w i-tej kolumnie

dla i = 1, . . . , r, a pozosta le wiersze s

,

a zerowe.

.

Przyk lad. Z danego uk ladu wektor´

ow wybra´

c baz

,

e przestrzeni rozpi

,

etej

na tym uk ladzie i zapisa´

c ka˙zdy z pozosta lych wektor´

ow tego uk ladu jako

kombinacj

,

e liniow

,

a poprzedzaj

,

acych go wektor´

ow wybranych.

1.

~

a

1

=








1
1
2

−1








, ~a

2

=








1
2
1
1








, ~a

3

=








1
4

−1

5








, ~a

4

=








1
0
4

−1








, ~a

5

=








2
5
0
2








.

2.

~

a

1

=








6
4
4
2








, ~a

2

=








3
2
2
1








, ~a

3

=








2
1
3
7








, ~a

4

=








3
2
2
3








, ~a

5

=








4
3
1
2








.

14

Twierdzenie. Ka˙zda przestrze´

n liniowa V ⊂ ~

R

m

ma baz

,

e, ka˙zdy liniowo

niezale˙zny uk lad wektor´

ow w V mo˙zna uzupe lni´

c do bazy V i ka˙zde dwie bazy

w V maj

,

a tyle samo element´

ow.

/

Pierwsza cz

,

e´s´

c tezy wynika z Twierdzenia w 3.2, a druga z nast

,

epuj

,

acej

obserwacji: je´sli V jest rozpi

,

eta na uk ladzie wektor´

ow ~a

1

, . . . , ~a

k

, ~

u

1

, . . . , ~

u

l

i

wektory ~a

1

, . . . , ~a

k

s

,

a liniowo niezale˙zne, to Uwaga w 3.2 zapewnia, ˙ze wy-

bieraj

,

ac z tego uk ladu baz

,

e V nie usuniemy ˙zadnego z wektor´

ow ~a

i

.

Je´sli mamy teraz dwie bazy ~

v

1

, . . . , ~

v

r

, oraz ~

w

1

, . . . , ~

w

q

w przestrzeni V ,

to zgodnie z t

,

a obserwacj

,

a, kolejno: wybieraj

,

ac z uk ladu ~

w

1

, ~

v

1

, . . . , ~

v

r

baz

,

e

V , dopisuj

,

ac na pocz

,

atku wybranej bazy ~

w

2

i wybieraj

,

ac z tego uk ladu baz

,

e

V , a nast

,

epnie powtarzaj

,

ac t

,

e procedur

,

e dla wektor´

ow ~

w

3

, ~

w

4

, . . ., po k kro-

kach dostajemy baz

,

e ~

w

k

, ~

w

k−1

, . . . , ~

w

1

, ~

v

j

1

, . . . , ~

v

j

p

przestrzeni V . Za ka˙zdym

razem, dopisuj

,

ac ~

w

i

i wybieraj

,

ac baz

,

e, zmniejszamy liczb

,

e wektor´

ow ~

v

j

w ba-

zie (bo dopisuj

,

ac do bazy wektor ~

w

i

dostajemy uk lad liniowo zale˙zny – wektor

~

w

i

daje si

,

e zapisa´

c jako kombinacja liniowa rozszerzonego uk ladu wektor´

ow

na dwa r´

o˙zne sposoby). W rezultacie, w q krokach usuwamy co najmniej q

wektor´

ow ~

v

j

, wi

,

ec q ≤ r i z symetrii za lo˙ze´

n, tak˙ze r ≤ q.

.

Wymiarem dimV przestrzeni liniowej V ⊂ ~

R

m

nazywamy liczb

,

e ele-

ment´

ow dowolnej bazy w V .

Z Twierdzenia wynika, ˙ze je´sli V ⊂ W ⊂ ~

R

m

s

,

a przestrzeniami liniowymi,

to dimV ≤ dimW . Je´sli ponadto dimV = dimW , to V = W .

3.4. Przestrze´

n zerowa N (A) i obraz R(A) macierzy A.

Przestrze´

n zerowa (m × n)-macierzy A,

(9)

N (A) = {~

x ∈ ~

R

n

: A~

x = ~0}

jest przestrzeni

,

a liniow

,

a w ~

R

n

z lo˙zon

,

a z rozwi

,

aza´

n jednorodnego uk ladu

r´

owna´

n A~

x = ~0.

Zapiszmy macierz A w postaci kolumnowej

(10)

A = [~a

1

, . . . , ~a

n

],

~a

j

∈ ~

R

m

i przypomnijmy (zob. 2.1), ˙ze

(11)

A~

x = x

1

~a

1

+ . . . + x

n

~a

n

,

~

x =







x

1

..

.

x

n







∈ ~

R

n

.

15

Przestrze´

n

(12)

R(A) = {A~

x :

~

x ∈ ~

R

n

} = Lin(~a

1

, . . . , ~a

n

) ⊂ ~

R

m

rozpi

,

et

,

a na kolumnach macierzy A nazywamy obrazem macierzy A.

Baz

,

e w przestrzeni R(A) mo˙zna znale´

z´

c metod

,

a opisan

,

a w 3.3. Aby

znale´

z´

c baz

,

e w przestrzeni N (A), przyjmijmy oznaczenia z 3.3 i rozpatrzmy

uk lad r´

owna´

n (6).

Dla ka˙zdego i ∈ {1, . . . , n} \ {j

1

, . . . , j

r

} wyznaczmy

rozwi

,

azanie ~

w

i

uk ladu (6), przyjmuj

,

ac x

i

= 1, oraz x

j

= 0 dla pozosta lych

zmiennych wolnych x

j

. Uk lad n − r wektor´

ow ~

w

i

, i ∈ {1, . . . , n} \ {j

1

, . . . , j

r

}

jest baz

,

a przestrzeni zerowej N (A) macierzy (10).

/

Niech I = {1, . . . , n} \ {j

1

, . . . , j

r

} oznacza zbi´

or wszystkich zmiennych

wolnych uk ladu (6). Rozwa˙zmy wektor ~

w = Σ

i∈I

t

i

~

w

i

b

,

ed

,

acy kombinacj

,

a li-

niow

,

a wektor´

ow ~

w

i

.

Wektor ~

w jest jedynym rozwi

,

azaniem (6) maj

,

acym

zmienne wolne x

i

= t

i

dla i ∈ I. Ka˙zde rozwi

,

azanie (6) mo˙zna wi

,

ec jed-

noznacznie zapisa´

c jako kombinacj

,

e liniow

,

a wektor´

ow ~

w

i

, i ∈ I. Poniewa˙z

uk lad r´

owna´

n (6) jest r´

ownowa˙zny uk ladowi (8), uk lad wektor´

ow ~

w

i

, i ∈ I

jest baz

,

a N (A), zob. (9) i (11).

.

Poniewa˙z, zgodnie z (5), dimR(A) = r, otrzymujemy formu l

,

e

(13)

dimN (A) + dimR(A) = n.

Przyk lad. Znale´

z´

c baz

,

e przestrzeni zerowej N (A) macierzy A, gdzie

1. A =






1 1 0 1 0

−1 0 1 0 1

1 1 1 0 1






2. A =








2

4

−2 4

8 12 −12 8

−1

1

4 4

5

9

−6 8








3.5. Rz

,

ad macierzy.

Rz

,

edem macierzy A nazywamy liczb

,

e rankA = dimR(A).

Rozpatrzmy uk lad r´

owna´

n

(14)

A~

x = ~b.

Zgodnie z 2.1, dla A = [~a

1

, . . . , ~a

n

] uk lad (14) mo˙zna zapisa´

c w postaci

x

1

~a

1

+ . . . + x

n

~a

n

= ~b.

16

Zatem uk lad r´

owna´

n (14) ma rozwi

,

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy ~b ∈ R(A),

co mo˙zna te˙z wyrazi´

c formu l

,

a

(15)

rankA = rank[A | ~b].

Niech ~

w

1

, . . . , ~

w

p

b

,

edzie baz

,

a przestrzeni zerowej N (A) macierzy A. Je´sli

zachodzi (15), mo˙zna wybra´

c wektor ~

v taki, ˙ze A~

v = ~b. W´

owczas dowolne

rozwi

,

azanie uk ladu (14) zapisuje si

,

e jednoznacznie w postaci

(16)

~

x = ~

v + t

1

~

w

1

+ . . . + t

p

~

w

p

.

/

Istotnie, je´sli A~

x = ~b, to A(~

x − ~

v) = ~0, tzn. ~

x − ~

v ∈ N (A), a wi

,

ec

~

x − ~

v zapisuje si

,

e jednoznacznie jako kombinacja liniowa wektor´

ow z bazy

~

w

1

, . . . , ~

w

p

.

.

Przyk lad. Wyja´sni´

c, czy uk lad r´

owna´

n A~

x = ~b jest niesprzeczny i je´sli

tak, zapisa´

c jego rozwi

,

azanie og´

olne w postaci (16), gdzie ~

w

1

, . . . , ~

w

p

jest

baz

,

a przestrzeni zerowej N (A), a t

1

, . . . , t

p

s

,

a parametrami.

1. A =






2

3 1

2

12 18 9 12

6

9 5

6






, ~b =






3

15

7






2. A =








2 2 4 4 −4
1 4 2 2

4

0 2 0 0

7

1 6 2 2

11








, ~b =








0
3
3
6








3. A =








1 1 −1 1 0
1 3

2 2 5

0 0

5 0 5

2 2

3 2 5








, ~b =








0
0
1
1








Uwaga 1. Je´sli A jest (m × n)-macierz

,

a i B jest (n × k)-macierz

,

a, to

R(AB) ⊂ R(A) i w szczeg´

olno´sci

(17)

rank(AB) ≤ rankA.

Uwaga 2. Je´sli macierz B powstaje z macierzy A w wyniku operacji

elementarnych na wierszach, to A i B maj

,

a identyczne rz

,

edy. Istotnie, z

r´

ownowa˙zno´sci uk lad´

ow r´

owna´

n A~

x = ~0 i B~

x = ~0 wynika, ˙ze N (A) = N (B),

a wi

,

ec r´

owno´s´

c rz

,

ed´

ow jest konsekwencj

,

a formu ly (13).

17

3.6. Transponowanie macierzy.

Macierz transponowana A

T

macierzy A powstaje z A przez zamian

,

e ko-

lumn na wiersze, tzn.

[~a

1

, . . . , ~a

n

]

T

=







~a

T
1

..

.

~a

T
n







,

~a

j

∈ ~

R

m

.

Zauwa˙zmy, ˙ze

(18)

(A

T

)

T

= A, (A + B)

T

= A

T

+ B

T

, (AB)

T

= B

T

A

T

,

przy czym w drugiej r´

owno´sci zak lada si

,

e, ˙ze macierze A, B maj

,

a te same

wymiary, a w trzeciej, ˙ze liczba kolumn macierzy A jest r´

owna liczbie wierszy

macierzy B.

Bardzo wa˙zny jest nast

,

epuj

,

acy fakt

(19)

rankA = rankA

T

R´

owno´s´

c rz

,

ed´

ow A i A

T

oznacza, ˙ze przestrzenie rozpi

,

ete na kolumnach

i wierszach macierzy A maj

,

a te same wymiary.

/

Rozpatrzmy (m × n)-macierz A. Niech B b

,

edzie (m × r)-macierz

,

a,

kt´

orej kolumny s

,

a baz

,

a przestrzeni R(A). Utw´

orzmy (r × n)-macierz C,

wpisuj

,

ac w j-t

,

a kolumn

,

e C wsp´

o lczynniki przy przedstawieniu j-tej kolumny

macierzy A jako kombinacji liniowej kolumn macierzy B. W´

owczas A = BC,

sk

,

ad A

T

= C

T

B

T

, zob. (18), a wi

,

ec R(A

T

) ⊂ R(C

T

), zob. (17). Zatem

dimR(A

T

) ≤ r, bo C

T

ma r kolumn. Otrzymali´smy nier´

owno´s´

c rankA

T

≤

rankA. Podstawiaj

,

ac w tej nier´

owno´sci A

T

zamiast A, dostajemy nier´

owno´s´

c

przeciwn

,

a rankA = rank(A

T

)

T

≤ rankA

T

.

.

4. Macierze odwracalne.

4.1. Odwracanie macierzy.

M´

owimy, ˙ze (n × n)-macierz A jest odwracalna, je´sli istnieje (n × n)-

macierz B taka, ˙ze

(1)

AB = I

n

.

Je´sli taka macierz B istnieje, jest wyznaczona jednoznacznie; nazywamy

j

,

a macierz

,

a odwrotn

,

a do A i oznaczamy symbolem A

−1

.

18

Twierdzenie. Macierz A wymiaru n × n jest odwracalna wtedy i tylko

wtedy, gdy rankA = n.

Niech

(2)

A = [~a

1

, . . . , ~a

n

],

~

a

i

∈ ~

R

n

.

Sprowad´

zmy macierz

(3)

[A | I

n

] = [~a

1

, . . . , ~a

n

| ~e

1

, . . . , ~

e

n

]

operacjami elementarnymi na wierszach do macierzy schodkowej

(4)

[C | D].

Je´sli rankC < n (tzn. macierz schodkowa C ma wiersz zerowy), macierz

A nie jest odwracalna. Je´sli rankC = n, dalszymi operacjami elementarnymi
na wierszach macierzy schodkowej (4) sprowadzamy j

,

a do postaci

(5)

[I

n

| B] = [~e

1

, . . . , ~

e

n

| ~b

1

, . . . ,~b

n

].

W´

owczas

(6)

B = A

−1

.

/

Uzasadnimy Twierdzenie i opisan

,

a procedur

,

e odwracania macierzy.

Je´sli A jest odwracalna, to (1) daje rank(AB) = n, a wi

,

ec rankA = n,

zob. 3.5 (17). Je´sli za´s rankA = n, to zgodnie z Uwag

,

a 2 w 3.5, rankC = n

i macierz [A | I

n

] mo˙zna sprowadzi´

c operacjami elementarnymi na wierszach

do postaci (5).

Poniewa˙z uk lady r´

owna´

n A~

x = ~

e

j

, oraz I

n

~

x = ~b

j

s

,

a r´

ownowa˙zne, dla

j = 1, . . . , n, oraz I

n

~b

j

= ~b

j

, otrzymujemy A~b

j

= ~

e

j

, dla j = 1, . . . , n,

co oznacza dok ladnie (1). Warunek rankA = n zapewnia ponadto, ˙ze dla
ka˙zdego j ≤ n uk lad r´

owna´

n A~

x = ~

e

j

ma dok ladnie jedno rozwi

,

azanie, wi

,

ec

(1) wyznacza B jednoznacznie.

.

Uwaga 1. Dla (n × n)-macierzy odwracalnej A przekszta lcenie liniowe

A : ~

R

n

→ ~

R

n

jest odwracalne. R´

owno´s´

c AA

−1

= I

n

, zob. (1), oznacza wi

,

ec,

˙ze macierz odwrotna A

−1

okre´sla przekszta lcenie A

−1

: ~

R

n

→ ~

R

n

odwrotne

do A, a st

,

ad wynika, ˙ze tak˙ze A

−1

A = I

n

.

Przyk lady. Wyja´sni´

c, czy macierz A jest odwracalna i je´sli tak, znale´

z´

c

A

−1

.

19

1. A =






1 1 0
0 1 2
0 3 5






2. A =








1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1








3. A =






1 4 2
3 5 2
0 2 1






4. Dla dowolnego wektora ~b =








b

1

b

2

b

3

b

4








rozwi

,

aza´

c uk lad r´

owna´

n



















2x

1

+ 6x

2

+ 4x

4

= b

1

x

1

+ 2x

2

+ 2x

4

= b

2

2x

1

+ 4x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= b

3

x

1

+ 2x

2

+ 3x

4

= b

4

5. Niech A =






−1 −2

9

1

3 −1

0 −1

4






, B =






1

2

0

2

5 −2

0 −2

5






, C =






1 0 1
0 1 0
1 1 1






.

Znale´

z´

c (3 × 3)-macierz X tak

,

a, ˙ze AXB = C.

6. Niech A =

"

4

6

7 11

#

, B =

"

1 1
2 3

#

, C =

"

1

2 0

1 −1 1

#

.

Znale´

z´

c (2 × 3)-macierz X tak

,

a, ˙ze AX = 3BX + C.

Uwaga 2. Je´sli A i B s

,

a (n × n)-macierzami odwracalnymi, to

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

,

oraz (A

T

)

−1

= (A

−1

)

T

.

Istotnie, (B

−1

A

−1

)(AB) = B

−1

(A

−1

A)B = B

−1

B = I

n

, oraz A

T

(A

−1

)

T

=

(A

−1

A)

T

= I

n

.

5. Rzut ortogonalny na przestrze´

n liniow

,

a i zagadnienie naj-

mniejszych kwadrat´

ow.

5.1. Ortogonalno´

s´

c wektor´

ow i norma wektora.

M´

owimy, ˙ze wektory ~

u, ~

v ∈ ~

R

n

s

,

a ortogonalne (= prostopad le), co zapi-

sujemy ~

u⊥~

v, je´sli ~

u

T

~

v = 0.

Norm

,

e (= d lugo´s´

c) wektora ~

v ∈ ~

R

n

okre´slamy formu l

,

a

k ~v k= (~v

T

~

v)

1
2

.

20

Wektory ortogonalne ~

u, ~

v wyznaczaj

,

a tr´

ojk

,

at, dla kt´

orego spe lniona jest

formu la Pitagorasa

(1)

k ~

u − ~

v k

2

=k ~

u k

2

+ k ~

v k

2

.

/

Istotnie, je˙zeli ~

u

T

~

v = 0, to k ~

u −~

v k

2

= (~

u −~

v)

T

(~

u −~

v) = ~

u

T

~

u − 2~

u

T

~

v +

~

v

T

~

v = k ~

u k

2

+ k ~

v k

2

.

.

5.2. Rzut ortogonalny na przestrze´

n liniow

,

a V ⊂ ~

R

n

.

M´

owimy, ˙ze wektor ~

u ∈ ~

R

n

jest ortogonalny do przestrzeni liniowej V ⊂

~

R

n

, co zapisujemy ~

u⊥V , je´sli ~

u⊥~

v dla ka˙zdego ~

v ∈ V .

Twierdzenie Niech V ⊂ ~

R

n

b

,

edzie przestrzeni

,

a liniow

,

a. Dla ka˙zdego

~b ∈ ~

R

n

istnieje dok ladnie jeden wektor P (~b) ∈ V taki, ˙ze ~b − P (~b)⊥V .

Wektor P (~b) nazywamy rzutem ortogonalnym ~b na V . Opiszemy metod

,

e

wyznaczania rzutu ortogonalnego.

Znajdujemy baz

,

e ~a

1

, . . . , ~a

r

przestrzeni V , a nast

,

epnie, dla macierzy

A = [~a

1

, . . . , ~a

r

], znajdujemy wektor ~

w ∈ ~

R

r

taki, ˙ze

(2)

A

T

A ~

w = A

T

~b.

W´

owczas

(3)

P (~b) = A ~

w.

/

Aby uzasadni´

c t

,

e procedur

,

e, sprawdzimy przede wszystkim, ˙ze uk lad

r´

owna´

n

(4)

A

T

A~

x = A

T

~b

ma dok ladnie jedno rozwi

,

azanie. W tym celu poka˙zemy, ˙ze (r × r)-macierz

A

T

A jest odwracalna.

Za l´

o˙zmy, ˙ze rankA

T

A < r i niech ~

x ∈ ~

R

r

b

,

edzie niezerowym wektorem

takim, ˙ze A

T

A~

x = ~0. Wektor ~

v = A~

x spe lnia ~

v⊥~

v, bo z 3.6 (18) ~

v

T

~

v =

~

x

T

A

T

A~

x = ~

x

T

~0 = 0. Zatem ||~v|| = 0, czyli ~v = ~0, ale to przeczy liniowej

niezale˙zno´sci kolumn macierzy A.

Poniewa˙z przestrze´

n V jest rozpi

,

eta na wektorach ~a

1

, . . . , ~a

r

, dla uzasad-

nienia, ˙ze ~b − A ~

w⊥V wystarczy sprawdzi´

c, ˙ze ~a

i

⊥(~b − A ~

w), dla i = 1, . . . , r,

co macierzowo mo˙zna zapisa´

c w postaci A

T

(~b − A ~

w) = ~0 r´

ownowa˙znej (2).

21

Zauwa˙zmy na koniec, ˙ze (3) implikuje P (~b) ∈ R(A) = V i z jedno-

znaczno´sci rozwi

,

azania (4) wynika jednoznaczno´s´

c rzutu.

.

Odnotujmy dwa szczeg´

olne przypadki – rzut ortogonalny na przestrze´

n

rozpi

,

et

,

a na jednym niezerowym wektorze i rzut ortogonalny na przestrze´

n

wektor´

ow prostopad lych do niezerowego wektora:

(5)

je´sli V = Lin(~a), ~a 6= ~0,

to P (~b) = (

~

a

T

~b

~

a

T

~

a

)~a,

(6)

je´sli V = {~

x : ~

x⊥~a}, ~a 6= ~0,

to P (~b) = ~b − (

~

a

T

~b

~

a

T

~

a

)~a.

/

Dla uzasadnienia tych formu l, rozpatrzmy ~c = (

~

a

T

~b

~

a

T

~

a

)~a ∈ Lin(~a). Po-

niewa˙z ~a

T

(~b − ~c) = 0, ~b − ~c⊥Lin(~a), st

,

ad wynika natychmiast (5). Jed-

nocze´snie zauwa˙zmy, ˙ze dla przestrzeni V opisanej w (6), ~b − ~c ∈ V , oraz

~b − (~b − ~c) = ~c⊥V , sk

,

ad wynika (6).

.

Przyk lad. Znale´

z´

c rzut ortogonalny wektora ~b =








1
0
1
5








∈ ~

R

4

na prze-

strze´

n V ⊂ ~

R

4

, gdzie

(A) V = Lin( ~

a

1

, ~

a

2

),

~

a

1

=








1
1

−1

0








,

~

a

2

=








1
2

−1

1








,

(B) V = N (B),

B =






−1 −1

0

0

0

1

0

1

2

1 −2 −1






,

(C) V = Lin(~a),

~a =








1
2
2
1








,

(D) V = {~

x ∈ ~

R

4

: ~a

T

~

x = 0},

~a

T

= (−1, −2, 0, 1).

22

5.3. Zagadnienie najmniejszych kwadrat´

ow.

Niech A b

,

edzie (n × r)-macierz

,

a rz

,

edu r i niech ~b ∈ ~

R

n

. Nale˙zy znale´

z´

c

wektor ~

w ∈ ~

R

r

taki, ˙ze

(7)

k ~b − A ~

w k= min{k ~b − A~

x k: ~

x ∈ ~

R

r

}.

Zagadnienie to nabiera znaczenia, je´sli uk lad r´

owna´

n A~

x = ~b jest sprzecz-

ny. Warunek (7) opisuje w´

owczas wektor ~

w, dla kt´

orego odleg lo´s´

c A ~

w od ~b,

mierzona pierwiastkiem z sumy kwadrat´

ow r´

o˙znic wsp´

o lrz

,

ednych, jest mini-

malna.

Zgodnie z 5.2, jednoznacznym rozwi

,

azaniem tego zagadnienia jest wektor

~

w spe lniaj

,

acy uk lad r´

owna´

n (4).

/

Istotnie, A ~

w = P (~b) jest rzutem ortogonalnym wektora ~b na przestrze´

n

V = R(A) rozpi

,

et

,

a na kolumnach A. Dla dowolnego ~

v ∈ V , z formu ly

Pitagorasa, k ~b − ~

v k

2

=k ~b − P (~b)

2

k + k P (~b) − ~v k

2

≥k ~b − P (~b) k

2

, a zatem

A ~

w spe lnia (7).

.

W szczeg´

olno´sci, rozpatrzmy nast

,

epuj

,

ace zagadnienie. Mierzymy dwie

zale˙zne od siebie wielko´sci t, y i ustalamy, ˙ze warto´sciom t

1

, . . . , t

n

pierwszej

z nich odpowiadaj

,

a warto´sci y

1

, . . . , y

n

drugiej. Chcemy okre´sli´

c m i c tak,

aby funkcja y = mt + c minimalizowa la odchylenie kwadratowe

E

2

=

n

X

i=1

[(mt

i

+ c) − y

i

]

2

.

Rozwi

,

azaniem tego zagadnienia jest wektor ~

w =

"

m

c

#

, kt´

ory spe lnia waru-

nek (7) dla

A =







t

1

1

..

.

..

.

t

n

1







, ~b =







y

1

..

.

y

n







.

Istotnie, odchylenie kwadratowe zapisuje si

,

e w postaci

E

2

=k A~

x − ~b k

2

,

~

x =

"

m

c

#

.

23

Przyk lady. 1. Niech A =






1 −2

−1

1

1

1






, ~b =






1
1

−3






.

Znale´

z´

c min{k ~b − A~

x k: ~

x ∈ ~

R

2

}.

2. W wyniku pomiar´

ow ustalono, ˙ze warto´sciom 2,3,5,6 wielko´sci t odpo-

wiadaj

,

a warto´sci 1,2,6,8 wielko´sci y. Znale´

z´

c m i c takie, ˙ze funkcja y = mt+c

minimalizuje odchylenie kwadratowe od obserwowanych wielko´sci.

5.4. Macierzowy opis rzutu ortogonalnego.

Niech ~a

1

, . . . , ~a

r

b

,

edzie baz

,

a przestrzeni liniowej V ⊂ ~

R

n

. Macierz A =

[~a

1

, . . . , ~a

r

] ma rz

,

ad r, wi

,

ec (r × r)-macierz A

T

A jest odwracalna (zob. uza-

sadnienie jednoznaczo´sci rozwi

,

aza´

n uk ladu (4) w (5.2)). Formu ly 5.2 (2),(3)

opisuj

,

ace rzut ortogonalny ~b ∈ ~

R

n

na V mo˙zna zatem zapisa´

c w postaci

macierzowej

(8)

P (~b) = A(A

T

A)

−1

A

T

~b.

Przyk lad. Znale´

z´

c macierz opisuj

,

ac

,

a rzut ortogonalny na V

1. V = Lin(~a

1

, ~a

2

),

gdzie ~a

1

=








1
1

−1

0








, ~a

2

=








1
2

−1

1








∈ ~

R

4

,

2. V = N (C),

gdzie C =






−1 −1

1

0

1

0 −1 −1

−2 −1

2

1






.

Formu la (8) prowadzi te˙z do opisu przestrzeni V uk ladem r´

owna´

n jedno-

rodnych

(9)

(A(A

T

A)

−1

A

T

− I

n

)~

x = ~0,

bo ~

x ∈ V wtedy i tylko wtedy, gdy P (~

x) − ~

x = ~0.

Uk lad (9) ma n r´

owna´

n, ale przestrze´

n V rozwi

,

aza´

n tego uk ladu ma

wymiar r, wi

,

ec zgodnie z 3.4 (13), rz

,

ad macierzy tego uk ladu wynosi n − r.

24

Przestrze´

n V mo˙zna opisa´

c uk ladem n − r r´

owna´

n

(10)

B

T

~

x = ~0, B = [~

u

1

, . . . , ~

u

n−r

], gdzie ~

u

1

, . . . , ~

u

n−r

jest baz

,

a N (A

T

).

/

Niech W = N (B

T

) b

,

edzie przestrzeni

,

a rozwi

,

aza´

n uk ladu (10). Po-

niewa˙z rankA

T

= rankA = r, z 3.4 (13) wynika, ˙ze dim N (A

T

) = n − r =

rankB = rankB

T

i dimW = n − (n − r) = r = dimV .

Przestrze´

n N (A

T

) rozwi

,

aza´

n jedorodnego uk ladu r´

owna´

n A

T

~

x = ~0 jest

zbiorem wektor´

ow ortogonalnych do ka˙zdej z kolumn macierzy A. Zatem dla

~

u ∈ N (A

T

) mamy ~

u⊥R(A) = V , co daje V ⊂ W . Z r´

owno´sci wymiar´

ow

tych przestrzeni wynika V = W , zob. 3.3.

.

Przyk lad. Znale´

z´

c jednorodny uk lad r´

owna´

n opisuj

,

acy przestrze´

n V ⊂

~

R

4

rozpi

,

et

,

a na wektorach ~a

1

=








1
1

−1

0








, ~a

2

=








0
1
0
1








.

6. Wyznacznik macierzy kwadratowej.

6.1. Okre´

slenie wyznacznika.

Ka˙zdej (n×n)-macierzy A mo˙zna przyporz

,

adkowa´

c w spos´

ob jednoznacz-

ny liczb

,

e detA – wyznacznik macierzy A tak, aby spe lnione by ly nast

,

epuj

,

ace

warunki:

(i) zamiana kolejno´sci dw´

och wierszy macierzy zmienia znak jej wyznacz-

nika,

(ii) dodanie do wiersza macierzy innego wiersza pomno˙zonego przez ska-

lar nie zmienia jej wyznacznika,

(iii) wyznacznik macierzy kwadratowej maj

,

acej same zera poni˙zej przek

,

at-

nej jest iloczynem wyraz´

ow na przek

,

atnej.

Z w lasno´sci (i), (ii), (iii) wynika tak˙ze w lasno´s´

c

(iv) je´sli A powstaje z macierzy B w wyniku operacji elementarnej (III)

c(i)

,

to detA = c · detB.

25

Uwaga 1. Niech

A =







a

11

. . . a

1n

..

.

..

.

a

n1

. . . a

nn







.

Wyznacznik detA mo˙zna okre´sli´

c nast

,

epuj

,

aco. Z kolejnych wierszy wybie-

ramy wyrazy a

1σ(1)

, a

2σ(2)

, . . . , a

nσ(n)

, przy czym z ka˙zdej kolumny wybieramy

tylko jeden element (tzn. σ(i) 6= σ(j) dla i 6= j) i tworzymy iloczyn

(1)

(−1)

l(σ)

a

1σ(1)

a

2σ(2)

· . . . · a

nσ(n)

gdzie l(σ) jest liczb

,

a par wska´

znik´

ow 1 ≤ i < j ≤ n, dla kt´

orych σ(i) > σ(j)

(tzn. liczb

,

a par wierszy, dla kt´

orych z wcze´sniejszego wiersza wybrali´smy

element z dalszej kolumny).

Wyznacznik detA jest sum

,

a wszystkich mo˙zliwych iloczyn´

ow postaci (1).

Dla n = 2 dostajemy wz´

or

det

"

a

11

a

12

a

21

a

22

#

= a

11

a

22

− a

12

a

21

,

a dla n = 3 wz´

or Sarrusa

det






a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33






= a

11

a

22

a

33

+a

12

a

23

a

31

+a

13

a

21

a

32

−a

13

a

22

a

31

−a

12

a

21

a

33

− a

11

a

23

a

32

.

Uwaga 2. Niech ~a,~b, ~c b

,

ed

,

a liniowo niezale˙znymi wektorami w ~

R

3

i niech

~

u

T

, ~

v

T

, ~

w

T

b

,

ed

,

a wierszami macierzy B powsta lej z macierzy

A =






~a

T

~b

T

~c

T






w wyniku operacji elementarnych na wierszach typu (I), lub (II). W´

owczas

r´

ownoleg lo´scian w przestrzeni tr´

ojwymiarowej o kraw

,

edziach wyznaczonych

przez ~a,~b, ~c ma obj

,

eto´s´

c r´

own

,

a obj

,

eto´sci r´

ownoleg lo´scianu o kraw

,

edziach wy-

znaczonych przez ~

u, ~

v, ~

w. Macierz A mo˙zna przekszta lci´

c operacjami typu (I)

i (II) do postaci

B =






r 0 0
0 s 0
0 0

t






,

26

w kt´

orej wektory - wiersze s

,

a parami prostopad le i wyznaczaj

,

a prostopad lo´scian

o obj

,

eto´sci | rst |=| detB |=| detA |. Wynika st

,

ad, ˙ze modu l wyznacznika A

jest obj

,

eto´sci

,

a r´

ownoleg lo´scianu o kraw

,

edziach wyznaczonych przez ~a,~b, ~c.

Podobnie, dla (2 × 2)-macierzy A, | detA | jest polem r´

ownoleg loboku na

p laszczy´

znie, kt´

orego boki s

,

a wyznaczone przez wektory - wiersze A.

Uwaga 3. Z Uwagi 1 wynika, ˙ze dla (n × n)-macierzy A,

detA = detA

T

,

zatem przy okre´slaniu wyznacznika wiersze mo˙zna zast

,

api´

c kolumnami ma-

cierzy.

Przyk lady.

1. Znale´

z´

c pole r´

ownoleg loboku na p laszczy´

znie o kraw

,

edziach ~

P Q, ~

P R,

gdzie P = (1, 2), Q = (6, 7), R = (3, 8).

2. Znale´

z´

c obj

,

eto´s´

c r´

ownoleg lo´scianu w przestrzeni o kraw

,

edziach ~

P Q, ~

P R, ~

P S,

gdzie P = (1, −1, 1), Q = (2, 6, 2), R = (−3, −5, 4), S = (4, 2, −1).

6.2. Obliczanie wyznacznika.

Niech A b

,

edzie (n × n)-macierz

,

a. Operacjami elementarnymi typu (I),

lub (II) sprowadzamy macierz A do postaci schodkowej

A

0

=







a

1

?

. ..

0

a

n







,

zmieniaj

,

ac znak wyznacznika przy ka˙zdej operacji typu (I) i nie zmieniaj

,

ac

wyznacznika przy operacji typu (II). Zatem

detA = (−1)

p

detA

0

= (−1)

p

a

1

· . . . · a

n

,

gdzie p jest liczb

,

a wykonanych operacji typu (I).

Przyk lady Obliczy´

c wyznaczniki nast

,

epuj

,

acych macierzy:

1.








1 −1

1

−2

1

3 −1

3

−1

2

0

4

−3

0 −8 −13








2.








0 3 5 1
3 3 1 8

−2 0 2 1

1 3 4 3








3.








0 4 1 3
0 2 2 1
1 3 1 2
2 2 1 4








27

6.3. Formu la Cauchy’ego.

Dla (n × n)-macierzy A i B,

(2)

det(AB) = detA · detB.

/

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli macierz A

0

powstaje z A w wyniku ope-

racji elementarnych na wierszach, to z definicji iloczynu macierzy w 1.5.(B)
wynika, ˙ze te same operacje na wierszach macierzy AB sprowadzaj

,

a j

,

a do

macierzy A

0

B (wystarczy to sprawdzi´

c dla jednej operacji ka˙zdego typu).

Je´sli rankA < n to z powy˙zszej obserwacji (zob. te˙z 3.5 (17)) wynika, ˙ze

rank(AB) < n, a wi

,

ec, zgodnie z 6.2, obie strony (2) s

,

a r´

owne zeru.

Je´sli rankA = n, to operacjami elementarnymi na wierszach typu (I) lub

(II) mo˙zna sprowadzi´

c A do postaci diagonalnej

A

0

=







a

1

0

. ..

0

a

n







.

Niech p ozacza liczb

,

e wykonanych operacji typu (I). Mamy wtedy detA =

(−1)

p

· detA

0

i z powy˙zszej obserwacji, r´

ownie˙z det(AB) = (−1)

p

det(A

0

B).

Dla dowodu (2) wystarczy wi

,

ec sprawdzi´

c, ˙ze det(A

0

B) = detA

0

detB, a to

wynika z

det














a

1

0

. ..

0

a

n














~

b

1

T

..

.

~

b

n

T















= det








a

1

~

b

1

T

..

.

a

n

~

b

n

T








= a

1

· . . . · a

n

det








~

b

1

T

..

.

~

b

n

T








.

.

Przyk lad

Niech A =






4 2 1
4 1 2
4 1 1






, B =






2 2 1
0 1 0
0 5 1






. Znale´

z´

c det(A

5

B

−7

).

6.4.

Macierz adjA stowarzyszona z macierz

,

a kwadratow

,

a A i

formu ly Cramera.

Niech A b

,

edzie (n × n)-macierz

,

a. Dla ka˙zdej pary indeks´

ow 1 ≤ i, j ≤

n, oznaczamy przez A(i, j) macierz otrzyman

,

a z A przez skre´slenie i-tego

wiersza i j-tej kolumny i okre´slamy

28

A

ij

= (−1)

i+j

detA(i, j).

Macierz

adjA =







A

11

. . . A

1n

..

.

..

.

A

n1

. . . A

nn







T

stowarzyszona z A ma nast

,

epuj

,

ac

,

a w lasno´s´

c

(3)

A · adjA = detA · I

n

.

W szczeg´

olno´sci,

(4)

je´sli detA 6= 0, to A

−1

=

1

detA

adjA.

Formu la (4) pozwala zapisa´

c rozwi

,

azanie uk ladu r´

owna´

n

(5)

A~

x = ~b,

gdzie detA 6= 0,

w postaci

(6)

~

x = (

1

detA

adjA)~b.

Je´sli

A = [~a

1

, . . . , ~a

n

], ~a

i

∈ ~

R

n

, ~b ∈ ~

R

n

, ~

x =







x

1

..

.

x

n







,

rozwi

,

azanie (6) prowadzi do formu l Cramera

(7)

x

i

=

1

detA

det[~a

1

, . . . , ~a

i−1

,~b, ~a

i

, . . . , ~a

n

], i = 1, . . . , n.

Formu ly Cramera (7) maj

,

a g l´

ownie znaczenie teoretyczne. Wynika z nich

na przyk lad, ˙ze je´sli detA = 1, oraz wyrazy A i wsp´

o lrz

,

edne wektora ~b s

,

a

liczbami ca lkowitymi, to rozwi

,

azanie ~

x uk ladu r´

owna´

n (5) jest wektorem o

wsp´

o lrz

,

ednych ca lkowitych, zob. Uwaga 1 w 6.1.

Przyk lady. Znale´

z´

c adjA i sprawdzi´

c, ˙ze spe lniona jest formu la (3).

1. A =

"

3 4
5 6

#

2. A =






7

1

2

2 −1 −1
3

1

3






7. Model Leontiewa przep lyw´

ow mi

,

edzyga l

,

eziowych.

Rozpatrujemy n ga l

,

ezi gospodarki. Niech x

i

> 0 b

,

edzie produkcj

,

a global-

n

,

a i-tej ga l

,

ezi, x

ij

≥ 0 b

,

edzie cz

,

e´sci

,

a produkcji i-tej ga l

,

ezi zu˙zywan

,

a przez

29

j-t

,

a ga l

,

a´

z do produkcji, za´s d

i

≥ 0 b

,

edzie produktem ko´

ncowym i-tej ga l

,

ezi

(sprzedawanym na rynku). Informacje te zapisujemy w postaci macierzy
przep lyw´

ow mi

,

edzyga l

,

eziowych











x

11

x

12

. . . x

1n

d

1

x

1

x

21

x

22

. . . x

2n

d

2

x

2

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

x

n1

x

n2

. . . x

nn

d

n

x

n











.

Wsp´

o lczynniki

(1)

a

ij

=

x

ij

x

j

okre´slaj

,

a stosunki mi

,

edzy nak ladami i wielko´sci

,

a produkcji, sta le w modelu

Leontiewa. Macierz

(2)







a

11

. . . a

1n

..

.

..

.

a

n1

. . . a

nn







jest macierz

,

a (sta lych) wsp´

o lczynnik´

ow produkcji. Dla ka˙zdej ga l

,

ezi mamy,

zob. (1),

(3)

x

i

= x

i1

+ . . . + x

in

+ d

i

= a

i1

x

1

+ . . . + a

in

x

n

+ d

i

,

co mo˙zna zapisa´

c w postaci macierzowej jako r´

ownanie

~

x = A~

x + ~

d,

~

x =









x

1

x

2

..

.

x

n









,

~

d =









d

1

d

2

..

.

d

n









,

albo te˙z w postaci

(4)

(I

n

− A)~

x = ~

d.

Macierz I

n

− A nazywa si

,

e macierz

,

a Leontiewa.

Twierdzenie. Je´

sli produkty ko´

ncowe d

i

ka˙zdej ga l

,

ezi gospodarki s

,

a do-

datnie, to macierz Leontiewa I

n

− A jest odwracalna, a wektor produkcji

globalnej ~

x jest opisany formu l

,

a

~

x = (I

n

− A)

−1

~

d.

30

/

Mno˙z

,

ac, dla j = 1, 2, . . . , n, j-t

,

a kolumn

,

e macierzy I

n

− A przez x

j

i

korzystaj

,

ac z (1), otrzymujemy macierz

B =









x

1

− x

11

−x

12

. . .

−x

1n

−x

21

x

2

− x

22

. . .

−x

2n

..

.

..

.

..

.

−x

n1

−x

n2

. . . x

n

− x

nn









.

Przypu´s´

cmy, ˙ze n × n-macierz I

n

− A nie jest odwracalna, to znaczy, ˙ze

jej kolumny s

,

a liniowo zale˙zne (zob. 4.1). Wtedy kolumny B te˙z s

,

a liniowo

zale˙zne, wi

,

ec istnieje niezerowy wektor ~

w = [w

1

, . . . , w

n

]

T

taki, ˙ze B ~

w = ~0.

Zast

,

epuj

,

ac, w razie potrzeby, ~

w przez wektor − ~

w mo˙zemy dodatkowo za lo˙zy´

c,

˙ze ~

w ma dodatni

,

a wsp´

o lrz

,

edn

,

a.

Wybierzmy i ≤ n takie, ˙ze w

i

≥ w

j

dla j 6= i i zbadajmy i-t

,

a wsp´

o lrz

,

edn

,

a

wektora B ~

w = ~0:

0 = x

i

w

i

−

P

n
j=1

x

ij

w

j

≥ x

i

w

i

−

P

n
j=1

x

ij

w

i

= (x

i

−

P

n
j=1

x

ij

)w

i

= d

i

w

i

> 0.

Otrzymana sprzeczno´s´

c dowodzi, ˙ze macierz I

n

− A jest odwracalna.

.

Przyk lad. W modelu Leontiewa dla trzech ga l

,

ezi gospodarki dana jest

macierz przep lyw´

ow mi

,

edzyga l

,

eziowych:








2 0 1

5

8

2 3 0

7

12

0 0 1

3

4








.

(a) Znale´

z´

c macierz Leontiewa i i macierz do niej odwrotn

,

a.

(b) O ile wzrosn

,

a produkty ko´

ncowe, je´sli produkty globalne wzrosn

,

a o

∆x

1

= 1, ∆x

2

= 2, ∆x

3

= 3?

(c) Ustali´

c plan produkcji globalnej tak, aby pierwsza ga l

,

a´

z wytwarza la

produkt ko´

ncowy o warto´sci 9, druga o warto´sci 6 i trzecia o warto´sci 9.

8. Nier´

owno´

sci liniowe.

Dla ~

u, ~

v ∈ ~

R

n

, ~

u = [u

1

, . . . , u

n

]

T

, ~

v = [v

1

, . . . , v

n

]

T

, nier´

owno´s´

c ~

u ≤ ~

v

oznacza, ˙ze u

j

≤ v

j

, dla j = 1, 2, . . . , n. Je´sli ~

u ≥ ~0, b

,

edziemy m´

owili, ˙ze

wektor ~

u jest nieujemny.

Ustalmy wektory ~

w

1

, . . . , ~

w

m

∈ ~

R

n

i liczby b

1

, . . . , b

m

∈ R i niech

(1)

W = {~

x ∈ ~

R

n

: ~

x ≥ ~0, ~

w

i

T

~

x ≤ b

i

, i = 1, 2, . . . m}.

31

Dla n = 2, ka˙zda nier´

owno´s´

c ~

w

T

i

~

x ≤ b

i

opisuje p´

o lp laszczyzn

,

e w ~

R

2

, zatem

W jest albo zbiorem pustym, albo wielok

,

atem (by´

c mo˙ze nieograniczonym)

le˙z

,

acym w pierwszej ´

cwiartce p laszczyzny. Podobnie, dla n = 3, albo W =

∅, albo te˙z W jest wielo´scianem (by´c mo˙ze nieograniczonym), z lo˙zonym z
wektor´

ow nieujemnych.

Zauwa˙zmy, ˙ze zamiast (1) mo˙zemy rozwa˙za´

c zbiory postaci

(1)

0

W = {~

x ∈ ~

R

n

: ~

x ≥ ~0, ~

w

T

i

~

x ≥ b

i

, i = 1, 2, . . . m},

bo nier´

owno´s´

c ~

w

T

i

~

x ≥ b

i

jest r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci (− ~

w

i

)

T

~

x ≤ −b

i

.

Ustalmy ~

p ∈ ~

R

n

. B

,

edziemy rozpatrywa´

c nast

,

epuj

,

ace zagadnienie:

(2)

znale´

z´

c ~

x

0

∈ W takie, ˙ze ~

p

T

~

x

0

= min{~

p

T

~

x : ~

x ∈ W }.

Jest to zagadnienie minimalizacji funkcji liniowej ~

p

T

~

x, przy ogranicze-

niach zadanych nier´

owno´sciami liniowymi, opisuj

,

acymi zbi´

or W .

(A) Zagadnienie planu produkcji.

Producent produkuje n towar´

ow. Do wytworzenia jednostki j-tego to-

waru potrzeba a

ij

jednostek i-tego ´srodka produkcji, i ≤ m. Dost

,

epnych jest

b

i

jednostek i-tego ´srodka produkcji, doch´

od ze sprzeda˙zy jednostki j-tego

towaru wynosi c

j

. Okre´sli´

c ilo´sci x

j

jednostek j-tego towaru, przy kt´

orych

zysk jest maksymalny.

Przyjmuj

,

ac

~

w

i

=









a

i1

a

i2

..

.

a

in









,

−~

p =









c

1

c

2

..

.

c

n









,

mamy rozwi

,

aza´

c zagadnienie (2), gdzie W jest opisane formu l

,

a (1).

(B) Zagadnienie diety optymalnej.

Mamy n produkt´

ow ˙zywno´sciowych. Produkt j-ty zawiera m sk ladnik´

ow

od˙zywczych, w proporcjach a

1j

, a

2j

, . . . , a

mj

(w stosunku do ca lkowitej masy).

Przy od˙zywianiu nale˙zy dostarczy´

c co najmniej b

i

jednostek i-tego sk ladnika.

Cena jednostki j-tego produktu wynosi c

j

. Dobra´

c x

j

jednostek ka˙zdego pro-

duktu, aby zapewni´

c dostarczenie wystarczaj

,

acej ilo´sci ka˙zdego ze sk ladnik´

ow

od˙zywczych, minimalizuj

,

ac przy tym koszt zakupu.

Tak wi

,

ec, dla

32

~

w

i

=









a

i1

a

i2

..

.

a

in









,

~

p =









c

1

c

2

..

.

c

n









,

mamy rozwi

,

aza´

c zagadnienie (2), gdzie W jest opisane formu l

,

a (1)

0

.

Przyjmijmy

(3)

A =









~

w

T

1

~

w

T

2

..

.

~

w

T

m









,

~b =









b

1

b

2

..

.

b

m









.

W´

owczas, zob. (1), (3),

(4)

W = {~

x ∈ ~

R

n

: ~

x ≥ ~0, A~

x ≤ ~b}.

Ka˙zda nier´

owno´s´

c ~

w

i

T

~

x ≤ b

i

jest r´

ownowa˙zna uk ladowi z lo˙zonemu z

r´

ownania ~

w

i

T

~

x + y

i

= b

i

i nier´

owno´sci y

i

≥ 0.

Zatem, wprowadzaj

,

ac

(5)

B = [A, I

m

],

~

z =

"

~

x
~

y

#

∈ ~

R

n+m

,

(6)

Z = {~

z ∈ ~

R

n+m

: ~

z ≥ ~0, B~

z = ~b},

oraz

(7)

~

q =

"

~

p

~0

#

∈ ~

R

n+m

,

zagadnienie (2) mo˙zna sformu lowa´

c r´

ownowa˙znie w nast

,

epuj

,

acy spos´

ob:

(8)

znale´

z´

c ~

z

0

∈ Z takie, ˙ze ~

q

T

~

z

0

= min{~

q

T

~

z : ~

z ∈ Z}.

Dok ladniej, je´sli ~

z

0

jest rozwi

,

azaniem (8), wektor ~

x

0

z lo˙zony z pierw-

szych n wsp´

o lrz

,

ednych wektora ~

z

0

jest rozwi

,

azaniem (2), a je´sli ~

x

0

jest

rozwi

,

azaniem (2), dopisuj

,

ac wektor ~

y

0

= ~b − A ~

x

0

, otrzymujemy rozwi

,

azanie

(8), zob. (5).

Opiszemy procedur

,

e, pozwalaj

,

ac

,

a na wyja´snienie, czy zagadnienie (8) ma

rozwi

,

azanie i je´sli tak, na wskazanie pewnego rozwi

,

azania tego zagadnienia.

Odwracalne (m × m)- podmacierze macierzy B nazywa´

c b

,

edziemy ma-

cierzami bazowymi.

33

Ka˙zda macierz bazowa E wyznacza jednoznacznie wektor ~

u

E

= E

−1

~b

spe lniaj

,

acy r´

ownanie E ~

u

E

= ~b i niech ~

z

E

∈ ~

R

n+m

b

,

edzie wektorem, kt´

orego

wsp´

o lrz

,

edne pokrywaj

,

a si

,

e ze wsp´

o lrz

,

ednymi wektora ~

u

E

, dla indeks´

ow wska-

zuj

,

acych kolumny macierzy E, a pozosta le wsp´

o lrz

,

edne s

,

a zerami.

Je´sli ˙zaden z wektor´

ow ~

u

E

nie jest nieujemny, zbi´

or Z opisany formu l

,

a

(6) jest pusty, a zatem zagadnienie (8) nie ma rozwi

,

azania.

W przeciwnym razie, spo´sr´

od nieujemnych wektor´

ow ~

z

E

wyznaczonych

przez macierze bazowe E, wybierzmy jako ~

z

0

wektor, dla kt´

orego liczba ~

q

T

~

z

0

jest minimalna.

Wektor ~

x

0

utworzony z pierwszych n wsp´

o lrz

,

ednych wektora ~

z

0

jest roz-

wi

,

azaniem zagadnienia (2).

/

Uzasadnienie opisanej metody opiera si

,

e na nast

,

epuj

,

acej obserwacji.

Niech D b

,

edzie (m × k)-macierz

,

a rz

,

edu mniejszego ni˙z k, U = {~

u ∈ ~

R

k

:

~

u ≥ 0, D~

u = ~b} i niech ~

v ∈ ~

R

k

.

Je´sli ~

u

0

∈ U spe lnia warunek ~v

T

~

u

0

= min{~

v

T

~

u : ~

u ∈ U }, to istnieje

~

u ∈ U takie, ˙ze ~

v

T

~

u

0

= ~

v

T

~

u i wektor ~

u ma co najmniej jedn

,

a wsp´

o lrz

,

edn

,

a

zerow

,

a.

Istotnie, z warunku rankD < k wynika istnienie wektora ~

w ∈ ~

R

k

takiego,

˙ze

D ~

w = ~0,

~

w 6= ~0.

Niech

~

u

t

= ~

u

0

+ t ~

w, t ∈ R.

W´

owczas

D ~

u

t

= ~b, ~

v

T

~

u

t

= ~

v

T

~

u

0

+ t~

v

T

~

w.

Mo˙zemy zak lada´

c, ˙ze wszystkie wsp´

o lrz

,

edne ~

u

0

s

,

a dodatnie (inaczej, przyj-

mujemy ~

u = ~

u

0

) i w´

owczas, dla dostatecznie ma lych warto´sci |t|, ~

u

t

≥ ~0. Dla

takich t, ~

u

t

∈ U i z minimalno´sci ~v

T

~

u

0

wynika, ˙ze t~

v

T

~

w ≥ 0, niezale˙znie od

znaku t. To oznacza, ˙ze ~

v

T

~

w = 0, a wi

,

ec dla dowolnego t,

D ~

u

t

= ~b, ~

v

T

~

u

t

= ~

v

T

~

u

0

.

Poniewa˙z ~

w 6= ~0, zast

,

epuj

,

ac ewentualnie ~

w przez wektor − ~

w, mo˙zemy za lo˙zy´

c,

˙ze co najmniej jedna wsp´

o lrz

,

edna wektora ~

w jest ujemna, sk

,

ad

s = sup{t ≥ 0 :

~

u

t

≥ ~0} < +∞.

34

Poniewa˙z ~

u

s

≥ ~0, ~

u

s

∈ U i ~v

T

~

u

s

= ~

v

T

~

u

0

, oraz co najmniej jedna wsp´

o lrz

,

edna

wektora ~

u

s

jest zerowa, mo˙zemy przyj

,

a´

c ~

u = ~

u

s

.

.

9. Liniowe jednorodne r´

ownania ro ˙zniczkowe o sta lych wsp´

o l-

czynnikach.

W zbiorze C(R) funkcji ci

,

ag lych na prostej rzeczywistej okre´slone jest

w naturalny spos´

ob dzia lanie dodawania funkcji (f + g)(x) = f (x) + g(x)

i mno˙zenie funkcji przez liczby (af )(x) = af (x). B

,

edziemy interpretowa´

c

funkcje jako wektory, a liczby jako skalary, przenosz

,

ac do C(R) poj

,

ecia kom-

binacji liniowej wektor´

ow, liniowej niezale˙zno´sci wektor´

ow i podprzestrzeni

liniowej.

Zbi´

or rozwi

,

aza´

n r´

ownania r´

o˙zniczkowego

(1)

y

00

= by

0

+ cy.

jest przestrzeni

,

a liniow

,

a V(b, c) w przestrzeni C(R). Poka˙zemy, ˙ze w ka˙zdej

przestrzeni V(b, c) mo˙zna wskaza´

c baz

,

e z lo˙zon

,

a z dw´

och wektor´

ow.

Twierdzenie. Przyjmijmy ∆ = b

2

+ 4c. W´

owczas nast

,

epuj

,

aca para

funkcji y

1

(x), y

2

(x) jest baz

,

a przestrzeni rozwi

,

aza´

n r´

ownania (1):

(i) je´

sli ∆ = 0 i λ jest podw´

ojnym pierwiastkiem r´

ownania x

2

= bx + c,

to y

1

(x) = e

λx

, y

2

(x) = xe

λx

,

(ii) je´

sli ∆ > 0 i λ

1

, λ

2

s

,

a r´

o˙znymi pierwiastkami r´

ownania x

2

= bx + c,

to y

1

(x) = e

λ

1

x

, y

2

(x) = e

λ

2

x

,

(iii) je´

sli ∆ < 0, α =

b

2

, β =

1
2

√

−∆, to y

1

(x) = e

αx

cos βx, y

2

(x) =

e

αx

sin βx.

/

W ka˙zdym z przypadk´

ow (i) – (iii) bezpo´srednim rachunkiem spraw-

dza si

,

e, ˙ze wskazane funkcje s

,

a rozwi

,

azaniami r´

ownania (1).

Pozostaje upewni´

c si

,

e, ˙ze ka˙zde rozwi

,

azanie y = y(x)r´

ownania (1) zapi-

suje si

,

e jednoznacznie w postaci y = a

1

y

1

+ a

2

y

2

, gdzie a

1

, a

2

s

,

a sta lymi, a

y

1

, y

2

funkcjami wskazanymi w odpowiednim punkcie twierdzenia.

Wyja´snimy to w przypadku (iii) (pozosta le przypadki uzasadnia si

,

e po-

dobnie).

Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze funkcja f ∈ C(R) spe lnia warunek

(2)

f

00

= bf

0

+ cf i f (0) = 0, f

0

(0) = 0.

Poka˙zemy, ˙ze

(3)

f (x) = 0 dla ka˙zdego x ∈ R.

35

W tym celu rozpatrzmy

(4)

g(x) = f (x)e

−αx

.

W´

owczas g

00

(x) = (f

00

(x) − 2αf

0

(x) + α

2

f (x))e

−αx

i poniewa˙z z (2), f

00

=

bf

0

+ cf = 2αf

0

+ cf , mamy g

00

(x) = (α

2

+ c)f (x)e

−αx

= −β

2

f (x)e

−αx

.

Zatem, zob. (4) i (2),

(5)

g

00

= −β

2

g, g(0) = 0, g

0

(0) = 0.

Poniewa˙z [(g

0

)

2

+ β

2

g

2

]

0

= 2g

00

g

0

+ 2β

2

g

0

g, z (5) wynika, ˙ze ta pochodna

jest stale zerem, a wi

,

ec (g

0

)

2

+ β

2

g

2

jest funkcj

,

a sta l

,

a i przyjmuje warto´s´

c

zero. To oznacza w szczeg´

olno´sci, ˙ze g jest funkcj

,

a zerow

,

a i dostajemy (3),

zob. (4).

Niech teraz y = y(x) b

,

edzie dowolnym rozwi

,

azaniem (1). Poniewa˙z ma-

cierz

"

y

1

(0) y

2

(0)

y

0

1

(0) y

0

2

(0)

#

=

"

1

0

α β

#

jest odwracalna, istniej

,

a jednoznacznie wyznaczone liczby a

1

, a

2

takie, ˙ze

"

y

1

(0) y

2

(0)

y

0

1

(0) y

0

2

(0)

# "

a

1

a

2

#

=

"

y(0)

y

0

(0)

#

.

W´

owczas f = y − (a

1

y

1

+ a

2

y

2

) spe lnia (2), zatem z (3), y = a

1

y

1

+ a

2

y

2

,

przy czym wsp´

o lczynniki a

1

, a

2

s

,

a wyznaczone jednoznacznie.

.

Uwaga. Zbi´

or rozwi

,

aza´

n r´

ownania

(6)

y

0

= ay

jest przestrzeni

,

a jednowymiarow

,

a.

Istotnie, wszystkie rozwi

,

azania (6) s

,

a postaci y(x) = ce

ax

, gdzie c jest

sta l

,

a.

10. R´

ownania r´

o ˙znicowe drugiego rz

,

edu i pot

,

egowanie macierzy

kwadratowych.

Dla ci

,

agu x

0

, x

1

, . . . przyjmijmy oznaczenie

(1)

∆x

n

= x

n+1

− x

n

.

W´

owczas

(2)

∆

2

x

n

= ∆(∆x

n

) = x

n+2

− 2x

n+1

+ x

n

.

36

Jednorodnym r´

ownaniem r´

o˙znicowym drugiego rz

,

edu nazywamy r´

ownanie

(3)

∆

2

x

n

+ α∆x

n

+ βx

n

= 0, x

0

= a

0

, x

1

= a

1

.

Rozwi

,

azanie r´

ownania (3) polega na znalezieniu wszystkich opisanych tym

r´

ownaniem ci

,

ag´

ow o pierwszych dw´

och wyrazach a

0

, a

1

.

Zgodnie z (1) i (2) zagadnienie (3) mo˙zna opisa´

c r´

ownowa˙znie w postaci

rekurencyjnej

(4)

x

n+2

= bx

n+1

+ cx

n

, x

0

= a

0

, x

1

= a

1

.

co z kolei zapisuje si

,

e w postaci macierzowej

(5)

"

x

n+2

x

n+1

#

= A

"

x

n+1

x

n

#

,

A =

"

b

c

1 0

#

,

x

0

= a

0

, x

1

= a

1

.

Poniewa˙z (5) oznacza, ˙ze dla n = 1, 2, . . .

(6)

"

x

n+1

x

n

#

= A

n

"

a

1

a

0

#

,

A =

"

b

c

1 0

#

,

rozwi

,

azanie r´

ownania r´

o˙znicowego (3) sprowadza si

,

e do wyznaczenia dowol-

nej pot

,

egi (2 × 2)-macierzy.

Poka˙zemy jak to zrobi´

c dla macierzy

(7)

A =

"

b

c

1 d

#

, gdzie (b − d)

2

+ 4c > 0.

Warunek (b − d)

2

+ 4c > 0 zapewnia, ˙ze wielomian zmiennej λ

(8)

det(A − λI

2

) = λ

2

− (b + d)λ + (bd − c)

ma dwa r´

o˙zne pierwiastki rzeczywiste λ

1

, λ

2

.

W tej sytuacji macierz

(9)

M =

"

λ

1

− d λ

2

− d

1

1

#

jest odwracalna i mno˙z

,

ac odpowiednie macierze mo˙zna sprawdzi´

c, ˙ze

(10)

AM = M

"

λ

1

0

0

λ

2

#

.

Mno˙z

,

ac obie strony (10) z prawej strony przez M

−1

dostajemy r´

owno´s´

c

37