x
2
Zadanie 11.1. W zaznaczonych punktach przekroju utwierdzenia obliczyć wartości naprężeń,
wyznaczyć kierunki główne i naprężenia główne. Wektory naprężeń zaznaczyć na
elementarnych wycinkach materiału pręta, narysować odpowiednie koło Mohra.
Dane: P = 20 kN, a = 0,5 m.
Zwroty osi koła Mohra odpowiadają dodatnim zwrotom wektorów naprężeń na dodatniej
ś
ciance przekroju poprzecznego.
σ
=
13°
σ
b
τ
12=
τ
max
τ
12=
τ
max
C
d
e
a
=
jest naprężeniem głównym
45°
-13°
=
jest naprężeniem
głównym
σ
σ
σ
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
∝ = 13° ,
∝ + 90° = 103°
∝ = 45° ,
∝ + 90° = 135°
∝ = −13° ,
∝ + 90° = 77°
∝ = 0° , ∝ + 90° = 90°
∝ = 0° , ∝ + 90° = 90°
α
o
α
o
α
o
σσσσ
α
α
α − α
1
x
2
x
a/2
A
P
B
P
Pa
[MPa]
29,3
29,3
1,2
5 kNm
20 kN
8 cm
1
6
c
m
x
3
C
0,9
0,9
σ
g
τ
58,6
58,6
d
b
a
e
x
1
a/2
Siły przekrojowe w
α−α
: P = 20 kN, M
A
= -20 kN·0,25m = 5 kNm.
Charakterystyki przekroju: A = 126 cm
2
, J
x3
= 2731 cm
4
, W
3
= 341 cm
3
Obliczenia składowych ogólnych naprężenia.
W każdym punkcie przekroju:
( ) = ( ) oraz
σ
22
= 0, ponieważ teoria zginania
zakłada brak oddziaływań poprzecznych pomiędzy włóknami.
Punkt a :
=
!! "#$
%& $
'
= 1,47
"#
$
(
= 14,7 )*+ ,
= 0 .
Punkt b :
=
!! "#$
-% $
'
4 ./ = 0,73
"#
$
(
= 7,3 )*+ ,
=
!"#∙1∙&∙2$
'
-% $
3
∙ 1$
= 0,18
"#
$
(
= 1,8 )*+ .
Punkt C :
= 0 ,
=
!"#∙1∙1∙&$
'
-% $
3
1$
= 0,23
"#
$
(
= 2,3 )*+ .
Ze względu na symetrię przekroju:
= −7,3 )*+,
= 1,8 )*+ ,
= −14,7 )*+,
= 0.
Obliczenia składowych głównych naprężenia i kierunków głównych.
Kąt nachylenia kierunków głównych:
67 2 ∝ =
8
9(
:
99
:
((
.
Wartości naprężeń głównych:
,
=
:
99
;:
((
± 0,5=(
−
) + 4 .
Punkt a :
= 14,7 )*+ , = 0 ,
= 0 .
Punkt b :
,
=
-,%
± 0,5>7,3 + 4 ∙ 1,8 = 3,65 ± 4,07 )*+ ,
= 7,72 )*+, = −0,42 )*+ .
67 2 ∝ =
∙ ,1
-,%
= 0.49315 → A = 13,13° , A +
B
= 103,13° .
Punkt C
:
,
= 0 ± 0,5>0 + 4 ∙ 2,3 = ±4,6 )*+ ,
= 4,6 )*+, = −4,6 )*+ .
67 2 ∝ =
∙ ,%
!
= ∞ → A = 45° , A +
B
= 135° .
Punkt d :
,
=
-,%
± 0,5>7,3 + 4 ∙ 1,8 = −3,65 ± 4,07 )*+ ,
= 0,42 )*+, = −7,72 )*+ .
67 2 ∝ =
∙ ,1
-,%
= −0.49315 → A = −13,13° , A +
B
= −03,13° .
Punkt e :
= −14,7 )*+ , = 0 ,
= 0 .
Naprężenia normalne i styczne do przekroju stanowią składowe ogólne stanu naprężenia.
Uwaga: Obliczone naprężenia główne nie przekraczają ekstremalnych wartości składowych
ogólnych naprężeń występujących w skrajnych włóknach belki. Taka sytuacja występuje
przeważnie w belkach o przekroju prostokątnym. W przypadku, kiedy obliczone naprężenia
główne są wyraźnie większe od maksymalnych naprężeń normalnych przy projektowaniu
trzeba uwzględnić wartości naprężeń głównych a nie składowe ogólne naprężenia.
Na rysunku przedstawiono stan naprężenia w otoczeniu punktów oznaczonych na przekroju
oraz na odpowiednio zorientowanych elementach kierunki i zwroty naprężeń głównych. Stan
naprężenia kolejnych punktów zilustrowano również na kole Mohra.