1
Dr hab. inŜ. Michał LISOWSKI, prof. P.Wr.
michal.lisowski@pwr.wroc.pl
Uwaga: poniŜsze materiały maja charakter autorski na prawach rękopisu. Ich udostępnianie
bez zgody autora, a takŜe rozpowszechnianie jest prawnie zabronione.
Wykład 5
BŁĄD POMIARU
Bezwzględny błąd pomiaru jest róŜnicą miedzy wynikiem pomiaru a wartością
prawdziwą wielkości mierzonej:
∆
∆
∆
∆X = X
s
- X
p
,
gdzie: X
s
— wynik surowy,
X
p
— wartość prawdziwa wielkości mierzonej.
Ma on jakąś konkretną wartość, ale niestety nie zawsze jest ona znana, poniewaŜ we
wzorze definicyjnym występuje nie zawsze znana wartość prawdziwa.
Błąd pomiaru jest wskaźnikiem stopnia zgodności wyniku pomiaru i wartości
prawdziwej. Niestety wartość błędu nie jest dokładnie znana, lub nieznana, bowiem nie jest
znana dokładnie, lub wcale, wartość prawdziwa wielkości mierzonej.
Wynik surowy jest to wynik pomiaru przed korekcją błędu systematycznego.
Przy powtarzaniu pomiarów wartość błędu będzie się zmieniała, co uwidoczni się w
zmienności wyników X
s
, poniewaŜ błąd pomiaru jest wypadkową dwóch składowych:
• błędu systematycznego ∆
∆
∆
∆
s
X
,
• błędu przypadkowego ∆
∆
∆
∆
p
X,
czyli
∆
∆
∆
∆
X =
∆
∆
∆
∆
s
X
+ ∆
∆
∆
∆
p
X
Błąd systematyczny zdefiniowany jest następująco:
„Błąd systematyczny jest róŜnicą między wartością średnią
Χ
Χ
Χ
Χ
śr
z nieskończonej liczby
wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach
powtarzalności, a wartością prawdziwą wielkości mierzonej
Χ
Χ
Χ
Χ
p
":
∆
∆
∆
∆
s
Χ
Χ
Χ
Χ
=
=
=
=
Χ
Χ
Χ
Χ
śr
−
−
−
−
Χ
Χ
Χ
Χ
p
.
Warunki powtarzalności obejmują: tę samą procedurę pomiarową, tego samego
obserwatora, ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych warunkach, to samo
miejsce, powtarzanie w krótkich odstępach czasu. Błąd systematyczny ma stałą
powtarzającą wartość w czasie pomiaru. Stąd jego nazwa. MoŜe on być wyeliminowany
przez wprowadzenie poprawki.
Błąd przypadkowy ma następującą definicję:
2
„Błąd przypadkowy jest róŜnicą między wynikiem pomiaru X a średnią
Χ
Χ
Χ
Χ
śr
z
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych
w warunkach powtarzalności":
∆
∆
∆
∆
p
Χ
Χ
Χ
Χ
=
=
=
=
Χ
Χ
Χ
Χ
−
−
−
−
Χ
Χ
Χ
Χ
śr
.
Błędy przypadkowe maja zawsze rozkład losowy (przypadkowy) i dlatego nie moŜna
ich wyeliminować przez wprowadzenie poprawki. Ich wpływ na w wartość średnią wyników
pomiarów moŜna zmniejszyć powtarzając wielokrotnie pomiary. Wartość średnia tych
wyników nie będzie obarczona błędami przypadkowymi, jeŜeli liczba pomiarów będzie
nieskończenie duŜa.
Całkowity błąd pomiaru
∆
∆
∆
∆
Χ
Χ
Χ
Χ
=
=
=
= ∆
∆
∆
∆
s
Χ
Χ
Χ
Χ
+ ∆
∆
∆
∆
p
Χ
Χ
Χ
Χ
.
Względny błąd pomiaru zdefiniowany jest jako stosunek bezwzględnego błędu
pomiaru do wartości prawdziwej, czyli
p
X
X
X
∆
=
δ
lub
[%]
100
⋅
∆
=
p
X
X
X
δ
.
JeŜeli wartość prawdziwa nie jest znana, to wówczas do odniesienia błędu zamiast wartości
prawdziwej przyjmuje się wynik surowy (wartość zmierzoną) i powyŜsze wzory przyjmują
wówczas postać:
s
X
X
X
∆
=
δ
lub
[%]
100
⋅
∆
=
s
X
X
X
δ
.
POPRAWKA
JeŜeli znana jest wartość błędu systematycznego, to moŜna go wyeliminować z
wyniku pomiaru poprzez wprowadzenie poprawki. Poprawka ma wartość błędu
systematycznego, ale ze znakiem przeciwnym:
p(X) = - ∆
∆
∆
∆
s
X
Zatem poprawka jest wartością dodawaną algebraicznie do surowego wyniku
pomiaru w celu skompensowania błędu systematycznego.
Wynik pomiaru po korekcji błędu systematycznego nazywamy wynikiem
poprawionym.
WZORCOWANIE PRZYRZĄDÓW
Błędy systematyczne przyrządów pomiarowych wyznacza się podczas ich wzorcowania.
W procesie wzorcowania przyrządów pomiarowych porównuje się wskazania przyrządu
badanego ze wskazaniami przyrządu wzorcowego. Przyrząd wzorcowy powinien być znacznie
dokładniejszy od przyrządu badanego (wzorcowanego). RóŜnica między wskazaniem przyrządu
badanego a przyrządu wzorcowego jest błędem wskazań przyrządu wzorcowanego. Podczas
pomiarów przyrządem wywzorcowanym wartość tego błędu ze znakiem przeciwnym moŜemy
dodać do wskazania przyrządu, aŜeby uzyskać wynik poprawny.
3
Przykład świadectwa wzorcowania
LOGO FIRMY
NAZWA LABORATORIUM WZORCUJACEGO
tel:
fax:
ŚWIADECTWO WZORCOWANIA
Nr
Data wydania: 27 września 2005 r.
Liczba stron: 4
PRZEDMIOT
WZORCOWANIA
Woltomierz magnetoelektryczny 3 V 1500 Ω, klasy 0,5 napięcia stałego,
typ TLME – 2 firmy era, nr fab. 1111544 z opornikiem dodatkowym typ,
OD1 do miernika 3 V 1500 Ω klasy 0,2 o zakresach pomiarowych: 7,5 V,
15 V, 30 V, 75 V, 150 V, 300 V, 750 V, firmy ERA, nr fab. 20172.
ZGŁASZAJĄCY
Instytut Elektrotechniki, Oddział Technologii i Materiałoznawstwa
Elektrotechnicznego, Pracownia Pomiarów i Diagnostyki.
METODA
WZORCOWANIA
Metoda bezpośrednia i interpolacyjna – zgodnie z procedurą
wzorcowania analogowych przyrządów pomiarowych - PW-
1/IEL/OTiME/LB.
WARUNKI
ŚRODOWISKOWE
Temperatura otoczenia (23 ± 1) °C, wilgotność względna (58 ± 3) %.
DATA WYKONANIA
WZORCOWANIA
27 września 2005 r.
SPÓJNOŚĆ
POMIAROWA
Wyniki wzorcowania woltomierza magnetoelektrycznego zostały
odniesione do wzorca państwowego jednostki miary za pośrednictwem
multimetru cyfrowego firmy Hewlett Packard typu 34401A o nr fab.
314A56323 (świadectwo wzorcowania OUM we Wrocławiu).
WYNIKI
WZORCOWANIA
Podano na stronach 2 ÷ 3 niniejszego świadectwa.
NIEPEWNOŚĆ
WYNIKÓW
WZORCOWANIA
Niepewność pomiaru została określona zgodnie z dokumentem EA-4/02
Podane wartości niepewności stanowią niepewności rozszerzone przy
poziomie ufności 95 % i współczynniku rozszerzenia k=1,65 dla metody
bezpośredniej i k=2 dla metody interpolacyjnej.
ZGODNOŚĆ
Z WYMAGANIAMI
W wyniku wzorcowania stwierdzono, Ŝe na wszystkich wzorcowanych
zakresach błędy wskazań przyrządu nie przekraczają wartości,
określonych dopuszczalnym błędem podstawowym podanym przez
producenta.
Kierownik Laboratorium
Wzorcowania
Przyrządów Pomiarowych
Niniejsze świadectwo moŜe być okazywane lub kopiowane tylko w całości.
4
METODA WZORCOWANIA
Dla zakresu 3 V wzorcowanie wykonano metodą bezpośrednia przez porównanie
wskazań przyrządu wzorcowanego ze wskazaniami cyfrowego woltomierza wzorcowego.
Wzorcowanie wykonano dla rosnących i malejących wartości wskazań przyrządu dla
wszystkich ocyfrowanych wskazów. W tabelach z wynikami pomiarów podano wartości
średnie dla kaŜdego wskazania. Dla pozostałych zakresów wzorcowanie wykonano dla
końców kaŜdego zakresu pomiarowego, a błędy wskazań w pozostałych punktach obliczono
metodą interpolacyjną.
WYNIKI WZORCOWANIA
Wyniki wzorcowania podano w tabelach 1 ÷ 3, w których oznaczono przez:
α
x
– wychylenie wzorcowanego miernika,
U
x
– wartość napięcia wskazana przez wzorcowany miernik,
U
w
– wartość poprawna napięcia (wzorcowa),
u(U
odcz
).– niepewność standardowa odczytu napięcia wskazanego przez
wzorcowany miernik,
u(U
w
) – niepewność standardowa wartości napięcia wskazanego przez
przyrząd wzorcowy,
∆α
x
– błąd bezwzględny wskazania wzorcowanego miernika wyraŜony w
działkach,
U(∆α
x
) – niepewność rozszerzona wyznaczonej wartości błędu wskazań
wzorcowanego miernika wyraŜona w działkach, określona przy
poziomie ufności 0,95,
∆
dop
α
x
– dopuszczalny błąd bezwzględny napięcia wzorcowanego miernika
wyraŜony w działkach.
Tabela 1. Wyniki wzorcowania wraz z ich niepewnościami dla zakresu 3 V
α
x
U
x
U
w
u(U
odcz
)
u(U
w
)
∆α
x
U(∆α
x
)
∆
dop
α
x
L.p.
dz
V
V
V
V
dz
dz
dz
1.
0,0
0,000
0,00006
0,00000
0,0
2.
10,0
0,400
0,40145
0,00002
0,0
3.
20,0
0,800
0,80169
0,00004
0,0
4.
30,0
1,200
1,2014
0,0001
0,0
5.
40,0
1,600
1,6039
0,0001
-0,1
6.
50,0
2,000
2,0071
0,0001
-0,2
7.
60,0
2,400
2,4075
0,0001
-0,2
8.
70,0
2,800
2,8087
0,0001
-0,2
9.
75,0
3,000
3,0116
0,0024
0,0001
-0,3
0,1
±0,4
5
Tabela 2. Wyniki wzorcowania przyrządu dla pozostałych zakresów dla górnej granicy
zakresu pomiarowego (α
x
=75 dz)
U
x
U
wśr
u(U
odcz
)
u(U
w
)
∆α
x
U(∆α
x
)
∆
dop
α
x
L.p.
V
V
V
V
dz
dz
dz
1.
7,5
7,5273
0,01
0,0003
-0,3
2.
15
15,066
0,01
0,001
-0,3
3.
30
30,135
0,02
0,002
-0,3
4.
75
75,326
0,06
0,004
-0,3
5.
150
150,78
0,12
0,01
-0,4
6.
300
301,36
0,23
0,02
-0,3
7.
750
753,13
0,58
0,04
-0,3
0,1
±0,4
Tabela 3. Wyniki wzorcowania dla wszystkich zakresów przyrządu pomiarowego wyraŜone
w działkach
Zakres 3 V
Zakres 7,5 V
Zakres 15 V
Zakres 30 V
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
L.p.
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
1.
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
2.
10,0 0,0
10,0 0,0
10,0 0,0
10,0 0,0
3.
20,0 0,0
20,0 0,0
20,0 0,0
20,0 0,0
4.
30,0 0,0
30,0 0,0
30,0 0,0
30,0 0,0
5.
40,0 -0,1
40,0 -0,1
40,0 -0,1
40,0 -0,1
6.
50,0 -0,2
50,0 -0,2
50,0 -0,2
50,0 -0,2
7.
60,0 -0,2
60,0 -0,2
60,0 -0,2
60,0 -0,2
8.
70,0 -0,2
70,0 -0,2
0,2
70,0 -0,2
0,2
70,0 -0,2
0,2
9.
75,0 -0,3
0,1
75,0 -0,3
0,1
75,0 -0,3
0,1
75,0 -0,3
0,1
6
Tabela 3. Ciąg dalszy
Zakres 75 V
Zakres 150 V
Zakres 300 V
Zakres 750 V
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
α
x
∆α
x
U(∆α
x
)
L.p.
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
dz
1.
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
2.
10,0 0,0
10,0 0,0
10,0 0,0
10,0 0,0
3.
20,0 0,0
20,0 0,0
20,0 0,0
20,0 0,0
4.
30,0 0,0
30,0 0,0
30,0 0,0
30,0 0,0
5.
40,0 -0,1
40,0 -0,1
40,0 -0,1
40,0 -0,1
6.
50,0 -0,2
50,0 -0,3
50,0 -0,2
50,0 -0,2
7.
60,0 -0,2
60,0 -0,3
60,0 -0,2
60,0 -0,2
8.
70,0 -0,2
0,2
70,0 -0,3
0,2
70,0 -0,2
0,2
70,0 -0,2
0,2
9.
75,0 -0,3
0,1
75,0 -0,4
0,1
75,0 -0,3
0,1
75,0 -0,3
0,1
Uwaga: W tabeli 3 tłustym drukiem podano wyniki uzyskane metodą bezpośrednią
zamieszczone w tabeli 2.
Pomiary wykonał:
……………………………………
Sprawdził
Kierownik Laboratorium Wzorcowania
Przyrządów Pomiarowych
…………………………………………….....
dr hab. inŜ. Michał Lisowski
Wskazania przyrządu wzorcowego teŜ są obarczone jakimiś błędami, często o nieznanych
wartościach, zatem i wyznaczone poprawki są obarczone jakimiś błędami, których wartości nie
znamy. MoŜemy tylko z pewnym prawdopodobieństwem oszacować granice tych błędów. Tak
oszacowane granice błędów nazywamy niepewnością pomiarów.
7
LEGALIZACJA PRZYRZĄDÓW
Legalizacja jest zespołem czynności objętych prawną kontrolą metrologiczną
przyrządów pomiarowych. Obejmuje ona sprawdzenie, stwierdzenie i poświadczenie
świadectwem legalizacji, Ŝe przyrząd pomiarowy spełnia wymagania określone w przepisach
prawnych. Legalizacji podlegają przyrządy pomiarowe, stosowane:
1) w ochronie zdrowia, Ŝycia i środowiska,
2) w ochronie bezpieczeństwa i porządku publicznego,
3) w ochronie praw konsumenta,
4) przy pobieraniu opłat, podatków i niepodatkowych naleŜności budŜetowych oraz ustalaniu
opustów, kar umownych, wynagrodzeń i odszkodowań, a takŜe przy pobieraniu i ustalaniu
podobnych naleŜności i świadczeń,
5) przy dokonywaniu kontroli celnej,
6) w obrocie (handlu).
Przyrządy pomiarowe podlegające legalizacji mogą być wprowadzane do obrotu i
uŜytkowane tylko wówczas, jeŜeli posiadają odpowiednio waŜną legalizację. Prawna kontrola
metrologiczna przyrządów pomiarowych jest wykonywana przez organy administracji miar
oraz, w zakresie udzielonych upowaŜnień, przez upowaŜnione akredytowane laboratoria
wzorcujące.
Świadectwa legalizacji wyglądają podobnie do świadectw wzorcowania. W rubryce
„zgodność z wymaganiami” powinno być powołanie się na odpowiednie przepisy prawne. W
świadectwach legalizacji mogą być pominięte wyniki tabelaryczne z konkretnymi
wartościami błędów.
DOKŁADNOŚĆ POMIARÓW
Według Międzynarodowego Słownika Podstawowych i Ogólnych Terminów
Metrologii: Dokładność pomiaru jest stopniem zgodności wyniku pomiaru z wartością
rzeczywistą (prawdziwą) wielkości mierzonej.
Dokładność pomiaru moŜe być:
• duŜa,
• mała,
• wysoka,
• niska,
• większa,
• mniejsza,
• wyŜsza,
• niŜsza, itd.
Nie moŜna jej wprost przyporządkować liczby.
Oprócz dokładności pomiaru istnieje pojęcie
niedokładność pomiaru.
Według normy
PN-71/N-020050 Metrologia. Nazwy i określenia:
niedokładność wyraŜona przez zespół błędów granicznych, zawierający wszystkie błędy
systematyczne oraz graniczne błędy przypadkowe.
Istnieje takŜe pojęcie błędu granicznego jako granic dopuszczalnych błędów, np.
przyrządu pomiarowego. Według Międzynarodowego Słownika Podstawowych i Ogólnych
Terminów Metrologii:
8
błędy graniczne dopuszczalne (przyrządu pomiarowego) są to, granice błędów
dopuszczalnych (przyrządu pomiarowego), czyli wartości skrajne błędów, dopuszczalne
przez warunki techniczne lub wymagania, dotyczące danego przyrządu pomiarowego.
NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARÓW
KaŜdy wynik pomiaru X powinien być podany wraz z obliczoną lub oszacowaną
niepewnością u(X), a więc w postaci
Wynik pomiaru, dla którego podano niepewność staje się wynikiem wiarygodnym,
gdyŜ informuje on o przedziale wartości
w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość mierzonej
wielkości X
p
.
Niepewność = wątpliwość
Niepewność oznacza wątpliwość co do wartości wyniku pomiaru. Międzynarodowy
słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii (tłumaczenie polskie: Główny Urząd
Miar, 1996) podaje: „Niepewność pomiaru – parametr, związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości, które moŜna w uzasadniony sposób przypisać
wielkości mierzonej”
W międzynarodowym przewodniku: WyraŜenie niepewności pomiaru (tłumaczenie polskie:
Główny Urząd Miar, 1999) czytamy:
„Niepewność pomiaru obrazuje brak dokładnej znajomości wartości wielkości
mierzonej. Wynik pomiaru po korekcji rozpoznanych dokładności systematycznych
pozostaje wciąŜ tylko estymatą wartości wielkości mierzonej, a to z powodu
niedoskonałości wynikającej z oddziaływań przypadkowych i niedoskonałej korekcji
oddziaływań systematycznych”
Norma dotycząca działalności laboratoriów badawczych i wzorcujących PN-EN
ISO/IEC 17025:2005 w p. 5.4.6.2 podaje:
„Laboratoria badawcze powinny mieć i stosować procedury szacowania niepewności
pomiarów”,
a w p. 5.10.3c:
„Sprawozdanie z badań powinno zawierać stwierdzenie, gdy ma to zastosowanie,
dotyczące oszacowanej niepewności pomiaru”.
( )
.
X
U
X
X
p
±
=
( )
( )
X
U
X
X
X
U
X
p
+
≤
≤
−