Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
1
Prawa Zachowania
Zasady zachowania odgrywaj w fizyce szczególn rol“.
Oprócz zasad zachowania poznanych w szkole:
•
zasady zachowania p“du
•
zasady zachowania momentu p“du
•
zasady zachowania energii
istnieje wiele innych zasad zachowania jak np.
zasada zachowania »adunku
zasady zachowania masy
zasady zachowania liczby barionowej
(tj. liczby protonów, neutronów i innych tzw. czstek ci“ókich)
oraz bardziej egzotyczne
zasady zachowania dziwnoÑci
zasady zachowania parzystoÑci
i inne
Zasady te s ogólniejsze nió np. prawa Newtona.
Wynikaj z symetrii otaczajcego nas Ñwiata. (twierdzenie Noether 1918 r)
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
2
Zasada zachowania p“du
II zasada dynamiki Newtona dla ruchu post“powego zawiera zasad“ zachowania p“du:
Wniosek:
const.
=
p
0
=
F
r
r
⇔
Komentarz:
Zasada dynamiki Newtona jest równaniem wektorowym. Jest wi“c równowaóna 3 równaniom
skalarnym. Std jeÑli w uk»adzie wspó»rz“dnych kartezja½skich F
x
≠
0 a pozosta»e sk»adowe si»y znikaj
to zasada zachowania p“du spe»niona jest w kierunku osi Oy i Oz ale nie w kierunku Ox.
Zasada zachowania p“
“““du wynika z jednorodnoÑÑÑÑci przestrzeni
F
=
dt
p
d
r
r
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
3
Przyk»ad:
Dana jest czstka o masie m i energii mechanicznej E.
Czstka ta przekracza granic“ pomi“dzy dwoma oÑrodkami padajc na ni pod ktem
ϕ
1
.
Pod jakim ktem opuÑci ona granic“ pomi“dzy oÑrodkami jeÑli wiadomo, óe w oÑrodku, z którego nadlatuje
ma energi“ potencjaln E
p1
zaÑ w oÑrodku, do którego przechodzi ma energi“ E
p2
?
Wskazówki:
energia mechaniczna jest to suma energii kinetycznej i energii potencjalnej
oba oÑrodki s zachowawcze std energia mechaniczna jest zachowana
E
grad
-
=
F
p
r
E
-
E
=
2
v
m
E
-
E
=
2
v
m
E
+
E
=
E
p2
2
2
p1
2
1
k
p
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
4
Si»a dzia»a tylko wzd»uó kierunku prostopad»ego do granicy oÑrodków (w tym kierunku wyst“puje gradient
energii potencjalnej).
Std wzd»uó tej granicy spe»niona jest zasada zachowania p“du:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
2
2
1
2
2
1
1
=
v
v
v
m
=
v
m
sin
sin
sin
sin
Dla porównania prawo Sneliusa dla Ñwiat»a (fotony mają zerową masę !):
ϕ
ϕ
2
1
2
1
=
v
v
sin
sin
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
5
Zasada zachowania momentu p“du
N
=
dt
L
d
r
r
Wyjdziemy z II zasady dynamiki Newtona
p
r
L
dt
L
d
=
)
p
r
(
dt
d
=
)
dt
r
d
(m
dt
d
r
+
dt
r
d
m
dt
r
d
=
dt
)
v
d(m
r
F
r
=
dt
p
d
r
r
|
F
=
dt
p
d
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
≡
×
×
×
×
×
×
×
OtrzymaliÑmy II zasad“ dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
Gdy moment si»y
N
r
znika moment pedu jest sta»y.
Zasada dynamiki Newtona wyraóa wi“c zasad“
“““ zachowania.
Ta ostatnia ma zakres zastosowania o wiele szerszy: obowizuje równieó tam gdzie si»y nie s newtonowskie
oraz w mechanice kwantowej.
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
6
Prosty sposób na obliczenie momentu p“du we wspó»rz“dnych kartezja½skich:
Zasada zachowania momentu p
“
du wi
ó
e si
“
z izotropowo
Ñ
ci
przestrzeni:
uk»ad odoizolowany nie zmienia swoich w»asnoуi po obróceniu o dowolny kt.
przyk»ad si»a centralna
Definicja si»a jest centralna gdy
r
F
r
r
_
czyli gdy
i
)
r
(
F
=
F
r
r
r
wtedy:
0
F
x
r
=
N
r
r
r
r
≡
a wi“c
const.
=
L
r
Przyk»ady si» centralnych
si»a grawitacyjna
m
m
G
-
;
r
-
=
)
r
(
F
2
1
2
≡
κ
κ
F(r) < 0 oznacza si»“ przycigajc
si»a elektrostatyczna
ε
π
κ
κ
4
q
q
-
;
r
-
=
)
r
(
F
2
1
2
≡
p
p
p
z
y
x
k
j
i
=
)
L
,
L
,
L
(
=
L
z
y
x
z
y
x
r
r
r
r
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
7
Przyk»ad: moment pędu czstki swobodnej tj. gdy
0
=
F
,
N
r
r
zgodnie z II zasad dynamiki Newtona.
const.
=
b
v
m
=
r
v
m
=
L
θ
sin
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
8
Praca, moc, energia
Definicja Pracy:
Praca si»y
F
r
na drodze
r
d
r
jest równa
Poniewaó praca na ogó» praca zaleŜy od drogi Γ po jakiej zosta»a wykonana.
Wniosek z definicji pracy
Gdy si»a
r
d
F
r
r
⊥
to
0
=
dW
.
Przyk»ady
sila doÑrodkowa
r
m
-
=
F
2
r
r
ω
nie wykonuje pracy w ruchu po okr
“
gu
si»a Lorenza
)
B
x
v
(
q
=
F
r
r
r
dowód:
r
d
F
=
W
r
r
⋅
∫
Γ
r
d
F
=
dW
r
r
⋅
0
=
B
)
v
r
d
q(
=
r
d
)
B
v
(
q
=
dW
r
r
r
r
r
r
⋅
×
⋅
×
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
9
Przyk»ad praca si»y spr“óystej
r
k
-
=
F
r
r
k jest sta» spr“óystoÑci.
od punktu A (
0
=
r
r
) do punktu B (
0
r
≠
r
)
Praca jest ujemna: trzeba j wykonaƒ aby ruch si“ odby»
Jednostk
pracy jest dóul
s
m
kg
1
=
1m
1N
=
1J
2
2
2
r
k
-
=
W
dr
r
k
-
=
r
d
r
k
-
=
r
d
F
=
W
2
0
r
0
B
A
B
A
0
∫
∫
∫
⋅
⋅
Γ
Γ
r
r
r
r
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
10
Moc
Moc chwilowa
PodzieliliÑmy infinityzymalnie ma»y przyrost pracy
przez czas potrzebny do wykonania infinityzymalnie ma»ego przesuni“cia.
Jednostk mocy jest wat
Definiuje si“ teó moc
Ñ
redni
dt
W
t
-
t
1
=
t
W
=
>
P
<
t
t
1
0
∫
∆
0
1
v
F
=
P
dt
r
d
F
=
P
dt
dW
=
P
r
r
r
r
⋅
⋅
s
m
kg
=
1s
1J
=
1W
3
2
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
11
Energia Kinetyczna
Pomnoóymy obie strony II prawa Newtona przez
dt
v
=
s
d
r
r
s
d
F
=
s
d
dt
v
d
m
r
r
r
r
⋅
⋅
Interesuje nas wielkoу po lewej stronie znaku równoÑci:
)
v
m
2
1
(
d
=
v
d
v
m
=
dt
dt
v
d
m
=
s
d
dt
v
d
m
2
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
Wielkoу w nawiasie nazywamy energią kinetyczną
Std
dW
=
s
d
dt
p
d
=
E
d
k
r
r
⋅
Przyrost energii kinetycznej okazuje si“ równy pracy wykonanej na uk»adzie.
Jednostka energii kinetycznej jest teó dóul
ale bywa uóywana elektronowolt
1 eV = 1,602189 10
-19
J
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
12
Rozpatrzmy ruch badanego cia»a pomi“dzy punktami A i B toru Γ:
Wnioski
jest to sposób na pomiar pracy bez potrzeby znajomoÑci toru Γ
moc chwilowa wiaóe si“ z szybkosci zmian energii kinetycznej
W
=
r
d
F
=
E
d
B
A
k
B
A
r
r
⋅
∫
∫
Γ
dt
E
d
=
)
v
v
(
dt
d
2
1
m
=
v
dt
v
d
m
=
v
F
=
dt
dW
k
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
13
Energia potencjalna
Na ogó» si»a
t)
,
v
,
r
(
F
=
F
r
r
r
r
.
Cz“sto mamy do czynienia z si» niezaleón jawnie od czasu
)
v
,
r
(
F
=
F
r
r
r
r
przy czym zarówno po»oóenia jak i pr“dkoÑci s funkcjami czasu i s
poszukiwane.
Wtedy:
zawodzi proste ca»kowanie po czasie funkcji
)
(t)
v
,
(t)
r
(
F
=
F
r
r
r
r
:
jeÑli chcemy znaleïƒ pr“dkoу z równania ruchu Newtona tj. z
to nawet jeÑli funkcja
)
(t)
r
(
F
=
)
v
,
r
(
F
=
F
r
r
r
r
r
r
tylko to i tak nie moóemy wykonaƒ
calkowania
dt
F
m
1
=
(t)
v
r
r
∫
bez jawnej postaci (t)
r
r
.
Szukamy więc takiego sposobu rozwiązania zagadnienia ruchu aby ca»kowaƒ po dr
a nie po dt.
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
14
Istnieje obszerna klasa si»:
si»»»»y zachowawcze
dla których nie jest potrzebna znajomoу kszta»tu toru aby móc wyznaczyƒ prac“.
Definicja:
F
r
jest si» zachowawcz jeóeli
tak, óe
gdzie E
p
jest jednoznaczną funkcją skalarn promienia wodzącego
r
r
, która jest ciąg»a wraz z pochodnymi i
niezaleóna od czasu.
E
p
nazywamy potencja
»
em si
»
y
lub energi
potencjaln
WaŜny związek:
gdzie gradient funkcji f(x,y,z) jest wektorem o składowych
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
f
y
f
x
f
,
,
(w układzie kartezjańskim)
)
r
(
F
=
t)
,
v
,
r
(
F
r
r
r
r
r
E
d
-
=
r
d
F
=
dW
p
r
r
⋅
)
,
,
(
z
y
x
E
grad
F
p
−
=
r
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
15
Konsekwencje definicji energii potencjalnej:
Niech E
p
istnieje.
Wtedy
E
-
E
=
)
E
-
E
(
-
=
E
d
-
=
r
d
F
=
W
p
p
p
p
p
B
A
B
A
B
A
A
B
∫
∫
⋅
Γ
r
r
Praca si»y zachowawczej pomi“dzy dwoma punktami A i B nie zaleóy od wyboru drogi pomiedzy tymi
punktami.
cyrkulacja si»»»»y zachowawczej po drodze zamkniętej
ΓΓΓΓ
znika
0
=
r
d
F
r
r
⋅
∫
Γ
to wyraóenie moóe s»uóyƒ jako definicja si»y zachowawczej
w analizie wektorowej dowodzi si““““, óóóóe znikanie cyrkulacji danego wektora jest równoznaczne
z istnieniem związanej z nim funkcji E
p
(
r
r
).
Energia potencjalna okreÑlona jest z dok»adnoÑci do pewnej sta»ej addytywnej, która zaleóy od
wyboru punktu odniesienia.
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
16
Zasada zachowania energii
Dla si»»»» zachowawczych
(
)
0
=
+
p
k
dE
E
d
Ta sama zasada zachowania w postaci ca»kowej:
Porzdkujc otrzymuje si“
Wniosek
Energia mechaniczna E
k
+ E
p
= E
pozostaje sta»a podczas ruchu pod wp»ywem si» zachowawczych.
Zasada zachowania dla si»»»» niezachowawczych
Na ogó» si»y niezachowawcze
)
v
(
F
=
F
r
r
r
i s przeciwnie skierowane do kierunku pr“dkosci.
Przyk»ad si»a tarcia lepkiego
E
-
E
=
E
-
E
=
r
d
F
=
W
p
p
k
k
B
A
B
A
A
B
r
r
⋅
∫
)
E
+
E
(
=
)
E
+
E
(
A
p
k
B
p
k
v
-
=
dt
dW
=
P
dt
v
-
=
dt
dt
r
d
v
-
=
r
d
v
-
=
r
d
F
=
dW
v
-
=
F
2
2
o
o
γ
γ
γ
γ
γ
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
Fizyka Ogólna:
Wyk
»
ad 2
17
Gdy na punkt materialny dzia»ają jednoczeÑnie si»y zachowawcze i niezachowawcze:
Zawsze:
dE
=
r
d
F
=
dW
k
r
r
⋅
dla dowolnej si
»
y
F
r
dlatego
Zasada zachowania energii:
Zmiana energii mechanicznej jest równa pracy si»»»» niezachowawczych.
Przyk»ad
Wyóej wymieniona si»a oporu jest si»ą niezachowawcz stąd
0
<
dt
v
-
=
dW
2
nz
γ
dW
+
E
d
-
=
r
d
F
+
r
d
F
=
r
d
)
F
+
F
(
=
dW
nz
p
nz
z
nz
z
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
dW
=
dE
=
dE
+
dE
nz
p
k