Wykład dziewiąty
Całki niewłaściwe
Całka niewłaściwa I rodzaju
Zał. a ∈ R – ustalona liczba rzeczywista, f – funkcja R – całkowalna na każdym przedziale
ha; T i , T > a.
Def. Całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale ha : +∞) nazywamy granicę
lim
T →+∞
T
Z
a
f (x)dx
ozn
=
+∞
Z
a
f (x)dx
Całka niewłaściwa
+∞
Z
a
f (x)dx jest zbieżna, jeśli powyższa granica jest właściwa. Jest rozbieżna
w pozostałych przypadkach.
Zał. a ∈ R – ustalona liczba rzeczywista; funkcja f jest R – całkowalna na każdym przedziale
hT ; ai , T < a. Wówczas można określić całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞; ai:
a
Z
−∞
f (x)dx
df
= lim
T →−∞
a
Z
T
f (x)dx
Zał. Funkcja f jest R – całkowalna na każdym przedziale ograniczonym na prostej R. Wówczas
+∞
Z
−∞
f (x)dx
df
=
a
Z
−∞
f (x)dx +
+∞
Z
a
f (x)dx
gdzie a jest dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą.
Uwaga 1. Całka
+∞
Z
−∞
f (x)dx jest zbieżna ⇔ zbieżne są całki
a
Z
−∞
f (x)dx i
+∞
Z
a
f (x)dx, niezależnie
od siebie.
Tw.1.(kryterium porównawcze) Jeżeli funkcje f i h sa określone na przedziale ha : +∞), R –
całkowalne na każdym przedziale ha : T i , T > a oraz 0 ¬ f (x) ¬ h(x) dla każdego x ∈ ha : +∞),
to
1. jeżeli całka
+∞
Z
a
h(x)dx jest zbieżna, to całka
+∞
Z
a
f (x)dx jest zbieżna.
2. jeżeli całka
Z
+∞
a
f (x)dx jest rozbieżna, to całka
+∞
Z
a
h(x)dx jest rozbieżna.
Twierdzenie 1. pozostaje prawdziwe dla przedziałów (−∞; ai.
1
Całka niewłaściwa II rodzaju
Zał. Funkcja f jest określona w przedziale ha; b), gdzie a < b ∈ R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w lewostronnym sąsiedztwie punktu b i jest R – całkowalna w każdym przedziale
ha; b − i , 0 < < b − a.
Def. Całką niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi nazywamy granicę
lim
→0
+
b−
Z
a
f (x)dx
ozn
=
b
Z
a
f (x)dx
Zał. Funkcja f jest określona w przedziale (a; bi, gdzie a < b ∈ R, zmienia się w sposób nie-
ograniczony w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i jest R – całkowalna w każdym przedziale
ha + ; bi , 0 < < b − a.
Def. Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi nazywamy granicę
lim
→0
+
b
Z
a+
f (x)dx
ozn
=
b
Z
a
f (x)dx
Pojęcia zbieżności oraz rozbieżności dla całek II rodzaju definiujemy analogicznie jak dla całek
I rodzaju.
Uwaga 2.
1
Z
0
dx
x
α
jest zbieżna ⇔ α < 1.
Uwaga 3. Jeżeli istnieją całki niewłaściwe II rodzaju funkcji f na przedziałach ha; ci oraz hc; bi,
to istnieje całka niewłaściwa II rodzaju funkcji f na przedziale ha; bi i zachodzi równość
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx
Def. Zbieżną całkę niewłaściwą I rodzaju (odp.II rodzaju) funkcji f nazywamy bezwzględnie
zbieżną, jeśli jest zbieżna całka funkcji |f |. Jeżeli ta ostatnia całka jest rozbieżna, to całka funk-
cji f jest warunkowo zbieżna.
Uwaga 4. Jeżeli całka niewłaściwa funkcji |f | jest zbieżna i f jest R – całkowalna na każdym
odpowiednim podprzedziale przedziału zbieżności, to całka funkcji f jest zbieżna (bezwzględnie).
Szeregi liczbowe
(a
n
)
n∈N
– dowolny ciąg liczbowy (nieskończony);
Definiujemy nowy ciąg (S
n
) o wyrazie ogólnym S
n
df
= a
1
+ · · · + a
n
=
n
X
k=1
a
k
.
Def. Ciąg liczbowy (S
n
) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a
n
i oznaczamy:
∞
X
n=1
a
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ · · ·
2
Szereg
∞
X
n=1
a
n
nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa S = lim
n→∞
S
n
. W przeciwnym
wypadku szereg jest rozbieżny.
Liczbę S nazywamy sumą szeregu
∞
X
n=1
a
n
, piszemy też S =
∞
X
n=1
a
n
.
Def. Szeregi
∞
X
n=1
a
n
i
∞
X
n=1
b
n
są równe ⇔ a
n
= b
n
dla każdego n ∈ N.
Sumą szeregów
∞
X
n=1
a
n
i
∞
X
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i
∞
X
n=1
a
n
= A oraz
∞
X
n=1
b
n
= B, to
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
) = A + B.
Przyjmujemy ponadto: k ·
∞
X
n=1
a
n
=
∞
X
n=1
k · a
n
dla dowolnej liczby rzeczywistej k.
Tw.1(WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny, to lim
n→∞
a
n
= 0.
WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Uwaga 1. Jeśli (a
n
0, to ciąg sum (S
n
) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (S
n
) jest zbieżny
wtw gdy jest ograniczony z góry.
Tw.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę natu-
ralną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale hm; +∞), to szereg liczbowy
∞
X
n=m
f (n) i całka
Z
+∞
m
f (x)dx
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
Tw.2(kryterium porównawcze) Jeżeli
∞
X
n=1
a
n
oraz
∞
X
n=1
b
n
są szeregami o wyrazach nieujemnych
oraz a
n
¬ b
n
dla n > n
0
, to
1. jeżeli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg
∞
X
n=1
b
n
;
2. jeżeli szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to zbieżny jest szereg
∞
X
n=1
a
n
.
3