MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

1

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

4.1. Wiadomości podstawowe

W   niniejszym   rozdziale   zapoznamy   się   z   wyznaczaniem   sił   przekrojowych   w   płaskich   układach 

prętowych pominąwszy kratownice płaskie omówione w rozdziale 3. Omówimy więc rozwiązywanie belek i 
ram płaskich. Z definicją belki i ramy płaskiej zapoznaliśmy się w rozdziale 1. W rozdziale tym poznaliśmy 
także rodzaje podpór tych układów prętowych oraz ich analizę kinematyczną. W rozdziale 2 poznaliśmy siły 
bierne czyli reakcje działające na poszczególnych typach podpór oraz sposoby ich wyznaczania czyli analizę 
statyczną.

4.2. Obciążenia belek i ram płaskich

Pierwszym typem obciążenia działającego na belkę lub ramę płaską jest siła skupiona nazywana dalej 

po prostu siłą. Działania na siłach zostały omówione w rozdziale 2. Jednostką siły w układzie SI jest Niuton 
[N]. Tutaj będziemy się posługiwali jej wielokrotnością czyli kN. Przykładem siły działającej na belkę lub 
ramę płaską jest reakcja. 

Drugim   rodzajem   obciążenia   działającego   na   belkę   lub   ramę   płaską   jest  moment   skupiony. 

Statycznie odpowiada on parze sił, którą omówiliśmy w rozdziale 2. Para ta jest przyłożona w tym samym 
punkcie co moment skupiony. Obciążenie to przedstawia rysunek 4.1. i 4.2. Jak więc widać siła wypadkowa 
z takiego obciążenia wynosi zero natomiast wartość momentu pary sił względem dowolnego punktu jest 
stała i równa się wartości momentu skupionego. Jednostką tego obciążenia w układzie SI jest Nm. Tutaj 
będziemy się posługiwali wielokrotnością czyli kNm.

M

P

P

a)

b)

Rys. 4.1. Moment skupiony przeciwny do ruchu wskazówek zegara. a) wektor momentu skupionego, b) statycznie 

równoważna para sił

a)

P

P

b)

M

Rys. 4.2. Moment skupiony zgodny z ruchem wskazówek zegara. a) wektor momentu skupionego, b) statycznie 

równoważna para sił

Trzecim,   i   ostatnim   rodzajem,   obciążenia   działającego   na   belkę   lub   ramę   płaską   jest  obciążenie 

ciągłe.   W   przeciwieństwie   do   obciążeń   przedstawionych   powyżej,   które   były   przyłożone   w   ściśle 
określonym   punkcie   belki   lub   ramy   płaskiej,   obciążenie   ciągłe   jest   rozłożone   na   długości   pewnego 
przedziału.   Jednostką   tego   typu   obciążenia   w   układzie   SI   jest   N/m.   Tutaj   będziemy   się   posługiwali 
wielokrotnością czyli kN/m. 

Pierwsze   z   nich  obciążenie   ciągłe   równomiernie   rozłożone   prostopadłe   do   osi   pręta  jest 

najczęściej występującym obciążeniem ciągłym w belkach i ramach płaskich. Charakteryzuje ono się tym, 
że jego wartość na długości całego przedziału jest stała. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

2

Drugi typ obciążenia ciągłego omawianego w niniejszym opracowaniu to obciążenie ciągłe liniowe 

prostopadłe do osi pręta. Charakteryzuje ono się tym, że zmienia się ono liniowo na długości przedziału, w 
którym działa. Obciążenie  to będzie więc liniową  funkcją  zmiennej   x, która oznacza nam współrzędną 
punktu na długości pręta, w którym wyznaczamy wartość obciążenia ciągłego liniowego.

W przypadku  belek  i  rygli   ram  płaskich,  czyli  prętów,   które   są   poziome,  będziemy  rozpatrywali 

obciążenia ciągłe pionowe. Obciążenia te są prostopadłe do osi pręta. Rysunek 4.3 przedstawia obciążenie 
ciągłe równomiernie rozłożone działające na pręcie belki lub rygla ramy płaskiej. Jak widać ma ono postać 
prostokąta.  Jako dodatnie będziemy przyjmowali obciążenie działające w dół. Obciążenie to możemy 
zastąpić statycznie równoważną siłą wypadkową. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone działa w 
przedziale o długości L to wartość siły wypadkowej z tego obciążenia równa się polu prostokąta, czyli 
wynosi

W

=

q

⋅

L

.

(4.1)

Położenie siły wypadkowej przedstawia rysunek 4.3 b). Jeżeli obciążenie q działałoby do góry, czyli byłoby 
ujemne, to oczywiście także i siła wypadkowa W działałaby do góry.

a)

q

W

L

L
2

L
2

b)

Rys. 4.3. Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone. a) oznaczenie obciążenia, b) statycznie równoważna siła 

wypadkowa

q

1

L

q

2

X

x

q(x)

Rys. 4.4. Obciążenie ciągłe liniowe

Rysunek 4.4 przedstawia pręt belki lub rygla ramy płaskiej z obciążeniem ciągłym liniowym. Z osią 

pręta pokrywa się oś X, której początek znajduje się w lewym końcu przedziału. Jak więc widać obciążenie 
ciągłe liniowe jest funkcją liniową zależną od zmiennej x. Funkcja ta ma postać

q



x



=

q

2

−

q

1

L

⋅

x



q

1

.

(4.2)

Do funkcji (4.2) wartości q

1

 oraz q

2

 podstawiamy oczywiście z odpowiednim znakiem. Jeżeli q

1

 lub q

2

 działa 

w dół to z plusem jeżeli do góry to z minusem. 

Najprostszym  przypadkiem   obciążenia   liniowego  jest  obciążenie   ciągłe   trójkątne.   Jak   widać   na 

rysunkach 4.5 i 4.6 ma ono formę trójkąta prostokątnego. Obciążenie to może rosnąć lub maleć począwszy 
od lewego końca przedziału. Możemy je zastąpić statycznie równoważną siłą wypadkową. Jeżeli obciążenie 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

3

ciągłe trójkątne działa w przedziale o długości L to wartość siły wypadkowej z tego obciążenia równa się 
polu trójkąta prostokątnego, czyli wynosi

W

=

1
2

⋅q⋅L

.

(4.3)

Położenie siły wypadkowej przedstawiają rysunki 4.5 b) i 4.6 b).

L

q

L
3

2

3

⋅L

W

a)

b)

Rys. 4.5. Obciążenie ciągłe trójkątne. a) oznaczenie obciążenia, b) statycznie równoważna siła wypadkowa

L

q

L
3

2

3

⋅L

W

a)

b)

Rys. 4.6. Obciążenie ciągłe trójkątne. a) oznaczenie obciążenia, b) statycznie równoważna siła wypadkowa

W   przypadku   obciążenia   ciągłego   trójkątnego   rosnącego   przedstawionego   na   rysunku   4.7   postać 

funkcji liniowej otrzymamy podstawiając do (4.2) q

1

  równe zero natomiast q

2

  równe q. Otrzymamy więc 

funkcję liniową w postaci

q



x



=

q
L

⋅

x

.

(4.4)

W przypadku obciążenia ciągłego trójkątnego malejącego przedstawionego na rysunku 4.8 postać 

funkcji liniowej otrzymamy podstawiając do (4.2) q

1

  równe q natomiast q

2

  równe zero. Otrzymamy więc 

funkcję liniową w postaci

q



x



=−

q

L

⋅xq

,

(4.5)

którą możemy zapisać jako

q



x



=

q
L

⋅



L

−

x



.

(4.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

4

L

q

X

x

q(x)

Rys. 4.7. Obciążenie ciągłe trójkątne rosnące

L

q

X

x

q(x)

Rys. 4.8. Obciążenie ciągłe trójkątne malejące

q

1

L

q

2

q

1

L

L

q

2

a)

b)

c)

W

1

W

2

L
3

2

3⋅

L

L
3

2

3⋅

L

Rys. 4.9. Obciążenie ciągłe liniowe. a) oznaczenie obciążenia, b) składowe obciążenia ciągłe trójkątne, c) statycznie 

równoważne siły wypadkowe

Dowolne obciążenie liniowe możemy także zastąpić statycznie równoważną siłą wypadkową. W tym 

celu   obciążenie   to   zastępujemy   dwoma   obciążeniami   ciągłymi   trójkątnymi.   Rysunek   4.9   przedstawia 
dowolne   obciążenie   ciągłe   liniowe,   w   którym   q

1

  oraz   q

2

  działają   w   dół   czyli   są   dodatnie.   Pierwsze 

obciążenie ciągłe trójkątne powstaje poprzez połączenie wartości q

1

 z lewej strony z zerem z prawej strony. 

Wypadkowa z tego obciążenia ma wartość

W

1

=

1
2

⋅

q

1

⋅

L

.

(4.7)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

5

Położenie tej  siły wypadkowej przedstawia rysunek 4.9 c). Drugie  obciążenie ciągłe trójkątne powstaje 
poprzez połączenie wartości q

2

 z prawej strony z zerem z lewej strony. Wypadkowa z tego obciążenia ma 

wartość

W

2

=

1
2

⋅q

2

⋅L

.

(4.8)

Położenie tej siły wypadkowej przedstawia rysunek 4.9 c). Jeżeli wartości obciążenia ciągłego liniowego q

1 

oraz q

2

 byłyby ujemne czyli obciążenie to działałoby do góry to obie wypadkowe  W

1

 oraz  W

2

 działałyby 

także do góry.

q

1

L

q

2

q

1

L

L

q

2

a)

b)

c)

W

1

W

2

L
3

2

3⋅

L

L
3

2

3⋅

L

Rys. 4.10. Obciążenie ciągłe liniowe przewinięte. a) oznaczenie obciążenia, b) składowe obciążenia ciągłe trójkątne, c) 

statycznie równoważne siły wypadkowe

Rysunek 4.10 przedstawia obciążenie ciągłe liniowe przewinięte. Jak widać wartości tego obciążenia 

na obu końcach przedziału mają różne znaki. Rozkład tego obciążenia ciągłego na dwa obciążenia ciągłe 
trójkątne   przedstawia   rysunek   4.10   b).   Statycznie   równoważne   siły   wypadkowe   przedstawia   natomiast 
rysunek 4.10 c). Siły wypadkowe W

1

 oraz W

2

 wyznaczymy ze wzorów (4.7) i (4.8).

W   przypadku   słupów   ram   płaskich   będziemy   rozpatrywać   tylko   obciążenie   ciągłe   równomiernie 

rozłożone dwóch typów.

Pierwszym z nich będzie obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi słupa. Będzie 

to obciążenie takie samo jak w przypadku belek i rygli ram płaskich omówione powyżej. Rysunek 4.11 
przedstawia ten typ obciążenia ciągłego działającego na słup. Jak widać na rysunku 4.11 b) obciążenie to 
możemy zastąpić siłą wypadkową, której wartość wyznaczymy ze wzoru (4.1). Siła ta ma zwrot taki sam jak 
zwrot obciążenia q. Zasada znakowania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego będzie taka sama jak 
dla belek i rygli ram płaskich. Musimy jednak precyzyjnie określić dolną część pręta. W przypadku słupów 
rozpatrywanych   w   niniejszym   opracowaniu   oraz   dołączonych   przykładach   dolną   część   słupa 
przyjmiemy po jego prawej stronie. Obciążenie q przedstawione na rysunku 4.11 będzie obciążeniem 
działającym w dół. Będziemy więc traktować je jako dodatnie. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

6

a)

q

W

L

L

2

L

2

b)

c)

q

x

X

d)

q

x

X

Rys. 4.11. Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi słupa. a) schemat obciążenia. b) siła 

wypadkowa, c) dodatnie obciążenie q, d) dodatnie obciążenie q.

a)

h

W

L

b)

c)

h

x

X

d)

h

x

X

Rys. 4.12. Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do osi słupa. a) schemat obciążenia. b) siła 

wypadkowa, c) dodatnie obciążenie h, d) dodatnie obciążenie h.

Drugim typem obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego będzie obciążenie równoległe do osi 

słupa. Rysunek 4.12 przedstawia ten typ obciążenia ciągłego działającego na słup. Jak widać na rysunku 
4.12 b) obciążenie to możemy zastąpić siłą wypadkową, której wartość wyznaczymy ze wzoru 

W

=

h

⋅

L

.

(4.9)

Siła ta ma zwrot taki sam jak zwrot obciążenia h. W obliczeniach nie ma jednak znaczenia punkt przyłożenia 
tej   siły.   Będzie   ona   przyłożona   w   dowolnym   punkcie   przedziału,   w   którym   działa   obciążenie   ciągłe 
równomiernie rozłożone równoległe do osi słupa. Dodatnie obciążenie ciągłe h będzie miało zwrot zgodny 
ze zwrotem osi X związanej ze słupem. Rysunki 4.12 c) i d) przedstawiają więc dodatnie obciążenie h.

Pozostało   nam   do   omówienia   obciążenie   ciągłe   działające   na   pręcie   ukośnym   ramy   płaskiej.  W 

niniejszym opracowaniu będziemy przyjmować tylko obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone. 

Pierwszy rodzaj tego obciążenia ciągłego to obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości 

pręta ukośnego. Przedstawiają  je  rysunki 4.13 a) i 4.14 a). Obciążenie to możemy zastąpić statycznie 
równoważną siłą wypadkową o wartości 

W

=

p

⋅

L

.

(4.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

7

p

L

X

L

Y

- L

 -

W

L

Y

- L

 -

L

X

2

L

X

2

a)

b)

Rys. 4.13. Pionowe obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego. a) schemat obciążenia, b) 

siła wypadkowa

p

L

X

L

Y

- L

 -

W

- L

 -

a)

b)

L

X

L

Y

2

L

Y

2

Rys. 4.14. Poziome obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego. a) schemat obciążenia, b) 

siła wypadkowa

Położenie siły wypadkowej przedstawiają rysunki 4.13 b) i 4.14 b). Jak widać  siła wypadkowa działa w 
połowie rzutu poziomego lub pionowego pręta ukośnego. 

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego możemy rozłożyć na dwie 

składowe: prostopadłą  i  równoległą  do osi  tego pręta.  Zgodnie  z rysunkiem 4.15  wartość  bezwzględna 
obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi tego pręta wynosi

∣

q

∣

=

∣

p

∣

⋅

cos







.

(4.11)

Natomiast wartość bezwzględna obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego równoległego do osi tego 
pręta wynosi

∣

h

∣

=

∣

p

∣

⋅sin







.

(4.12)

We wzorach (4.11) i (4.12) 

α

 oznacza kąt nachylenia pręta ukośnego do poziomu.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

8

p

- x

 -

X

- x

 -

X

α

α

α

α

α

α

p

q

h

q

h

x

⋅cos







x

⋅cos







x⋅

sin







x⋅

sin







Rys. 4.15. Rozkład pionowego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości pręta ukośnego na składową 

prostopadłą i równoległą do osi tego pręta

X

- x

 -

X

α

α

α

α

α

p

q

h

q

h

p

- x

 -

α

x

⋅cos







x⋅

sin







x

⋅cos







x⋅

sin







Rys. 4.16. Rozkład poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości pręta ukośnego na składową 

prostopadłą i równoległą do osi tego pręta

Znak   poszczególnych   obciążeń   ciągłych   ustalamy,   na   postawie   znanych   już   zasad   znakowania, 

indywidualnie   w   każdym   przypadku   położenia   pręta   ukośnego   oraz   działającego   na   niego   obciążenia 
ciągłego p. Na rysunku 4.15 obciążenie ciągłe q jest dodatnie natomiast obciążenie ciągłe h jest ujemne. Na 
rysunku 4.16 oba obciążenia ciągłe q i h są dodatnie. 

Drugim   rodzajem   obciążenia   ciągłego   działającego   na   pręt   ukośny   jest  obciążenie   ciągłe 

równomiernie rozłożone na rzut poziomy lub pionowy pręta ukośnego. Rysunek 4.17 a) przedstawia 
pionowe   obciążenie   ciągłe   rozłożone  na   długości  rzutu poziomego pręta   ukośnego. Zgodnie   z  nim siła 
wypadkowa z tego obciążenia wynosi

W

=

p

⋅

L

X

,

(4.13)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

9

p

L

X

L

Y

- L

 -

W

L

Y

- L

 -

L

X

2

L

X

2

a)

b)

Rys. 4.17. Pionowe obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu poziomego pręta ukośnego. a) schemat 

obciążenia, b) siła wypadkowa

w   którym   L

X

  oznacza   długość   rzutu   poziomego   tego   pręta   ukośnego.   Położenie   siły   wypadkowej 

przedstawia rysunek 4.17 b). Jak widać  siła wypadkowa działa w połowie rzutu poziomego tego pręta 
ukośnego. 

p

L

X

L

Y

- L

 -

W

- L

 -

a)

b)

L

X

L

Y

2

L

Y

2

Rys. 4.18. Poziome obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu pionowego pręta ukośnego. a) schemat 

obciążenia, b) siła wypadkowa

Rysunek 4.18 a) przedstawia poziome obciążenie ciągłe rozłożone na długości rzutu pionowego pręta 

ukośnego. Zgodnie z nim siła wypadkowa z tego obciążenia wynosi

W

= p⋅L

Y

.

(4.14)

Położenie siły wypadkowej przedstawia rysunek 4.18 b). Jak widać  siła wypadkowa działa w połowie 
rzutu pionowego tego pręta ukośnego. 

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu pręta ukośnego będziemy zastępowali 

statycznie równoważnym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości tego pręta. Rysunek 
4.19 a) przedstawia pionowe obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu poziomego pręta 
ukośnego natomiast rysunek 4.19 b) statycznie równoważne obciążenie ciągłe rozłożone na długości tego 
pręta ukośnego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

10

p

L

X

L

Y

- L

 -

a)

p'

L

X

L

Y

- L

 -

b)

Rys. 4.19. Pionowe obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu poziomego pręta ukośnego. a) schemat 

obciążenia. b) statycznie równoważne obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego

Siły wypadkowe z obu obciążeń muszą być sobie równe. Możemy więc zapisać

∣

p

∣

⋅

L

X

=

∣

p '

∣

⋅

L

.

(4.15)

Wartość bezwzględna zastępczego pionowego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości 
pręta ukośnego wynosi więc

∣

p'

∣

=

∣

p

∣

⋅L

X

L

.

(4.16)

p

L

X

L

Y

- L

 -

a)

p'

L

X

L

Y

- L

 -

b)

Rys. 4.20. Poziome obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu pionowego pręta ukośnego. a) schemat 

obciążenia. b) statycznie równoważne obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego

Rysunek 4.20 a) przedstawia poziome obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości rzutu 

pionowego   pręta   ukośnego   natomiast   rysunek   4.20   b)   statycznie   równoważne   obciążenie   ciągłe 
równomiernie rozłożone na długości tego pręta ukośnego. Siły wypadkowe z obu obciążeń muszą być sobie 
równe. Możemy więc zapisać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

11

∣

p

∣

⋅L

Y

=

∣

p'

∣

⋅L

.

(4.17)

Wartość bezwzględna zastępczego poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości 
pręta ukośnego wynosi więc

∣

p '

∣

=

∣

p

∣

⋅L

Y

L

.

(4.18)

4.3. Siły przekrojowe

Rysunek 4.21 przedstawia przykładową ramę płaską, w której siły czynne i bierne (reakcje) znajdują 

się w równowadze.

8,0 kN/m

2,

0 

kN

/m

2,0

2,0

2,

0

[m]

12,0 kN/m

9,0 kN

7,0 kN

8,0 kN/m

Rys. 4.21. Siły czynne i bierne działające na ramę płaską będące w równowadze

Przetnijmy   ramę   płaską   w   dowolnym   miejscu.   Otrzymamy   w   ten   sposób   dwie   części   ramy 

przedstawione  na  rysunku 4.22. Jak łatwo sprawdzić  obie  części  nie  znajdują  się  w równowadze.  Aby 
równowaga była zachowana w przekroju pręta w miejscu przecięcia ramy płaskiej muszą działać dodatkowe 
siły. Siły te nazywamy siłami przekrojowymi. Siły przekrojowe przedstawia rysunek 4.23. Jak widać siły 
przekrojowe są funkcjami zależnymi od zmiennej x, która określa nam położenie miejsca, w którym 
je wyznaczamy. W przypadku płaskich układów prętowych w przekroju pręta działają trzy siły przekrjowe.

Pierwszą siła przekrojową jest siła normalna N, którą poznaliśmy już przy okazji kratownic płaskich. 

Jak wiadomo  jest ona dodatnia, jeżeli powoduje rozciągnięcie (wydłużenie) pręta. Dodatnią i ujemną 
siłę normalną przedstawia rysunek 4.24.

Drugą   siłą   przekrojową   jest  siła   poprzeczna  nazywana   niekiedy  siłą   tnącą.   W   niniejszym 

opracowaniu będziemy używali nazwy siła poprzeczna.  Siła poprzeczna będzie dodatnia, jeżeli będzie 
kręciła odciętą częścią pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Punktem obrotu będzie przeciwny 
koniec części pręta. Rysunek 4.25 przedstawia dodatnią i ujemną siłę poprzeczną.

Ostatnią siłą przekrojową jest  moment zginający, który rozumiemy jako moment pary sił. Jedna z 

tych sił powoduje rozciąganie części przekroju pręta druga natomiast powoduje ściskanie pozostałej części 
przekroju pręta. Moment zginający, który rozciąga dolną i górną część przekroju pręta przedstawia rysunek 
4.26.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

12

8,0 kN/m

2,

0 

kN

/m

2,0

x

12,0 kN/m

7,0 kN/m

2,0-x

2,

0

[m]

9,0 kN/m

8,0 kN/m

Rys. 4.22. Dwie części przeciętej ramy płaskiej

8,0 kN/m

2,

0 

kN

/m

2,0

x

12,0 kN/m

7,0 kN/m

2,0-x

2,

0

[m]

9,0 kN/m

8,0 kN/m

N(x)

N(x)

T(x)

T(x)

M(x)

M(x)

Rys. 4.23. Siły przekrojowe

N

N

N

N

a)

b)

Rys. 4.24. Siła normalna. a) dodatnia, b) ujemna

Jako dodatni moment zginający będziemy przyjmowali moment, który rozciąga dolną część przekroju 

pręta. W przypadku prętów pionowych będziemy przyjmować, że dolna część pręta jest jego prawą częścią. 
Znaków momentu zginającego nie będziemy pisali na wykresie. Przyjmiemy tylko, że  wykresy funkcji 
momentu zginającego będziemy rysowali po stronie rozciąganej. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

13

T

a)

b)

T

T

T

Rys. 4.25. Siła poprzeczna. a) dodatnia, b) ujemna

M

M

S

S

S

S

a)

b)

Rys. 4.26. Moment zginający. a) rozciągający dolną część przekroju pręta, b) rozciągający górną część przekroju pręta

4.4. Równania różniczkowe równowagi

Okazuje   się,   że   pomiędzy:   funkcjami   obciążenia   ciągłego   q   i   h   oraz   funkcjami   siły   normalnej, 

poprzecznej   i   momentu   zginającego   istnieją   pewne   zależności   nazywane  różniczkowymi   równaniami 
równowagi. Równań tych jest trzy. Rysunek 4.27 przedstawia część pręta, w którym oś X zwrócona jest w 
prawą stronę, obciążoną obciążeniem ciągłym prostopadłym i równoległym do osi pręta. Oba obciążenia są 
dodatnie. 

q(x)

h(x)

X

N(x)

T(x)

M(x)

x

Rys. 4.27. Oś pręta zwrócona w prawą stronę

Pierwsze równanie różniczkowe równowagi ma postać

dN



x



dx

=−

h



x



(4.19)

i opisuje zależność pomiędzy funkcją obciążenia ciągłego równoległego do osi pręta a siłą normalną w tym 
pręcie.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

14

Drugie równanie różniczkowe równowagi ma postać

dT



x



dx

=−q



x



(4.20)

i opisuje zależność pomiędzy funkcją obciążenia ciągłego prostopadłego do osi pręta a siłą poprzeczną w 
tym pręcie.

Trzecie równanie różniczkowe równowagi ma postać

dM



x



dx

=T



x



(4.21)

i opisuje zależność pomiędzy funkcją momentu zginającego a funkcją siły poprzecznej w tym pręcie.

Jak więc widać pochodną funkcji momentu zginającego jest funkcja siły poprzecznej natomiast 

pochodną funkcji siły poprzecznej jest minus funkcja obciążenia ciągłego.

T(x)

M(x)

X

X

O

1

α

1

α

2

T

1

T

2

M

EXT

M

1

q(x)

X

q=const.

M

2

Rys. 4.28. Wykresy obciążenia ciągłego, siły poprzecznej i momentu zginającego

Rysunek 4.28 przedstawia przykładowe wykresy obciążenia ciągłego prostopadłego do osi pręta, siły 

poprzecznej   i   momentu   zginającego   spełniające   równania   (4.20)   i   (4.21).   Zwrot   osi   M(x)   jest   w   dół, 
ponieważ dodatni moment rozciąga dolną  część przekroju pręta. W  miejscu, w którym siła  poprzeczna 
posiada miejsce zerowe (punkt O

1

) moment zginający będzie miał ekstremum. Jest to zgodne z warunkiem 

koniecznym istnienia  ekstremum funkcji.  Zgodnie z interpretacją  pochodnej  funkcji  w punkcie  wartość 
tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji momentu zginającego 

α

1

 wynosi

tg





1



=

T

1

.

(4.22)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

15

Wartość tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji momentu zginającego 

α

2

 wynosi

tg





2



=T

2

.

(4.23)

Kąt 

α

1

 jest dodatni, ponieważ kręci on od osi X do osi M(x) natomiast kąt 

α

2

 jest ujemny, ponieważ kręci on 

od osi M(x) do osi X.

q(x)

T(x)

M(x)

X

X

X

O

1

O

2

O

3

α

1

α

2

q

1

q

2

T

EXT

M

EXT1

M

EXT2

T

3

α

3

T

1

α

4

T

2

Rys. 4.29. Wykresy obciążenia ciągłego, siły poprzecznej i momentu zginającego

Rysunek 4.29 przedstawia przykładowe wykresy obciążenia ciągłego prostopadłego do osi pręta, siły 

poprzecznej i momentu zginającego spełniające równania (4.20) i (4.21). W miejscu, w którym funkcja 
obciążenia ciągłego posiada miejsce zerowe (punkt O

1

) siła poprzeczna będzie miała ekstremum. W miejscu, 

w   którym   funkcja   siły   poprzecznej   posiada   miejsce   zerowe   (punkty   O

2

  oraz   O

3

)   funkcja   momentu 

zginającego będzie miała ekstrema. Wartość tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji siły poprzecznej 

α

1

 wynosi

tg





1



=−q

1

.

(4.24)

Wartość tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji siły poprzecznej 

α

2

 wynosi

tg





2



=−q

2

.

(4.25)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

16

Wartość tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji momentu zginającego 

α

3

 wynosi

tg





3



=T

3

.

(4.26)

Wartość tangensa kąta nachylenia stycznej do funkcji momentu zginającego 

α

4

 wynosi

tg





4



=T

4

.

(4.27)

Kąt 

α

1

 jest ujemny, ponieważ kręci on od osi T(x) do osi X natomiast kąt 

α

2

 jest dodatni, ponieważ kręci on 

od osi X do osi T(x). Kąt  

α

3

  jest dodatni, ponieważ kręci on od osi X do osi M(x) natomiast kąt  

α

4

  jest 

ujemny, ponieważ kręci on od osi M(x) do osi X.

W niniejszym opracowaniu rozważamy obciążenia ciągłe prostopadłe do osi pręta zerowe, stałe oraz 

liniowe. Tabela 1 przedstawia postacie funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego w zależności od 
postaci obciążenia ciągłego. 

Tabela 1. Funkcje siły poprzecznej oraz momentu zginającego w zależności od funkcji obciążenia ciągłego.

Funkcja

Przypadek 1

Przypadek 2

Przypadek 3

Przypadek 4

q(x)

0

0

const. (≠0)

liniowa

T(x)

0

const. (≠0)

liniowa

kwadratowa

M(X)

const. (≠0)

liniowa

kwadratowa

wielomian 3 stopnia

Opisane powyżej różniczkowe równania równowagi będą najczęściej stosowane. Jednak nie zawsze 

oś X musi być zwrócona w prawo. Rysunek 4.30 przedstawia sytuację, kiedy oś X jest zwrócona w lewo.

q(x)

h(x)

X

N(x)

T(x)

M(x)

x

Rys. 4.30. Oś pręta zwrócona w lewą stronę

Równania różniczkowe równowagi w przypadku pręta, w którym oś X jest zwrócona w lewą stroną 

będą miały następującą postać

dN



x



dx

=−

h



x



,

(4.28)

dT



x



dx

=q



x



,

(4.29)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

17

dM



x



dx

=−T



x



.

(4.30)

4.5. Metoda ogólna wyznaczania funkcji sił przekrojowych

Metoda ogólna wyznaczania funkcji sił przekrojowych polega na przecięciu belki lub ramy płaskiej w 

dowolnym   punkcie   przedziału   w   odległości   x   od   jednego   z   jego   końców   i   rozpatrywaniu   równowagi 
wszystkich sił działających na odciętą część. Punktami granicznymi przedziałów są: punkty przyłożenia sił 
skupionych (sił czynnych i reakcji), punkty przyłożenia momentów skupionych, punkty, w których zaczyna 
się i kończy obciążenie ciągłe.

Siłę normalną wyznacza się z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą 

część belki lub ramy płaskiej na kierunek tej siły.

Siłę poprzeczną wyznacza się z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą 

część belki lub ramy płaskiej na kierunek tej siły.

Moment zginający wyznacza się z równania sumy momentów wszystkich sił działających na 

odciętą część belki lub ramy płaskiej względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.

Rysunek   4.31   przedstawia   przykładową   belkę   z   działającymi   na   nią   siłami   czynnymi   i   biernymi 

(reakcjami) będącymi w równowadze. Belkę dzielimy na dwa przedziały AB i BC.

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

Rys. 4.31. Belka

Aby  wyznaczyć   siły  przekrojowe   w   przedziale  AB   przecinamy  belkę   w  dowolnym  punkcie   tego 

przedziału. Odciętą lewą część belki z osią X skierowaną w prawą stronę przedstawia rysunek 4.32.

q

A

V

A

x

M(x)

X

N(x)

T(x)

Rys. 4.32. Odcięta lewa część belki w przedziale AB

Jak widać na rysunku 4.32 siła normalna w przedziale AB wynosi zero. Siłę poprzeczną w przedziale 

AB wyznaczymy z równania równowagi

 T

=

T



x



−

V

A



q

⋅

x

=

0

.

(4.31)

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej w przedziale AB ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

18

T



x



=

V

A

−

q

⋅

x

.

(4.32)

Funkcję momentu zginającego w przedziale AB wyznaczymy z równania równowagi

 M

=−

M



x





V

A

⋅

x

−

q

⋅

x

⋅

x

2

=

0

.

(4.33)

Ostatecznie funkcje momentu zginającego w przedziale AB ma postać

M



x



=V

A

⋅x−

q

⋅x

2

2

.

(4.34)

Drugie różniczkowe równanie równowagi (4.20) w przypadku części belki na rysunku 4.32 będzie 

miało postać

dT



x



dx

=−

q

.

(4.35)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi (4.21) będzie miało postać

dM



x



dx

=V

A

−q⋅x=T



x



.

(4.36)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   poprzecznej   (4.32)   i   momentu   zginającego   (4.34)   spełniają   różniczkowe 
równania równowagi.

Siły przekrojowe w przedziale AB możemy wyznaczyć także rozpatrując równowagę prawej części 

belki przedstawionej na rysunku 4.33. Oś X jest w tym przypadku zwrócona w lewo.

q

P

B

C

V

B

x

b

X

M(x)

N(x)

T(x)

Rys. 4.33. Odcięta prawa część belki w przedziale AB

Siłę poprzeczną w przedziale AB wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



V

B

−q⋅x−P=0

.

(4.37)

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej w przedziale AB ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

19

T



x



=−V

B

q⋅xP

.

(4.38)

Funkcję momentu zginającego w przedziale AB wyznaczymy z równania równowagi

 M =M



x



−V

B

⋅xq⋅x⋅

x

2

P⋅



x

b



=0

.

(4.39)

Ostatecznie funkcje momentu zginającego w przedziale AB ma postać

M



x



=V

B

⋅x−q⋅x⋅

x

2

−P⋅



x

b



.

(4.40)

Drugie różniczkowe równanie równowagi (4.29) w przypadku części belki na rysunku 4.33 będzie 

miało postać

dT



x



dx

=q

.

(4.41)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi (4.30) będzie miało postać

dM



x



dx

=V

B

−q⋅x−P=−T



x



.

(4.42)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   poprzecznej   (4.38)   i   momentu   zginającego   (4.40)   spełniają   różniczkowe 
równania równowagi dla pręta, w którym oś X jest skierowana w lewo.

Pomimo, że postacie funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego dla obu części belki są różne ich 

wykresy muszą być identyczne. 

Rysunek 4.34 przedstawia odciętą prawą część belki w przedziale BC. Rozpatrywanie lewej części 

belki jest nieefektywne, ponieważ na tą część działa dużo więcej sił i łatwiej o pomyłkę. 

P

C

x

X

M(x)

N(x)

T(x)

Rys. 4.34. Odcięta prawa część belki w przedziale BC

Jak widać na rysunku 4.34 siła normalna w przedziale BC wynosi zero. Siłę poprzeczną w przedziale 

BC wyznaczymy z równania równowagi

 T=T



x



−P =0

.

(4.43)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

20

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej w przedziale BC ma postać

T



x



=P

.

(4.44)

Funkcję momentu zginającego w przedziale BC wyznaczymy z równania równowagi

 M =M



x



P⋅x=0

.

(4.45)

Ostatecznie funkcje momentu zginającego w przedziale AB ma postać

M



x



=−P⋅x

.

(4.46)

Drugie różniczkowe równanie równowagi wynosi w przedziale BC zero. Natomiast trzecie równanie 

ma postać

dM



x



dx

=−P=−T



x



.

(4.47)

Jak więc widać funkcja momentu zginającego (4.46) spełnia różniczkowe równanie równowagi dla pręta, w 
którym oś X jest skierowana w lewo.

Rysunek   4.35   przedstawia   belkę   z   obciążeniem   ciągłym   trójkątnym   rosnącym.   Wszystkie   siły 

działające na tę belkę znajdują się w równowadze.

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

Rys. 4.35. Belka obciążeniem ciągłym trójkątnym rosnącym

Chcąc   wyznaczyć   funkcje   siły   poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale  AB   będziemy 

rozpatrywać równowagę lewej części przedstawionej na rysunku 4.36. Funkcja obciążenia ciągłego, zgodnie 
z (4.4), będzie miała postać

q



x



=

q

⋅x
a

.

(4.48)

Siłę poprzeczną w tym przedziale wyznaczymy z równania równowagi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

21

A

V

A

x

q(x)

M(x)

X

N(x)

T(x)

Rys. 4.36. Lewa część belki w przedziale AB

 T=T



x



−V

A



1

2

⋅q



x



⋅x=0

.

(4.49)

Funkcja siły poprzecznej będzie miała ostatecznie postać.

T



x



=V

A

−

1
2

⋅

q

⋅x
a

⋅x=V

A

−

q

⋅x

2

2

⋅a

.

(4.50)

Funkcję momentu zginającego w przedziale AB wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



V

A

⋅x−

1
2

⋅q



x



⋅x⋅

x
3

=0

.

(4.51)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać.

M



x



=V

A

⋅x−

1
2

⋅

q

⋅x

a

⋅

x

3

=V

A

⋅x−

q

⋅x

3

6

⋅a

.

(4.52)

Drugie różniczkowe równanie równowagi (4.20) w przypadku części belki na rysunku 4.36 będzie 

miało postać

dT



x



dx

=−

q

⋅x

a

=−q



x



.

(4.53)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi (4.21) będzie miało postać

dM



x



dx

=V

A

−

q

⋅x

2

2

⋅a

=T



x



.

(4.54)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   poprzecznej   (4.50)   i   momentu   zginającego   (4.52)   spełniają   różniczkowe 
równania równowagi.

Rysunek   4.37   przedstawia   belkę   z   obciążeniem   ciągłym   trójkątnym   malejącym.   Wszystkie   siły 

działające na tę belkę znajdują się w równowadze.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

22

q

P

A

B

C

V

A

V

B

a

b

Rys. 4.37. Belka obciążeniem ciągłym trójkątnym malejącym

Chcąc   wyznaczyć   funkcje   siły   poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale  AB   będziemy 

rozpatrywać równowagę prawej części przedstawionej na rysunku 4.38. W ten sposób unikniemy obciążenia 
ciągłego będącego trapezem w lewej części tej belki. Funkcję obciążenia ciągłego wyznaczymy ze wzoru 
(4.48).

q(x)

P

B

C

V

B

x

b

X

M(x)

N(x)

T(x)

Rys. 4.38. Prawa część belki w przedziale AB

Siłę poprzeczną w tym przedziale wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



V

B

−P −

1
2

⋅q



x



⋅x=0

.

(4.55)

Funkcja siły poprzecznej będzie miała ostatecznie postać.

T



x



=−V

B

P

1
2

⋅

q

⋅x

a

⋅x=−V

B

P

q

⋅x

2

2

⋅a

.

(4.56)

Funkcję momentu zginającego w przedziale AB wyznaczymy z równania równowagi

 M =M



x



−V

B

⋅xP⋅



x

b





1
2

⋅q



x



⋅x⋅

x

3

=0

.

(4.57)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać.

M



x



=V

B

⋅x−P⋅



x

b



−

1
2

⋅

q

⋅x
a

⋅x⋅

x
3

=V

B

⋅x−P⋅



x

b



−

q

⋅x

3

6

⋅a

.

(4.58)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

23

Drugie różniczkowe równanie równowagi (4.29) w przypadku części belki na rysunku 4.38 będzie 

miało postać

dT



x



dx

=

q

⋅x

a

=q



x



.

(4.59)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi (4.30) będzie miało postać

dM



x



dx

=V

B

−P−

q

⋅x

2

2

⋅a

=−T



x



.

(4.60)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   poprzecznej   (4.56)   i   momentu   zginającego   (4.58)   spełniają   różniczkowe 
równania równowagi dla pręta, w którym oś X jest skierowana w lewo.

h

X

M(x)

N(x)

T(x)

q

A

V

A

H

A

M

A

x

Rys. 4.39. Część słupa ramy płaskiej

Rysunek 4.39 przedstawia wyciętą część słupa ramy płaskiej. Jako dolną część pręta przyjmiemy jego 

prawą część. Na słup działają obciążenia ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe i równoległe do osi 
słupa. Obciążenia te wynoszą

q



x



=

q

,

(4.61)

h



x



=−h

.

(4.62)

Funkcję siły normalnej w słupie wyznaczymy z równania równowagi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

24

 N =N



x



V

A

−h⋅x=0

.

(4.63)

Funkcja ta ma ostatecznie postać

N



x



=−V

A

h⋅x

.

(4.64)

Funkcję siły poprzecznej w słupie wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



−H

A

q⋅x=0

.

(4.65)

Funkcja ta ma ostatecznie postać

T



x



=H

A

−q⋅x

.

(4.66)

Funkcję momentu zginającego w słupie wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



H

A

⋅x−q⋅x⋅

x

2

M

A

=0

.

(4.67)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego ma postać

M



x



=H

A

⋅x−

q

⋅x

2

2

M

A

.

(4.68)

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dN



x



dx

=h=−h



x



.

(4.69)

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−q=−q



x



.

(4.70)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=H

A

−q⋅x=T



x



.

(4.71)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

25

Jak   więc   widać   funkcje   siły   normalnej   (4.64),   siły   poprzecznej   (4.66)   i   momentu   zginającego   (4.68) 
spełniają różniczkowe równania równowagi.

p

- x

 -

X

α

α

α

α

α

α

p

q

h

x

⋅cos







x⋅

sin







V

A

H

A

M

A

α

V

A

H

A

α

M

(x

)

N(

x)

T(

x)

W

x

⋅cos







2

x

⋅cos







2

α

W

Rys. 4.40. Pręt ukośny z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości pręta

Rysunek 4.40 przedstawia pręt ukośny z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym 

na długości tego pręta. Obciążenie to możemy rozłożyć na obciążenie prostopadłe i równoległe do osi pręta 
ukośnego. Zgodnie z rysunkiem 4.40 obciążenia te wynoszą

q



x



=

q

=

p

⋅

cos







,

(4.72)

h



x



=h=− p⋅sin







.

(4.73)

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego p wynosi

W

=

p

⋅

x

.

(4.74)

Funkcję siły normalnej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 N

=

N



x





V

A

⋅

sin









H

A

⋅

cos







−

W

⋅

sin







=

0

.

(4.75)

Ostatecznie funkcja siły normalnej będzie miała postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

26

N



x



=−V

A

⋅sin







−H

A

⋅cos







 p⋅x⋅sin







.

(4.76)

Funkcję siły poprzecznej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



−V

A

⋅cos







H

A

⋅sin







W⋅cos







=0

.

(4.77)

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej będzie miała postać

T



x



=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅cos







.

(4.78)

Funkcję momentu zginającego w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−W⋅

x

⋅cos







2

M

A

=0

.

(4.79)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać

M



x



=V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−

p

⋅x

2

⋅cos







2

M

A

.

(4.80)

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dN



x



dx

= p⋅sin







=−h



x



.

(4.81)

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−p⋅cos







=−q



x



.

(4.82)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅cos







=T



x



.

(4.83)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   normalnej   (4.76),   siły   poprzecznej   (4.78)   i   momentu   zginającego   (4.80) 
spełniają różniczkowe równania równowagi.

Rysunek 4.41 przedstawia pręt ukośny z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym 

na długości tego pręta. Obciążenie to możemy rozłożyć na obciążenie prostopadłe i równoległe do osi pręta 
ukośnego. Zgodnie z rysunkiem 4.41 obciążenia te wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

27

X

α

α

α

α

α

p

q

h

p

- x

 -

α

x

⋅cos







x⋅

sin







V

A

H

A

M

A

M

(x

)

N(

x)

T(

x)

W

α

V

A

H

A

α

x⋅

sin







2

x⋅

sin







2

α

W

Rys. 4.41. Pręt ukośny z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości pręta

q



x



=q= p⋅sin







,

(4.84)

h



x



=h= p⋅cos







.

(4.85)

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego p wynosi

W

=

p

⋅

x

.

(4.86)

Funkcję siły normalnej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 N =N



x



V

A

⋅sin







H

A

⋅cos







W⋅cos







=0

.

(4.87)

Ostatecznie funkcja siły normalnej będzie miała postać

N



x



=−V

A

⋅sin







−H

A

⋅cos







− p⋅x⋅cos







.

(4.88)

Funkcję siły poprzecznej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



−V

A

⋅cos







H

A

⋅sin







W⋅sin







=0

.

(4.89)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

28

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej będzie miała postać

T



x



=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅sin







.

(4.90)

Funkcję momentu zginającego w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−W⋅

x

⋅sin







2

M

A

=0

.

(4.91)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać

M



x



=V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−

p

⋅x

2

⋅sin







2

M

A

.

(4.92)

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dN



x



dx

=− p⋅cos







=−h



x



.

(4.93)

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−p⋅sin







=−q



x



.

(4.94)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅sin







=T



x



.

(4.95)

Jak   więc   widać   funkcje   siły   normalnej   (4.88),   siły   poprzecznej   (4.90)   i   momentu   zginającego   (4.92) 
spełniają różniczkowe równania równowagi.

Rysunek 4.42 przedstawia pręt ukośny z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym 

na długości rzutu poziomego tego pręta. Zastępcze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości 
pręta ukośnego wyznaczymy porównując siły wypadkowe z obu typów obciążenia ciągłego. Otrzymamy 
zależność

p

⋅

x

⋅

cos







=

p '

⋅

x

,

(4.96)

w którym z lewej strony mamy siłę wypadkową z obciążenia ciągłego rozłożonego na długości rzutu pręta, z 
prawej   natomiast   siłę   wypadkową   z   zastępczego   obciążenia   ciągłego   rozłożonego   na   długości   pręta 
ukośnego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

29

p

- x

 -

X

α

α

α

α

α

α

p'

q

h

x

⋅cos







x⋅

sin







V

A

H

A

M

A

α

V

A

H

A

α

M

(x

)

N(

x)

T(

x)

W

x

⋅cos







2

x

⋅cos







2

α

W

Rys. 4.42. Pręt ukośny z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości rzutu poziomego pręta

Ostatecznie zastępcze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego wynosi

p '

= p⋅cos







,

(4.97)

Zastępcze obciążenie ciągłe p' możemy rozłożyć na obciążenie prostopadłe i równoległe do osi pręta 

ukośnego. Zgodnie z rysunkiem 4.42 oraz uwzględniając zależność (4.97) obciążenia te wynoszą

q



x



=q= p'⋅cos







= p⋅cos

2







,

(4.98)

h



x



=h=− p'⋅sin







=− p⋅sin







⋅cos







.

(4.99)

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego p wynosi

W

= p⋅x⋅cos







.

(4.100)

Funkcję siły normalnej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 N =N



x



V

A

⋅sin







H

A

⋅cos







−W⋅sin







=0

.

(4.101)

Ostatecznie funkcja siły normalnej będzie miała postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

30

N



x



=−V

A

⋅sin







−H

A

⋅cos







 p⋅x⋅sin







⋅cos







.

(4.102)

Funkcję siły poprzecznej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



−V

A

⋅cos







H

A

⋅sin







W⋅cos







=0

.

(4.103)

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej będzie miała postać

T



x



=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅cos

2







.

(4.104)

Funkcję momentu zginającego w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−W⋅

x

⋅cos







2

M

A

=0

.

(4.105)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać

M



x



=V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−

p

⋅x

2

⋅cos

2







2

M

A

.

(4.106)

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dN



x



dx

= p⋅sin







⋅cos







=−h



x



.

(4.107)

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−p⋅cos

2







=−q



x



.

(4.108)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅cos

2







=T



x



.

(4.109)

Jak więc widać funkcje siły normalnej (4.102), siły poprzecznej (4.104) i momentu zginającego (4.106) 
spełniają różniczkowe równania równowagi.

Rysunek 4.43 przedstawia pręt ukośny z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym 

na długości rzutu pionowego tego pręta. Zastępcze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości 
pręta ukośnego wyznaczymy porównując siły wypadkowe z obu typów obciążenia ciągłego. Otrzymamy 
zależność

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

31

X

α

α

α

α

α

p'

q

h

p

- x

 -

α

x

⋅cos







x⋅

sin







V

A

H

A

M

A

M

(x

)

N(

x)

T(

x)

W

α

V

A

H

A

α

x⋅

sin







2

x⋅

sin







2

α

W

Rys. 4.43. Pręt ukośny z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości rzutu pionowego pręta

p

⋅x⋅sin







= p'⋅x

,

(4.110)

w którym z lewej strony mamy siłę wypadkową z obciążenia ciągłego rozłożonego na długości rzutu pręta, z 
prawej natomiast siłę wypadkową z zastępczego obciążenia ciągłego rozłożonego na długości pręta ukoś-
nego. Ostatecznie zastępcze obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta ukośnego wynosi

p'

= p⋅sin







,

(4.111)

Zastępcze obciążenie ciągłe p' możemy rozłożyć na obciążenie prostopadłe i równoległe do osi pręta 

ukośnego. Zgodnie z rysunkiem 4.42 oraz uwzględniając zależność (4.111) obciążenia te wynoszą

q



x



=q= p'⋅sin







= p⋅sin

2







,

(4.112)

h



x



=h= p'⋅cos







= p⋅sin







⋅cos







.

(4.113)

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego p wynosi

W

= p⋅x⋅sin







.

(4.114)

Funkcję siły normalnej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 N =N



x



V

A

⋅sin







H

A

⋅cos







W⋅cos







=0

.

(4.115)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

32

Ostatecznie funkcja siły normalnej będzie miała postać

N



x



=−V

A

⋅sin







−H

A

⋅cos







− p⋅x⋅sin







⋅cos







.

(4.116)

Funkcję siły poprzecznej w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 T =T



x



−V

A

⋅cos







H

A

⋅sin







W⋅sin







=0

.

(4.117)

Ostatecznie funkcja siły poprzecznej będzie miała postać

T



x



=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅sin

2







.

(4.118)

Funkcję momentu zginającego w pręcie ukośnym wyznaczymy z równania równowagi

 M =−M



x



V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−W⋅

x

⋅sin







2

M

A

=0

.

(4.119)

Ostatecznie funkcja momentu zginającego będzie miała postać

M



x



=V

A

⋅x⋅cos







−H

A

⋅x⋅sin







−

p

⋅x

2

⋅sin

2







2

M

A

.

(4.120)

Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać

dN



x



dx

=− p⋅sin







⋅cos







=−h



x



.

(4.121)

Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dT



x



dx

=−p⋅sin

2







=−q



x



.

(4.122)

Trzecie różniczkowe równanie równowagi ma postać

dM



x



dx

=V

A

⋅cos







−H

A

⋅sin







− p⋅x⋅sin

2







=T



x



.

(4.123)

Jak więc widać funkcje siły normalnej (4.116), siły poprzecznej (4.118) i momentu zginającego (4.120) 
spełniają różniczkowe równania równowagi.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

33

Zastosowanie   metody   ogólnej   do   wyznaczania   wykresów   sił   przekrojowych   w   belkach   i   ramach 

płaskich zostanie przedstawione na załączonych do niniejszego opracowania przykładów.

4.6. Metoda punktów charakterystycznych

Oprócz metody ogólnej wyznaczania sił przekrojowych istnieje metoda punktów charakterystycz-

nych.   Metoda   ta   opiera   się   na   wyznaczeniu   wartości   sił   przekrojowych   tylko   w   pewnych 
charakterystycznych punktach poszczególnych przedziałów belki lub ramy płaskiej. Liczba tych punktów 
musi   być   taka,   aby   jednoznacznie   narysować   wykresy,   które   reprezentują   funkcje   siły   poprzecznej   i 
momentu zginającego, a których postać jest uzależniona od różniczkowych równań równowagi.

Aby   jednoznacznie   narysować   wykres   funkcji   stałej   potrzebujemy   jednej   wartości   tej   funkcji   w 

dowolnym punkcie przedziału.

Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji liniowej potrzebujemy wartości tej funkcji w dwóch 

punktach. Będą to punkty znajdujące się na obu końcach przedziału.

Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji kwadratowej potrzebujemy wartości w trzech punktach. 

Punktami tymi będą: dwa punkty znajdujące się na obu końcach przedziału oraz jeden punkt znajdujący się 
wewnątrz przedziału. W przypadku funkcji kwadratowej będącej wykresem momentu zginającego wartość 
w trzecim punkcie da się zastąpić właściwością wynikającą z różniczkowych równań równowagi. 

Aby   jednoznacznie   narysować   wykres   funkcji   będącej   wykresem   wielomianu   trzeciego   stopnia 

potrzebujemy   wartości   w   czterech   punktach.   Punktami   tymi   będą:   dwa   punkty   znajdujące   się   na   obu 
końcach przedziału oraz dwa punkty znajdujące się wewnątrz przedziału. W przypadku funkcji sześciennej 
będącej   wykresem   momentu   zginającego   wartości   w   trzecim   i   czwartym   punkcie   da   się   zastąpić 
właściwością wynikającą z różniczkowych równań równowagi. 

Wartości sił przekrojowych w punktach charakterystycznych wyznacza się rozpatrując równowagę 

odciętej w takim punkcie belki lub ramy płaskiej.

4.7. Metoda punktów charakterystycznych w belkach

Belkę   złożoną   dzielimy  na   belki   proste.   Następnie   każdą   belkę   prostą   dzielimy  na   poszczególne 

przedziały.   Punktami   granicznymi   przedziałów   są:   punkty   przyłożenia   sił   skupionych   (sił   czynnych   i 
reakcji), punkty przyłożenia momentów skupionych, punkty, w których zaczyna się i kończy obciążenie 
ciągłe (równomiernie rozłożone i liniowe). 

Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczynamy od punktu zero na lewym końcu belki. Poruszając się 

następnie w prawo rysujemy wykres. Musimy jednak przestrzegać kilka zasad:

•

Jeżeli w dowolnym przedziale nie działa obciążenie ciągłe to siła poprzeczna ma stałą wartość w 
tym przedziale.

•

Jeżeli   w   dowolnym   punkcie   belki   działa   siła   skupiona   (siła   czynna   lub   reakcja)   w   dół   to   siła 
poprzeczna skokowo maleje o wartość siły. Przedstawia to rysunek 4.44.

•

Jeżeli w dowolnym punkcie belki działa siła skupiona (siła czynna lub reakcja) do góry to siła 
poprzeczna skokowo rośnie o wartość siły. Przedstawia to rysunek 4.45.

•

Moment skupiony oraz przegub rzeczywisty, w którym nie działa żadna pionowa siła czynna nie 
wpływają na wartość siły poprzecznej.

•

Jeżeli  w przedziale  działa  obciążenie  ciągłe  równomiernie  rozłożone  q działające  w dół  to siła 
poprzeczna maleje liniowo. Różnica pomiędzy lewym a prawym końcem równa się sile wypadkowej 
z obciążenia ciągłego. Przedstawia to rysunek 4.46.

•

Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone q działające do góry to siła 
poprzeczna rośnie liniowo. Różnica pomiędzy lewym a prawym końcem równa się sile wypadkowej 
z obciążenia ciągłego. Przedstawia to rysunek 4.47.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

34

•

Jeżeli   w   przedziale   działa   obciążenie   trójkątne   w   dół   to   siła   poprzeczna   parabolicznie   maleje. 
Przedstawiają to rysunki 4.48 i 4.49. Różnica pomiędzy lewym a prawym końcem równa się sile 
wypadkowej   z   obciążenia   ciągłego.   Krzywizna   tej   paraboli   jest   uzależniona   od   położenia   jego 
ekstremum, które znajduje się w punkcie, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero. Jest to 
punkt   E   na   rysunkach   4.48   i   4.49.   Na   rysunkach   tych   znajduje   się   także   część   paraboli   poza 
przedziałem.

•

Jeżeli w przedziale działa obciążenie trójkątne do góry to siła poprzeczna parabolicznie rośnie. 
Przedstawiają to rysunki 4.50 i 4.51. Różnica pomiędzy lewym a prawym końcem równa się sile 
wypadkowej   z   obciążenia   ciągłego.   Krzywizna   tej   paraboli   jest   uzależniona   od   położenia   jego 
ekstremum, które znajduje się w punkcie, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero. Jest to 
punkt   E   na   rysunkach   4.50   i   4.51.   Na   rysunkach   tych   znajduje   się   także   część   paraboli   poza 
przedziałem.

T(x)

P

P

T(x)

P

P

T(x)

P

P

Rys. 4.44. Wykres siły poprzecznej w punkcie działania siły w dół

T(x)

P

P

T(x)

P

P

T(x)

P

P

Rys. 4.45. Wykres siły poprzecznej w punkcie działania siły do góry

T(x)

W

q

W

T(x)

W

q

W

T(x)

W

q

W

Rys. 4.46. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym w dół

T(x)

W

q

W

T(x)

W

q

W

T(x)

W

q

W

Rys. 4.47. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym do góry

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

35

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

Rys. 4.48. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem trójkątnym w dół

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

Rys. 4.49. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem trójkątnym w dół

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

Rys. 4.50. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem trójkątnym do góry

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

T(x)

W

q

W

E

Rys. 4.51. Wykres siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem trójkątnym do góry

Jeżeli   liniowa   lub   paraboliczna   siła   poprzeczna   w   przedziale   posiada   na   obu   końcach   wartości 

przeciwnych znaków oznacza to, że w przedziale tym będzie ona miała miejsce zerowe. Musimy określić 
jego położenie, ponieważ w tym punkcie moment zginający będzie miał ekstremalną wartość. 

Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone w dół to siła poprzeczna na 

lewym końcu jest dodatnia a na prawym ujemna. Przedstawia to rysunek 4.52 a). Jeżeli w przedziale działa 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

36

obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone do góry to siła poprzeczna na lewym końcu jest ujemna a na 
prawym dodatnia. Przedstawia to rysunek 4.52 b).

T(x)

T(x)

T

(L)

T

(P)

T

(L)

T

(P)

T

(L)

T

(P)

T

(L)

T

(P)

x

L

x

P

x

L

x

P

q

q

a)

b)

Rys. 4.52. Miejsca zerowe wykresu siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym

Miejsce   zerowe   będzie   się   znajdowało   w  odległości   x

L

  takiej,   aby  siła   wypadkowa   z  obciążenia 

ciągłego q równała się wartości siły poprzecznej T

(L)

. Możemy więc napisać

∣

T

 L

∣

=

∣

q

∣

⋅

x

L

.

(4.124)

Ostatecznie więc odległość miejsca zerowego siły poprzecznej w przedziale, w którym działa obciążenie 
ciągłe równomiernie rozłożone, od lewego końca będzie wynosiła

x

L

=

∣

T



L



∣

∣

q

∣

.

(4.125)

Natomiast odległość miejsca zerowego siły poprzecznej w przedziale, w którym działa obciążenie ciągłe 
równomiernie rozłożone, od prawego końca będzie wynosiła

x

P

=

∣

T



P



∣

∣

q

∣

.

(4.126)

W   przypadku   przedziału   z   obciążeniem   trójkątnym   będziemy   określali   tylko   odległość   miejsca 

zerowego od punktu, w którym obciążenie to przyjmuje wartość zero. Rysunek 4.53 przedstawia wszystkie 
możliwe przypadki występowania miejsca zerowego. Miejsce zerowe będzie się znajdowało w odległości x

0 

od   punktu,   w   którym   obciążenie   trójkątne   ma   wartość   zero,   takim   aby   siła   wypadkowa   z   obciążenia 
trójkątnego równała się wartości siły poprzecznej T

(K)

, w tym punkcie. Zgodnie z rysunkiem 4.53 możemy 

więc napisać 

∣

T

 K 

∣

=

1
2

⋅

q



x

0



⋅

x

0

.

(4.127)

Wstawiając funkcję obciążenia trójkątnego (4.4) otrzymamy

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

37

T(x)

T

(K)

T

(K)

x

0

q

a)

T(x)

T

(K)

T

(K)

x

0

q

b)

T(x)

T

(K)

T

(K)

x

0

q

c)

T(x)

T

(K)

T

(K)

x

0

q

d)

L

L

L

L

Rys. 4.53. Miejsca zerowe wykresu siły poprzecznej w przedziale z obciążeniem trójkątnym

T

(K)

x

0

q(x

0

)

Rys. 4.54. Miejsce zerowe siły poprzecznej

∣

T



K



∣

=

1
2

⋅

∣

q

∣

L

⋅x

0

⋅x

0

=

∣

q

∣

⋅x

0

2

2

⋅L

.

(4.128)

We   wzorze   (4.128)   L  oznacza   długość   przedziału,   w   którym   działa   obciążenie   trójkątne.   Ostatecznie 
możemy więc zapisać odległość x

0

 jako

x

0

=



2

⋅

∣

T

 K 

∣

⋅

L

∣

q

∣

.

(4.129)

Mając   narysowany   wykres   siły   poprzecznej   możemy   przystąpić   do   rysowania   wykresu   momentu 

zginającego. Będziemy go rysować na podstawie wartości obliczonych w charakterystycznych punktach. 
Wartości momentu zginającego będziemy wyznaczać rozpatrując równowagę odciętej części belki. Musimy 
przestrzegać następujących warunków:

•

W większości przypadków wykres momentu zginającego w belce jest ciągły. Jedynym obciążeniem 
powodującym nieciągłość tego wykresu jest moment skupiony. Wartość bezwzględna tego skoku 
jest   równa   wartości   momentu   skupionego.   Kierunek   tego   skoku   uzależniony   jest   od   kierunku 
momentu skupionego. Przedstawiają to rysunki 4.55 i 4.56. Na rysunkach tych narysowana jest 
także równowaga w otoczeniu punktu przyłożenia momentu skupionego.

•

Jeżeli   w   pewnym   przedziale   belki   nie   działa   żadne   obciążenie   ciągłe   to   wykres   momentu   jest 
funkcją liniową. Wystarczy więc wyznaczyć wartości momentu zginającego na początku i końcu 
tego przedziału. Jeżeli siła poprzeczna będzie dodatnia liniowy moment zginający będzie malejący, 
natomiast   jeżeli   siła   poprzeczna   będzie   ujemna   to   będzie   on   rosnący.   Przykładowe   wykresy 
przedstawiają rysunki 4.57 i 4.58.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

38

•

Jeżeli   w   pewnym   przedziale   belki   działa   obciążenie   ciągłe   równomiernie   rozłożone   to   wykres 
momentu zginającego jest parabolą. Ponadto siła  poprzeczna  posiada w  tym przedziale  miejsce 
zerowe. Aby jednoznacznie narysować wykres momentu zginającego należy wyznaczyć wartości 
momentu   zginającego   w   trzech   punktach:   na   początku   i   na   końcu   przedziału   oraz   w   miejscu 
zerowym   siły   poprzecznej.   „Brzuszek”   takiej   paraboli   jest   skierowany   w   tą   samą   stronę   co 
obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone. Przykładowe wykresy przedstawiają rysunki 4.59 i 4.60.

•

Jeżeli   w   pewnym   przedziale   belki   działa   obciążenie   ciągłe   równomiernie   rozłożone   oraz   siła 
poprzeczna nie posiada w tym przedziale miejsca zerowego (czyli jest w całym przedziale dodatnia 
lub ujemna) to wykres momentu zginającego jest także parabolą ale aby ją jednoznacznie narysować 
wystarczy wyznaczyć wartości momentu zginającego tylko w dwóch punktach: na początku i na 
końcu przedziału. Trzeci punkt wykresu stanowi „brzuszek” paraboli, który jest skierowany w tą 
samą stronę co obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone. Jeżeli siła poprzeczna będzie dodatnia 
parabola momentu zginającego będzie malejąca, natomiast jeżeli siła poprzeczna będzie ujemna to 
będzie ona rosnąca. Przykładowe wykresy przedstawiają rysunki 4.61, 4.62, 4.63 i 4.64.

•

Jeżeli w pewnym przedziale belki działa obciążenie trójkątne to wykres momentu zginającego jest 
funkcją trzeciego stopnia. Ponadto siła poprzeczna posiada w tym przedziale miejsce zerowe. Aby 
jednoznacznie   narysować   wykres   momentu   zginającego   należy   wyznaczyć   wartości   momentu 
zginającego tylko w trzech punktach: na początku i na końcu przedziału oraz w miejscu zerowym 
siły poprzecznej. Czwartym punktem tej funkcji będzie „brzuszek”, który jest skierowany w tą samą 
stronę co obciążenie trójkątne. Przykładowe wykresy przedstawiają rysunki 4.65, 4.66, 4.67 i 4.68.

•

Jeżeli w pewnym przedziale belki działa obciążenie trójkątne oraz siła poprzeczna nie posiada w 
tym przedziale miejsca zerowego (czyli jest w całym przedziale dodatnia lub ujemna) to wykres 
momentu   jest   także   funkcją   trzeciego   stopnia   ale   aby   go     jednoznacznie   narysować   należy 
wyznaczyć   wartości   momentu   zginającego   tylko   w   dwóch   punktach:   na   początku   i   na   końcu 
przedziału.   Cały   wykres   musi   się   mieścić   pomiędzy   wartościami   momentu   zginającego   na   obu 
końcach   przedziału.   Pozostałymi   dwoma   punktami   tej   funkcji   będzie   „brzuszek”,   który   jest 
skierowany w tą samą stronę co obciążenie trójkątne. Jeżeli siła poprzeczna będzie dodatnia wykres 
momentu zginającego będzie malejący, natomiast jeżeli siła poprzeczna będzie ujemna to będzie on 
rosnący. Przykładowe wykresy przedstawiają rysunki od 4.69 do 4.76.

Przykłady zastosowania tej metody w praktyce znajdują się w zadaniach dołączonych do niniejszego 

opracowania.

M

a)

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M+M

(L)

M

b)

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M-M

(L)

M

c)

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M

(L)

-M

Rys. 4.55. Skok wykresy momentu zginającego

4.8. Metoda punktów charakterystycznych w ramach płaskich

Ramę płaską dzielimy na poszczególne przedziały. Punktami granicznymi przedziałów są: węzły ramy 

płaskiej, punkty przyłożenia sił skupionych (sił czynnych i reakcji), punkty przyłożenia momentów skupio-
nych, punkty, w których zaczyna się i kończy obciążenie ciągłe (równoległe i prostopadłe do osi pręta) oraz 
miejsca, w których znajdują się przeguby rzeczywiste.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

39

M

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M

(L)

-M

M

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M-M

(L)

M

M(x)

M

M

(L)

M

(P)

M

(P)

=M+M

(L)

a)

b)

c)

Rys. 4.56. Skok wykresy momentu zginającego

a)

M(x)

T(x)

q=0

b)

M(x)

T(x)

q=0

c)

M(x)

T(x)

q=0

Rys. 4.57. Liniowe wykresy momentu zginającego

M(x)

T(x)

q=0

M(x)

T(x)

q=0

M(x)

T(x)

q=0

a)

b)

c)

Rys. 4.58. Liniowe wykresy momentu zginającego

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

T(x)

q

M(x)

d)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.59. Paraboliczne wykresy momentu zginającego z ekstremum

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

40

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

T(x)

q

M(x)

d)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.60. Paraboliczne wykresy momentu zginającego z ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

b)

Rys. 4.61. Paraboliczne wykresy momentu zginającego bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.62. Paraboliczne wykresy momentu zginającego bez ekstremum

Wartości   siły   normalnej   i   poprzecznej   oraz   momentu   zginającego   w   dowolnym   przedziale   ramy 

płaskiej będziemy wyznaczali rozpatrując  równowagę odciętej części ramy płaskiej. Liczba punktów, w 
których będziemy wyznaczali wartości poszczególnych sił przekrojowych będzie uzależniona od postaci 
funkcji   opisującej   daną   siłę   przekrojową.   Postać   ta   zależy,   jak   wiadomo,   od   różniczkowych   równań 
równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

41

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.63. Paraboliczne wykresy momentu zginającego bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.64. Paraboliczne wykresy momentu zginającego bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

d)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.65. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia z ekstremum

Aby narysować wykres siły normalnej w ramie płaskiej będziemy musieli przestrzegać następujących 

warunków:

•

Jeżeli w dowolnym przedziale nie działa żadne obciążenie ciągłe to siła normalna jest funkcją stałą. 
Aby ją narysować wystarczy wyznaczyć jej wartość w dowolnym punkcie danego przedziału.

•

Jeżeli w dowolnym przedziale działa tylko obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe 
do osi pręta to siła normalna jest także funkcją stałą. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

42

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

T(x)

q

M(x)

d)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.66. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia z ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

T(x)

q

M(x)

d)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.67. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia z ekstremum

•

Moment skupiony oraz siła działająca prostopadłe do osi pręta nie wpływają na zmianę wartości siły 
normalnej. 

•

Jeżeli w pręcie ukośnym działa siła, która nie jest prostopadła do osi tego pręta to będzie ona 
powodowała skok siły normalnej. Wartość bezwzględna tego skoku równa się składowej tej siły 
równoległej do osi pręta ukośnego. Sytuację taką przedstawia rysunek 4.77.

•

Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do osi pręta to siła 
normalna jest funkcją liniową. Aby ją jednoznacznie narysować wystarczy wyznaczyć jej wartości 
na obu końcach przedziału. 

•

Jeżeli w pręcie ukośnym działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta lub na 
długości   jego   rzutu   poziomego   lub   pionowego   to   siła   normalna   jest   funkcją   liniową.  Aby   ją 
jednoznacznie narysować wystarczy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

43

T(x)

q

a)

M(x)

T(x)

q

b)

M(x)

T(x)

q

c)

M(x)

T(x)

q

d)

M(x)

T(x)

q

M(x)

e)

Rys. 4.68. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia z ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.69. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.70. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

Aby   narysować   wykres   siły   poprzecznej   w   ramie   płaskiej   będziemy   musieli   przestrzegać 

następujących warunków:

•

Jeżeli w dowolnym przedziale nie działa żadne obciążenie ciągłe to siła poprzeczna jest funkcją 
stałą. Aby ją narysować wystarczy wyznaczyć jej wartość w dowolnym punkcie danego przedziału.

•

Jeżeli w dowolnym przedziale działa tylko obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do 
osi pręta to siła poprzeczna jest także funkcją stałą. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

44

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.71. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.72. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.73. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.74. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

•

Jeżeli w dowolnym punkcie pręta poziomego lub pionowego działa siła prostopadła do osi tego 
pręta to powoduje ona skok siły poprzecznej. Wartość bezwzględna tego skoku równa się wartości 
tej siły. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

45

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.75. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

T(x)

q

M(x)

a)

T(x)

q

M(x)

b)

T(x)

q

M(x)

c)

Rys. 4.76. Momenty zginające będące wielomianem trzeciego stopnia bez ekstremum

P

P

P

T

P

N

P

T

P

N

T(

x)

N(

x)

Rys. 4.77. Skok siły normalnej i poprzecznej w pręcie ukośnym w punkcie działania siły P

•

Jeżeli  w pręcie ukośnym działa siła, która  nie jest równoległa do osi tego pręta to będzie  ona 
powodowała skok siły poprzecznej. Wartość bezwzględna tego skoku równa się składowej tej siły 
prostopadłej do osi pręta ukośnego. Sytuację taką przedstawia rysunek 4.77.

•

Moment skupiony działający w dowolnym punkcie ramy płaskiej nie wpływa na zmianę wartości 
siły poprzecznej.

•

Jeżeli w poziomym i pionowym pręcie działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe 
do osi tego pręta to siła poprzeczna będzie funkcją liniową. Aby ją jednoznacznie narysować należy 
wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Możemy tutaj zastosować zasady takie same jak 
dla belek.

•

Jeżeli w pręcie ukośnym działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta lub na 
długości jego rzutu poziomego lub pionowego to siła poprzeczna jest także funkcją liniową. Aby ją 
jednoznacznie narysować wystarczy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

46

Jeżeli   liniowa   funkcja   siły  poprzecznej  ma  na  obu  końcach  przedziału  wartości   różnych  znaków 

będzie ona miała w tym przedziale miejsce zerowe. Rysunek 4.78 przedstawia taki wykres siły poprzecznej 
w przedziale o długości L.

L

L-x

0

x

0

T(x)

T

(L)

T

(P)

Rys. 4.78. Liniowy wykres siły poprzecznej z miejscem zerowym

Zgodnie z tym rysunkiem odległość miejsca zerowego od lewego końca przedziału możemy wyznaczyć z 
twierdzenia Talesa. Odpowiednia proporcja na postać

∣

T

 L

∣

x

0

=

∣

T

P 

∣

L

−

x

0

.

(4.130)

Z równania (4.130) możemy wyznaczyć odległość x

o

.

Aby   narysować   wykres   momentu   zginającego   w   ramie   płaskiej   będziemy   musieli   przestrzegać 

następujących warunków:

•

Jeżeli w dowolnym punkcie ramy płaskiej działa moment skupiony to powoduje on skok momentu 
zginającego. Wartość bezwzględna tego skoku jest równa wartości momentu skupionego. Kierunek 
tego skoku uzależniony jest od kierunku momentu skupionego. 

•

Jeżeli w dowolnym przedziale nie działa żadne obciążenie ciągłe to wykres momentu jest funkcją 
liniową.   Wystarczy   więc   wyznaczyć   wartości   momentu   zginającego   na   początku   i   końcu   tego 
przedziału.

•

Jeżeli w dowolnym przedziale działa tylko obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do 
osi pręta to wykres momentu jest funkcją liniową. Wystarczy więc wyznaczyć wartości momentu 
zginającego na początku i końcu tego przedziału.

•

Jeżeli   w   pręcie   pionowym   lub   poziomym   działa   obciążenie   ciągłe   równomiernie   rozłożone 
prostopadłe do osi tego pręta to wykres momentu zginającego jest parabolą. Ponadto siła poprzeczna 
posiada   w   tym   przedziale   miejsce   zerowe.   Aby   jednoznacznie   narysować   wykres   momentu 
zginającego należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w trzech punktach: na początku i na 
końcu   przedziału   oraz   w   miejscu   zerowym   siły   poprzecznej.   „Brzuszek”   takiej   paraboli   jest 
skierowany w tą samą stronę co obciążenie ciągłe.

•

Jeżeli   w   pręcie   pionowym   lub   poziomym   działa   obciążenie   ciągłe   równomiernie   rozłożone 
prostopadłe do osi tego pręta oraz siła poprzeczna nie posiada w tym przedziale miejsca zerowego 
(czyli jest w całym przedziale dodatnia lub ujemna) to wykres momentu zginającego jest także 
parabolą ale aby ją jednoznacznie narysować wystarczy wyznaczyć wartości momentu zginającego 
tylko   w   dwóch   punktach:   na   początku   i   na   końcu   przedziału   Trzeci   punkt   wykresu   stanowi 
„brzuszek” paraboli, który jest skierowany w tą samą stronę co obciążenie ciągłe równomiernie 
rozłożone. 

•

Jeżeli w przedziale pręta ukośnego działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości 
tego pręta lub na długości jego rzutu poziomego lub pionowego to wykres momentu zginającego jest 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

47

parabolą. Ponadto siła poprzeczna posiada w tym przedziale miejsce zerowe. Aby jednoznacznie 
narysować wykres momentu zginającego należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w trzech 
punktach: na początku i na końcu przedziału oraz w miejscu zerowym siły poprzecznej. „Brzuszek” 
takiej paraboli jest skierowany w tą samą stronę co obciążenie ciągłe.

•

Jeżeli w przedziale pręta ukośnego działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na długości 
tego pręta lub na długości jego rzutu poziomego lub pionowego oraz siła poprzeczna nie posiada w 
tym przedziale miejsca zerowego (czyli jest w całym przedziale dodatnia lub ujemna) to wykres 
momentu zginającego jest także parabolą ale aby ją jednoznacznie narysować wystarczy wyznaczyć 
wartości momentu zginającego tylko w dwóch punktach: na początku i na końcu przedziału Trzeci 
punkt wykresu stanowi „brzuszek” paraboli, który jest skierowany w tą samą stronę co obciążenie 
ciągłe równomiernie rozłożone. 

Przykłady zastosowania tej metody w praktyce znajdują się w zadaniach dołączonych do niniejszego 

opracowania.

4.9 Równowaga sił w węzłach ramy płaskiej

W   celu   sprawdzenia   poprawności   wykonania   wykresów   siły   normalnej,   poprzecznej   i   momentu 

zginającego  należy sprawdzić równowagę węzłów ramy. W tym celu wycinamy dany węzeł i z wykresów 
sił przekrojowych odczytujemy wartości oraz zwroty odpowiednich sił przekrojowych (zgodnie z zasadami 
znakowania).   Siły   te   przykładamy   w   odpowiednich   prętach   ramy   płaskiej.   Następnie   sprawdzamy,   czy 
spełnione są równania równowagi: sumy rzutów wszystkich sił na oś poziomą X, pionową Y oraz równanie 
sumy momentów wszystkich sił względem punktu węzła. Należy pamiętać o sile skupionej oraz momencie 
skupionym, które są przyłożone w punkcie węzła ramy płaskiej. Ponieważ długość prętów dochodzących do 
węzła wynosi zero nie uwzględniamy przy sprawdzeniu równowagi węzła obciążeń ciągłych działających na 
prętach dochodzących do węzła.

Rysunek   4.79   przedstawia   przykładową   ramę   płaską   z   prętami   ortogonalnymi   (prostopadłymi   do 

siebie).

7,6 kN

6,2 kN

3,8 kN/m

5,2 kN/m

4,

3 

kN

/m

A

B

C

D

E

F

2,2

2,3

1,

8

1,

7

4,9 kN

13,51 kN

55,84 kNm

[m]

Rys. 4.79. Ortogonalna rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

48

Rysunki 4.80, 4.81 i 4.82 przedstawiają wykresy siły normalnej, poprzecznej i momentu zginającego 

dla tej ramy wspornikowej. Sprawdzenie równowagi we wszystkich węzłach dokonamy tylko na podstawie 
tych wykresów.

N [kN]

6,2

13,51

7,

6

0,0

Rys. 4.80. Wykres siły normalnej

T [kN]

6,

2

7,6

0,0

7,31

0,

0

8,

74

16

,3

4

4,

9

Rys. 4.81. Wykres siły poprzecznej

Rysunek 4.83 przedstawia siły przekrojowe działające w węźle B ramy płaskiej przedstawionej na 

rysunku 4.79. Jak widać siły te znajdują się w równowadze.

Rysunek 4.84 przedstawia siły przekrojowe działające w węźle E ramy płaskiej przedstawionej na 

rysunku 4.79. Jak widać siły te znajdują się w równowadze.

Rysunek 4.85 przedstawia siły przekrojowe działające w węźle C ramy płaskiej przedstawionej na 

rysunku 4.79. Jak widać siły te znajdują się w równowadze.

Rysunek 4.86 przedstawia siły przekrojowe oraz reakcje działające w węźle F czyli w utwierdzeniu 

ramy płaskiej przedstawionej na rysunku 4.79. Jak widać wszystkie te siły znajdują się w równowadze.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

49

M [kNm]

0,0

21

,2

1

11,16

11

,1

6

0,

0

17

,4

8

17,48

32

,4

8

11,27

55

,8

4

Rys. 4.82. Wykres momentu zginającego

6,2 kN

11,16 kNm

6,2 kN

11,16 kNm

B

B

Rys. 4.83. Równowaga węzła B

7,6 kN

7,6 kN

17,48 kNm

17,48 kNm

E

E

Rys. 4.84. Równowaga węzła E

Rysunek 4.87 przedstawia przykładową ramę trójprzegubową z prętem ukośnym. Rysunki 4.88, 4.89 i 

4.90 przedstawiają wykresy siły normalnej, poprzecznej i momentu zginającego dla tej ramy.

W przypadku równowagi węzła B w pierwszej kolejności należy sprawdzić równowagę całego pręta 

ukośnego. Rysunek 4.91 przedstawia siły działające na wycięty pręt ukośny. Z równania sumy momentów 
wszystkich sił działających na pręt ukośny względem punktu A sprawdzimy poprawność obliczenia siły 
poprzecznej w pręcie ukośnym w węźle B, której wartość odczytana z wykresu siły poprzecznej na rysunku 
4.89 wynosi -12,02 kN. Robimy tak, ponieważ podczas wyznaczania wartości siły normalnej i poprzecznej 
w   pręcie   ukośnym   można   pomylić   sinus   z   kosinusem,   a   funkcje   te   nie   wchodzą   do   równania 
sprawdzającego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

50

C

C

7,6 kN

6,2 kN

13,51 kN

7,31 kN

8,74 kN

16,34 kN

11,27 kNm

21,21 kNm

32,48 kNm

Rys. 4.85. Równowaga węzła C

F

4,9 kN

13,51 kN

55,84 kNm

13,51 kN

4,9 kN

55,84 kNm

Rys. 4.86. Równowaga utwierdzenia F

18,0 kN/m

A

B

C

D

E

5,0

4,0

3,0

6,

0

28,0 kN

11,63 kN

57,25 kN

32,75 kN

16,38 kN

Rys. 4.87. Rama trójprzegubowa z prętem ukośnym

Po   tym   sprawdzeniu   możemy   sprawdzić   równowagę   sił   działających   w   węźle   B.   Rysunek   4.92 

przedstawia wszystkie siły działające w tym węźle. Siły: normalną i poprzeczną sprawdzimy z równania 
sumy rzutów wszystkich sił na oś poziomą X i pionową Y. Momenty zginające sprawdzimy z równania sumy 
momentów względem punktu B.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

51

N [kN]

36,5

3

32,6

0

11,63

32

,7

5

Rys. 4.88. Wykres siły normalnej

T [kN]

45,5

9

12,0

2

32,75

16

,3

8

6,

18

Rys. 4.89. Wykres siły poprzecznej

4.10. Przykładowe wykresy sił przekrojowych w belkach

Rysunek 4.93 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego dla belki wspornikowej 

obciążonej momentem skupionym na wolnym końcu.

Rysunek 4.94 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego dla belki wspornikowej 

obciążonej siłą P na wolnym końcu.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

52

M [kNm]

0,0

131

,0

13

1,0

0,0

98

,2

8

98,28

6,

18

140

,9

Rys. 4.90. Wykres momentu zginającego

18,0 kN/m

A

5,0

11,63 kN

57,25 kN

32

,6

0 

kN

12,0

2 k

N

131,0 kNm

- 7

,8

1 

-

Rys. 4.91. Siły działające na pręt ukośny

Rysunek 4.95 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego dla belki wspornikowej z 

obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym q.

Rysunek  4.96  przedstawia  wykresy siły  poprzecznej  i  momentu  zginającego dla  belki  swobodnie 

podpartej   obciążonej   momentem   skupionym   w   dowolnym   punkcie   tej   belki.   Na   rysunku   tym   jest 
przedstawiona także równowaga momentów zginających i skupionego w otoczeniu punktu przyłożenia tego 
ostatniego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

53

α

α

α

α

11,63 kN

32,75 kN

12,0

2 k

N

32

,6

 k

N

α

12,0

2 k

N

α

32

,6

 k

N

131,0 kNm

131,0 kNm

B

B

Rys. 4.92. Siły działające w węźle B

M

L

M

T(x)

M(x)

0

M

M

L

M

T(x)

M(x)

0

M

Rys. 4.93. Wykresy sił przekrojowych dla belki wspornikowej obciążonej momentem skupionym

L

T(x)

M(x)

P

P

P

⋅L

P

P

⋅L

L

T(x)

M(x)

P

P

P

⋅L

P

P

⋅L

Rys. 4.94. Wykresy sił przekrojowych dla belki wspornikowej obciążonej siłą na końcu

Rysunek  4.97  przedstawia  wykresy siły  poprzecznej  i  momentu  zginającego dla  belki  swobodnie 

podpartej obciążonej siłą skupioną w dowolnym punkcie tej belki. Rysunek 4.98 przedstawia wykresy siły 
poprzecznej  i momentu zginającego dla belki swobodnie podpartej  obciążonej  siłą skupioną w połowie 
rozpiętości tej belki.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

54

L

T(x)

M(x)

q

⋅L

q

⋅L

2

2

q

q

⋅L

q

⋅L

2

2

L

T(x)

M(x)

q

⋅L

q

⋅L

2

2

q

q

⋅L

q

⋅L

2

2

Rys. 4.95. Wykresy sił przekrojowych dla belki wspornikowej z obciążeniem ciągłym q

a

b

M

M



a

b



M



a

b



T(x)

M(x)

M



a

b



M



a

b



M

⋅a



a

b



M

⋅b



a

b



M

M

⋅a



a

b



M

⋅b



a

b



a

b

M

M



a

b



M



a

b



T(x)

M(x)

M



a

b



M



a

b



M

⋅a



a

b



M

⋅b



a

b



M

M

⋅a



a

b



M

⋅b



a

b



Rys. 4.96. Wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej obciążonej momentem skupionym

a

b

T(x)

M(x)

P

⋅a



a

b



P

⋅b



a

b



P

P

⋅b



a

b



P

⋅a



a

b



P

⋅a⋅b



a

b



a

b

T(x)

M(x)

P

⋅a



a

b



P

⋅b



a

b



P

P

⋅b



a

b



P

⋅a



a

b



P

⋅a⋅b



a

b



Rys. 4.97. Wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej obciążonej siłą w dowolnym punkcie

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

4. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

55

T(x)

M(x)

P

L
2

L
2

P

2

P

2

P

2

P

2

P

⋅L

4

T(x)

M(x)

P

L
2

L
2

P

2

P

2

P

2

P

2

P

⋅L

4

Rys. 4.98. Wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej obciążonej siłą w połowie rozpiętości

T(x)

M(x)

L

q

q

⋅L
2

q

⋅L
2

L
2

L
2

q

⋅L
2

q

⋅L
2

q

⋅L

2

8

T(x)

L

q

q

⋅L
2

q

⋅L
2

L
2

L
2

q

⋅L
2

q

⋅L
2

q

⋅L

2

8

M(x)

Rys. 4.99. Wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem ciągłym q

Rysunek  4.99  przedstawia  wykresy siły  poprzecznej  i  momentu  zginającego dla  belki  swobodnie 

podpartej   z   obciążeniem   ciągłym   równomiernie   rozłożonym   q.   Wartość   ekstremalnego   momentu 
zginającego dla tej belki jest jedną z częściej używanych wartości do projektowania.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni