Egzamin z  matematyki 2 GiK stacjonarne 2012/2013 

Zad.1 Układ równań do rozwiązania  

Zad.2 Funkcje wielu zmiennych- (znajdź: ekstrema, dziedzinę) 

Zad.3 Oblicz całkę podwójną lub podaj obszary normalne względem osi oX, OY 

Zad.4 Oblicz całka potrójną 

Zad.5 Równanie różniczkowe do rozwiązania 

Przykładowe zestawy 5*20 pkt=100 pkt 

czas trwania ok 60-70  min 

A. 
Zad. 1 Oblicz metodą Gaussa rozwiązanie (o ile istnieje) układu 

równań  

             

               

               

  

Zad. 2 Znajdź ekstrema funkcji             

 

         

 

 

Zad.3  Dana jest całka       

         

      

 

  

 

  

  Narysuj zbiór 

całkowania D, a następnie przedstaw go jako obszar normalny 
względem osi OX i osi OY. 
Zad.4 Oblicz objętość bryły V ograniczonej powierzchniami : 

V:  

2

2

2

2

1

,

4

y

x

z

z

y

x













 Wykonaj rysunek. 

Zad. 5 Znajdź rozwiązanie równania   

  

    

 

       

 

     

spełniające warunki  

 

                  

 

B.  
Zad. 1 Oblicz metodą Gaussa rozwiązanie (o ile istnieje) układu 

równań  

               
               

             

  

Zad. 2 Znajdź dziedzinę i pochodne cząstkowe rzędu 
pierwszego funkcji 

y

y

y

x

y

x

y

x

f

2

sin

4

)

1

ln(

)

,

(

2

2

2

















 

Zad. 3 Oblicz 



D

ydxdy

x

2

, gdzie D jest ograniczony krzywymi:   

2

2

,

0

x

x

y

y







. Wykonaj rysunek. 

Zad.4  Oblicz objętość bryły V ograniczonej powierzchniami : 
V:  

2

z

,

13

z

y

x

2

2

2









 Wykonaj rysunek. 

Zad. 5 Znajdź rozwiązanie równania  
 

  

   

 

        

   

 spełniające warunki                      

 
 

C. 
Zad. 1 Oblicz metodą Gaussa rozwiązanie (o ile istnieje) układu 

równań       , gdy 





















































2

1

2

,

1

2

1

2

1

2

1

3

1

B

A

 

Zad.2 Znajdź ekstrema funkcji            

 

   

 

    

 

    

Zad. 3 Oblicz 



D

xydxdy

2

, gdzie zbiór D ograniczony jest 

krzywymi   

2

,

2







x

y

x

y

 Wykonaj rysunek. 

Zad.4 Oblicz objętość bryły V ograniczonej powierzchniami : 
V:  

2

,

5

2

2

2









z

z

y

x

 Wykonaj rysunek. 

Zad. 5 Oblicz rozwiązanie szczególne równania  
      

 

         spełniające warunek    

 
 

      

 
 

D. 
Zad. 1 Oblicz metodą Gaussa rozwiązanie (o ile istnieje) układu 

równań       , gdy 





















































1

1

3

,

1

1

2

2

1

1

2

3

1

B

A

 

Zad.2 Znajdź dziedzinę i pochodne cząstkowe rzędu 
pierwszego funkcji 





2

2

2

y

x

y

4

ln

)

1

y

3

(

1

x

2

)

y

,

x

(

f















 

Zad. 3 Oblicz 





D

2

2

dxdy

)

y

x

sin(

, gdzie D jest ograniczony 

krzywymi:  

0

y

,

x

y

,

3

y

x

,

2

y

x

2

2

2

2













 

Zad. 4 Oblicz całkę 



V

dxdydz

, gdzie 

2

2

2

,

1

:

y

x

z

z

V











 

Wykonaj rysunek. 
Zad. 5 Oblicz rozwiązanie szczególne równania 
  

 

                   spełniające warunek