Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-1
Wykład 26
26. Fale elektromagnetyczne
Maxwell nie tylko wyjaśnił zjawiska elektryczne za pomocą czterech równań, ale
wyciągnął z nich wnioski, których nie kojarzono przed nim z elektrycznością. W 1864 r
pokazał, że przyspieszony ładunek musi promieniować pole elektryczne i magnetyczne,
a następnie, że pola te są do siebie prostopadłe i tworzą kąt prosty z kierunkiem rozcho-
dzenia się fali. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni
0
0
1
ε
µ
=
c
(26.1)
Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia rysunek poni-
żej.
(Omówienie źródeł promieniowania).
26.1 Równanie falowe
Przypominamy równanie falowe dla struny
2
2
2
2
2
1
t
y
u
x
y
∂
∂
∂
∂
=
Przez analogię równanie falowe dla fali EM (bez wyprowadzenia)
2
2
2
2
2
1
t
B
c
x
B
z
z
∂
∂
∂
∂
=
(26.2)
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
10
13
10
14
10
15
10
16
10
17
10
18
10
19
fale d
ługie
pasmo TV
mikrofale
podczerwie
ń
ultrafiolet
prom.
γ
fale
średnie
światło
widzialne
prom. X
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-2
26.2 Linie transmisyjne
Dotyczy problemu przenoszenia fal EM pomiędzy dwoma punktami.
26.2.1 Kabel koncentryczny
Jeżeli przełącznik S (rysunek poniżej) jest połączony z punktem b to przewodni-
ki są na tym samym potencjale.
Jeżeli przełączymy go do pozycji a to między przewodnikami pojawi się różnica poten-
cjałów U. Ta różnica nie wystąpi w całym kablu ale będzie się przenosić wzdłuż kabla
ze skończoną prędkością, która dla linii doskonale przewodzącej jest równa prędkości
światła c. Na rysunku (a) przedstawiono zależność czasową napięcia między kablami w
punkcie odległym o l od źródła. Impuls w kablu w dowolnej chwili t jest pokazany na
rysunku (b).
Na rysunku (c) pokazany jest kształt fali otrzymanej przy periodycznym przerzucaniu
przełącznika między punktami a i b, a na rysunku (d) kształt fali po zastąpieniu prze-
łącznika oscylatorem sinusoidalnym.
ε
a
b
s
a)
U
t
x = l
t = l/c
b)
U
x
x = ct
c)
U
x
d)
U
t
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-3
Oczywiście takie zmiany rejestruje się dopiero dla odpowiednich częstości. Dla często-
ści np. 50 Hz,
λ = c/v = 6·10
6
m = 6000 km oczywiście nie widać w liniach transmisyj-
nych sygnałów przypominających fale. Ale już dla częstości mikrofalowych rzędu 10
GHz
λ = 3 cm.
26.2.2 Pola i prądy w kablu koncentrycznym
Na rysunku ( poniżej) pokazany jest rozkład pola elektrycznego i magnetycznego w ka-
blu koncentrycznym.
Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy współosiowe koła wokół we-
wnętrznego przewodnika.
Linia transmisyjna ma zerowy opór tzn. pole E nie ma składowej stycznej w dowolnym
punkcie powierzchni przewodzącej. To są tzw. warunki brzegowe.
Mamy tu do czynienia z falą bieżącą. Rysunek to tylko jedna z możliwych konfiguracji
pól (fali EM) bo
ω może się zmieniać w sposób ciągły. Na rysunku dolnym pokazane są
prądy (przewodzenia i przesunięcia). Tworzą zamknięte pętle - ciągłość prądu.
26.2.3 Falowód
Istnieje możliwość przesyłania fal EM przez pustą rurę metalową (bez przewod-
nika wewnętrznego). Ściany tej rury (falowodu) mają oporność zerową. Jej przekrój jest
prostokątem. Jeżeli do końca falowodu przyłożymy generator mikrofalowy (klistron) to
przez falowód przechodzi fala o rozkładzie pól E, B pokazanym na rysunku poniżej.
Falowód z liniami pola E widzianymi z boku (rys. a), liniami B widzianymi z góry (rys.
b), i liniami E widzianymi z przodu (rys c). Dla polepszenia czytelności na rysunku (a)
pominięto linie B, a na rysunku (b) linie E.
c
c
E
B
E
B
λ
pr
ąd
przewodzenia
pr
ąd
przesuni
ęcia
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-4
Pole E nie ma składowej stycznej w żadnym punkcie wewnętrznej powierzchni falowo-
du. Typ transmisji czyli rozkład pól (typ fali) w falowodzie zależy od jego rozmiarów.
Ten podstawowy, dla prostokątnego falowodu, rozkład pól będzie przesyłany pod wa-
runkiem, że częstość
ω będzie większa od tzw. częstości odcięcia (granicznej) ω
0
. Żeby
wyeliminować inne rozkłady (nakładanie się ich) wybieramy
ω większe od ω
0
dla typu
podstawowego, a mniejsze od częstotliwości odcięcia dla innych typów. Wtedy podsta-
wowy typ transmisji jest jedynym. Zwróćmy uwagę, że rozkład nie musi być sinusoidal-
nie zmienny.
26.3 Wnęki rezonansowe
Omawialiśmy fale EM bieżące w liniach transmisyjnych. Możliwe jest, podobnie jak
dla fal akustycznych, wytworzenie fal EM stojących. Taka fala czyli zespół doscylują-
cych pól B i E może powstać np. w zamkniętym cylindrze wykonanym z dobrego prze-
wodnika (rysunek poniżej). Doprowadzenie fali (z generatora), czyli sprzężenie z linią
transmisyjną może być zrealizowane przez mały otwór lub antenę (mały pręt). Podobnie
jak dla rezonatora akustycznego (piszczałka organowa, struna) możliwe jest wiele ro-
dzajów drgań z różnymi częstotliwościami.
E
V
f
V
f
B
E
a)
b)
c)
λ
E
B
h
a
r
r
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-5
Formalne potraktowanie drgań we wnęce powinno wyjść od równań Maxwella i koń-
czyć na wzorach opisujących rozkłady pól we wnęce w zależności od czasu i miejsca we
wnęce. My ograniczymy się do drgań podstawowych i pokażemy, że są one zgodne z
równaniami Maxwella.
Przerywany okrąg przedstawia drogę całkowania przy obliczaniu pola B z prawa Ampe-
ra, a przerywany prostokąt drogę całkowania przy wyliczaniu E z prawa Faradaya.
Na rysunku widać pole E oraz B. W tej sytuacji załóżmy, że pole B maleje, a pole E ro-
śnie. Zastosujmy, do prostokąta na rysunku, prawo Faradaya.
∫
−
=
t
B
d
d
d
φ
l
E
E równa się zeru dla górnej drogi całkowania (w ścianie wnęki) oraz dla dróg bocznych
bo tam E jest prostopadłe do dl. Tak więc
∫
=
Eh
l
Ed
Łącząc równania otrzymujemy:
t
h
E
B
d
d
1
φ
−
=
E jest więc maksymalne gdy strumień magnetyczny zmienia się najszybciej. W przy-
padku zmian sinusoidalnych odpowiada to przejściu przez zero (zmianie znaku) B.
Więc E ma wartość maksymalną gdy B ma wartość zero w całej wnęce.
Teraz zastosujemy prawo Ampera dla linii pola B widocznych na przekroju (a) wnęki
rezonansowej (dla konturu o promieniu r).
∫
+
=
I
t
E
0
0
0
d
d
d
µ
φ
ε
µ
l
B
Ponieważ żaden ładunek nie przepływa przez kontur więc prąd przewodzenia I = 0. Cał-
ka po lewej stronie równania wynosi B2
π
r więc
t
r
B
E
d
d
2
0
0
φ
π
ε
µ
=
Pole B zależy od szybkości zmian strumienia pola E. Tak jak poprzednio dla sinuso-
idalnych zmian E maksimum B otrzymamy gdy E zmienia znak.
Widać, że pola E i B podtrzymują się wzajemnie. Raz wzbudzone drgania trwają przy
nieobecności strat.
26.4 Promieniowanie
Elektromagnetyczna linia transmisyjna może być zakończona na różne sposoby np.
wnęką rezonansową. Może też być zakończona w sposób umożliwiający wypromienio-
wanie energii elektromagnetycznej do otaczającej przestrzeni. Przykładem takiego za-
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
26-6
kończenia jest elektryczna antena dipolowa po-
kazana na rysunku obok.
Różnica potencjałów pomiędzy między drutami
zmienia się sinusoidalnie i efekt jest taki jak w
przypadku dipola elektrycznego o momencie
dipolowym p zmieniającym się co do wielkości
jak i kierunku. Na rysunku poniżej pokazane
jest pole E i B wytwarzane przez taki dipol
czyli też przez taka antenę. Fale rozchodzą się
z prędkością c (w próżni). Przedstawione są pola w dużej odległości od dipola.
Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgający dipol elektryczny przechodząc
przez odległy punkt P jest falą płaską. Przypomnijmy, że prędkość fali jest dana przez
znany wzór c =
λv, lub inaczej c = ω / k, gdzie ω = 2πv oraz k = 2π/λ.
26.5 Wektor Poyntinga
Jedną z ważnych właściwości fali elektromagnetycznej jest zdolność do przenosze-
nia energii od punktu do punktu. Szybkość przepływu energii przez jednostkową po-
wierzchnię płaskiej fali elektromagnetycznej można opisać wektorem S zwanym wekto-
rem Poyntinga. Wektor S definiujemy za pomocą iloczynu wektorowego
B
E
S
×
=
0
1
µ
(26.3)
W układzie SI jest on wyrażony w W/m
2
, kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia
energii. Wektory E i B są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w roz-
patrywanym punkcie.
P
+
-