Mechanika dla studentów I roku

Zestaw 2: kinematyka

1. Kinematyka – jednostki.

a) Goł b osi ga szybko v = 1800 cm/s. Wyrazi t szybko w km/h.
b) Przyspieszenie a = 240 cm/s

2

wyrazi w m/min

2

.

c)

rednia szybko poci gu osobowego wynosi v = 54 km/h. Wyrazi t

szybko w cm/s.

d) Przyspieszenie a = 9,80 m/s

2

wyrazi w km/h

2

.

2. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si ruchem prostoliniowym bez pr dko ci pocz tkowej i ze stałym
przyspieszeniem o warto ci a = 18 cm/s

2

. Obliczy drog s przebyt przez to ciało w

ci gu t = 20 s, licz c od momentu rozpocz cia ruchu .

3. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si po linii prostej ze stałym co do warto ci przyspieszeniem a = 4,5
m/s

2

. Wyznaczy pr dko pocz tkow tego ciało, je eli wiadomo, e po czasie t = 5 s

od chwili rozpocz cia ruchu jego pr dko wynosi v = 3,25 m/s. Jak drog przebyło
to ciało w czasie pierwszych 5 s swego ruchu?

4. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si ruchem prostoliniowym bez pr dko ci pocz tkowej. Wiadomo, e w
ci gu pi tej sekundy ruchu ciało przebyło drog s = 3,6 m. Ile wynosi przyspieszenie
tego ciała.

5. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Dwie cz stki poruszaj si wzdłu osi OX, naprzeciw siebie, z szybko ciami
odpowiednio 1,5 m/s i 3,5 m/s. W chwili rozpocz cia ruchu cz stki s od siebie
odległe o 300 m. Kiedy i gdzie cz stki si spotkaj ? Zadania rozwi za rachunkiem
oraz wykre lnie.

6. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Dwie cz stki poruszaj si wzdłu osi OX z pr dko ciami odpowiednio v

1

= 8 m/s i v

2

= 4 m/s. Poło enia pocz tkowe obu cz stek wynosz x

1

(0) = -21 m, a x

2

(0) = 7 m. Po

jakim czasie pierwsza cz stka dogoni drug i w jakim miejscu to nast pi? Sporz dzi
wykres ruchu czyli wykres funkcji x

1

(t) i x

2

(t).

7. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Z miasta wyrusza samochód, poruszaj cy si ruchem jednostajnym prostoliniowym
(wzdłu osi OX) z szybko ci 80 km/h. Po upływie 1,5 h, w lad za samochodem
wyrusza motocykl, którego szybko wynosi 100 km/h. Po jakim czasie i w którym
miejscu motocykl dogoni samochód? Sporz dzi wykres ruchu x(t) dla samochodu i
motocykla.

8. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si ruchem prostoliniowym wzdłu osi OX i wiadomo, e x(t) = At +
B/(t+C)+Dt

3

. Warto ci stałych wynosz odpowiednio: A = 2 m/s, B = 1 m·s, C = 3 s

oraz D = 2 m/s

3

. Obliczy redni pr dko oraz rednie przyspieszenie tego ciała w

pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu. Obliczy tak e szybko i przyspieszenie
chwilowe po pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu

9. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si ruchem prostoliniowym wzdłu osi OX i wiadomo, e x(t) = At +
B/(t

2

+C)+Dt

2

. Warto ci stałych wynosz odpowiednio: A = 1 m/s, B = 2 m·s

2

, C = 3 s

2

oraz D = 3 m/s

2

. Obliczy redni pr dko oraz rednie przyspieszenie tego ciała w

pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu. Obliczy tak e szybko i przyspieszenie
chwilowe po pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu.

10. Kinematyka – ruch jednowymiarowy.

Ciało porusza si ruchem prostoliniowym wzdłu osi OX i wiadomo, e x(t) = A +
Bt

2

+Ct

3

. Warto ci stałych wynosz odpowiednio: A = 3 m, B = 2 m/s

2

, C = 1 m/s

3

.

Obliczy redni pr dko oraz rednie przyspieszenie tego ciała w pierwszej, drugiej
i trzeciej sekundzie ruchu. Obliczy tak e szybko i przyspieszenie chwilowe po
pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu

11. Kinematyka – ruch jednowymiarowy (spadek swobodny).

W szyb kopalni o gł boko ci h = 42,5 m spada swobodnie kamie . Po jakim czasie od
chwili puszczenia kamienia usłyszymy jego uderzenie w dno szybu? Szybko
rozchodzenia si fal głosowych w powietrzu wynosi c = 340 m/s.

12. Kinematyka – ruch jednowymiarowy (spadek swobodny).

Ciało spada swobodnie z wysoko ci h = 19,6 m. Jak drog ciało przeb dzie w ci gu
pierwszej 0,1 s ruchu, a jak w ci gu ostatniej 0,1 s ruchu? Opór powietrza zaniedba .

13. Kinematyka – ruch jednowymiarowy (spadek swobodny).

Ciało swobodnie spadaj ce przebyło w ostatniej sekundzie swego ruchu drog s = 23,1
m. Z jakiej wysoko ci spadło ciało i ile trwał cały spadek tego ciała?

14. Kinematyka – ruch dwuwymiarowy (rzut uko ny).

Pocisk wystrzelono z szybko ci v

0

i pod k tem do poziomu. Znale :

a) zale no współrz dnych pocisku od czasu x(t) oraz y(t);
b) równanie toru ruchu;
c) składowe pr dko ci v(t) oraz szybko v;
d) zasi g rzutu, czas jego trwania, maksymaln wysoko na jak wzniesie si pocisk.
Pod jakim k tem nale y wystrzeli pocisk, aby zasi g rzutu był maksymalny? Dla
jakiej warto ci k ta , zasi g rzutu b dzie dwa raz wi kszy od osi gni tej wysoko ci?
Opory powietrza zaniedba . Ruch odbywa si w obecno ci stałego i skierowanego
pionowo w dół przyspieszenia ziemskiego o warto ci g.

15. Kinematyka – ruch dwuwymiarowy (rzut poziomy).

Cz stk rzucono poziomo z szybko ci v

0x

= 15 m/s. Obliczy przyspieszenie

normalne i styczne tej cz stki oraz promie krzywizny toru

tej cz stki po czasie 1

sekundy od momentu rozpocz cia ruchu. Opory powietrza zaniedba . Ruch odbywa
si w obecno ci stałego i skierowanego pionowo w dół przyspieszenia ziemskiego o
warto ci g.

16. Kinematyka – ruch dwuwymiarowy.

Ruch cz stki opisuj równania:

( )

cos

,

( )

sin

,

x t

a

t

y t

a

t

ω

ω

=
=

gdzie a i



s dodatnimi stałymi. Znale

a) równanie toru ruchu;
b) składowe styczn i normaln przyspieszenia cz stki;
c) warto promienia krzywizny

.

17. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Ruch cz stki opisuj równania:

( )

/

2

( )

cos 2

, e

, 1

,

t

t

R

t

at

τ

ω

−





=

+





r

gdzie R,



, i a s stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?). Wyznaczy składowe

pr dko ci i przyspieszenia cz stki jako funkcje czasu.

18. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Ruch cz stki opisuj równania:

( )

/

4

( )

cos 3

, e

, 1

,

t

t

R

t

bt

τ

ω

−





=

+





r

gdzie R,



, i b s stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?). Wyznaczy składowe

pr dko ci i przyspieszenia cz stki jako funkcje czasu.

19. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Ruch cz stki opisuj równania:

( )

/

( )

sin

, e

, 1

,

t

t

R

t

ct

τ

ω

−





=

+





r

gdzie R,



, i c s stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?). Wyznaczy składowe

pr dko ci i przyspieszenia cz stki jako funkcje czasu.

20. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Równania ruchu dwóch cz stek opisuj równania:

2

1

01

1

1

2

02

2

1

( )

,

2

( )

,

t

t

t

t

t

=

+

+

=

+

r

r

v

a

r

r

v

gdzie odpowiednie wektory maj (w układzie jednostek SI) nast puj ce składowe:

01

1

1

02

2

[0, 2, 0],

[3,1, 2],

[2, 2, 0];

[1, 0,1],

[0, 2,1].

=

=

=

=

=

r

v

a

r

v

Wyznaczy :
a) pr dko u(t) cz stki drugiej wzgl dem cz stki pierwszej;
b) przyspieszenie a(t) cz stki drugiej wzgl dem cz stki pierwszej.

21. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Równania ruchu dwóch cz stek opisuj równania:

1

01

1

2

02

2

( )

,

( )

,

t

t

t

t

=

+

=

+

r

r

v

r

r

v

gdzie odpowiednie wektory maj (w układzie jednostek CGS) nast puj ce składowe:

01

1

02

2

[ 3, 0, 0],

[2, 0, 0];

[0, 3, 0],

[0, 3, 0].

= −

=

=

−

=

r

v

r

v

Wyznaczy pr dko u(t) cz stki drugiej wzgl dem cz stki pierwszej. Kiedy i gdzie
obie cz stki b d najbli ej siebie.

22. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Równania ruchu dwóch cz stek opisuj równania:

2

1

2

2

( )

4 9 , 1, 2

,

( )

2 7 ,1 8 , 5 ,

t

t

t

t

t

t

t





=

+

−

+









=

−

−

−





r

r

gdzie liczby w powy szym wzorze maj odpowiednie wymiary (jakie?). Opisa ruch
cz stki drugiej wzgl dem pierwszej wyznaczaj c odpowiedni wektor poło enia,
pr dko i przyspieszenie. Czy mo na okre li , jakim ruchem porusza si cz stka
druga wzgl dem cz stki pierwszej?

23. Kinematyka – ruch trójwymiarowy.

Cz stka porusza si ze stałym przyspieszeniem g, wzgl dem punktu O. Wiadomo, e
cz stka przechodzi przez trzy punkty P

1

, P

2

i P

3

w chwilach czasu t

1

, t

2

i t

3

. Poło enia

tych punktów wzgl dem punktu O okre lone s odpowiednio wektorami: r

1

, r

2

i r

3

.

Wyrazi g za pomoc t

1

, t

2

, t

3

, r

1

, r

2

i r

3

.

Wskazówki

•

Je eli ruch cz stki opisuje wektor poło enia r(t), to pr dko cz stki (zwan te
pr dko ci chwilow ) definiujemy jako pochodn tego wektora po czasie:

( )

( )

( ).

d t

t

t

dt

=

=

r

v

r

•

Przyspieszenie cz stki (zwane te przyspieszeniem chwilowym) definiujemy jako
pochodn wektora pr dko ci po czasie, co oznacza te drug pochodn wektora
poło enia po czasie:

( )

( )

( )

( ).

d t

t

t

t

dt

=

=

=

v

a

v

r

•

Wiadomo, e dla ruchu cz stki ze stał pr dko ci v

0

wzdłu osi OX, poło enie dane

jest wzorem:

0

0

( )

.

x t

x

v t

= +

W podanej relacji x

0

oznacza poło enie cz stki w chwili t = 0.

•

Wiadomo, e dla ruchu cz stki ze stałym przyspieszeniem a

0

wzdłu osi OX,

poło enie cz stki dane wzorem:

2

0

0

0

1

( )

.

2

x t

x

v t

a t

= +

+

W przypadku takiego ruchu, szybko cz stki dana jest wzorem:

0

0

( )

.

v t

v

a t

= +

W podanych relacjach x

0

oznacza poło enie cz stki w chwili t = 0, a v

0

oznacza

pr dko cz stki dla t = 0.

•

Wiadomo, e dla ruchu cz stki ze stał pr dko ci v

0

, poło enie dane jest wzorem:

0

0

( )

.

t

t

= +

r

r

v

W podanej relacji r

0

oznacza wektor poło enia cz stki w chwili t = 0.

•

Wiadomo, e dla ruchu cz stki ze stałym przyspieszeniem a

0

, poło enie cz stki dane

wzorem:

2

0

0

0

1

( )

.

2

t

t

t

= +

+

r

r

v

a

W przypadku takiego ruchu, pr dko cz stki dana jest wzorem:

0

0

( )

.

t

t

=

+

v

v

a

W podanych relacjach r

0

oznacza wektor poło enia cz stki w chwili t = 0, a v

0

oznacza pr dko cz stki dla t = 0.

•

Je eli poło enie cz stki opisane jest przez wektor wodz cy r(t), to redni pr dko
tej e cz stki w przedziale czasu (t

1

, t

2

) definiowana jest nast puj co:

2

1

1

2

2

1

( )

( )

( , )

.

sr

t

t

t t

t

t

−

=

−

r

r

v

•

Je eli pr dko cz stki opisana jest przez wektor v(t), to rednie przyspieszenie tej e
cz stki w przedziale czasu (t

1

, t

2

) definiowane jest nast puj co:

2

1

1

2

2

1

( )

( )

( , )

.

sr

t

t

t t

t

t

−

=

−

v

v

a

•

Szybko cz stki v definiujemy jako warto (długo ) wektora pr dko ci v:

.

v

=

v

•

Przyspieszenie styczne to rzut wektora przyspieszenia na prost styczn do toru ruchu.
Mo na udowodni , e warto tego przyspieszenia jest równa pochodnej czasowej z
szybko ci:

.

s

a

v

=

•

Przyspieszenie normalne to rzut wektora przyspieszenia na prost prostopadł do toru
ruchu i le c w tej samej płaszczy nie co wektor przyspieszenia i jego składowa
styczna. Warto ci przyspieszenia całkowitego, normalnego i stycznego zwi zane s
przez relacj wynikaj c z twierdzenia Pitagorasa.

•

Dla cz stki poruszaj cej si z szybko ci v i przyspieszeniem normalnym o warto ci
a

n

, promie krzywizny toru dany jest wzorem:

2

.

n

v

a

ρ

=

Uwaga!
Zadania 1, 14, 15 i 16 s przeznaczone dla wszystkich grup. Zadanie numer 23 jest zadaniem
nadobowi zkowym i jego rozwi zanie mo na nadsyła poczt elektroniczn do
prowadz cego wiczenia. Nadesłanie rozwi zania jest premiowane podobnie, jak poprawne
rozwi zanie zadania podczas wicze .

Pozostałe zadania s przydzielone dla poszczególnych grup według nast puj cego klucza:

•

Grupy poniedziałkowe – zadania 2, 5, 8, 11, 17, 20.

•

Grupy czwartkowe – zadania 3, 6, 9, 12, 18, 21.

•

Grupy pi tkowe – zadania 4, 7, 10, 13, 19, 22.

Prof. dr hab. Jerzy Konior
Dr Bartłomiej Głowacz
Dr Andrzej Odrzywołek
Dr Jakub Prauzner-Bechcicki
Dr Aleksandra Wro ska