MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych

Analiza kinematyczna   służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być 

konstrukcją budowlaną.

Podstawowym   pojęciem   stosowanym   w   analizie   kinematycznej   belek   i   ram   płaskich   jest  tarcza 

sztywna. Jest  to uogólnienie znanej  z  kursu fizyki bryły sztywnej  czyli ciała, którego odkształcanie w 
warunkach   danego   zagadnienia   jest   zaniedbywalnie   małe   a   odległość   pomiędzy   dwoma   dowolnymi 
punktami bryły sztywnej jest stała niezależnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie 
wyobrazić jako bardzo cienką, płaską bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem 
na nią działającym znajdują się na jednej płaszczyźnie.

Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje 

mierzone   w  rzeczywistych  konstrukcjach  są   bardzo  małe   w  porównaniu  z  jej  wymiarami.  Można  więc 
przyjąć,   że   analizujemy   konstrukcję   niezdeformowaną   czyli   tak   zwaną  konfigurację   pierwotną 
konstrukcji. Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia. 

Następnym   bardzo   ważnym   pojęciem   przy  analizie   kinematycznej   jest  stopień   swobody.   Jest   to 

niezależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba 
określa   nam  liczbę  stopni   swobody  tarczy sztywnej.  Aby  znać   dokładne   położenie   tarczy  sztywnej  na 
płaszczyźnie wystarczy znać położenie dowolnego odcinka AB. Położenie tego odcinka może być opisane za 
pomocą   dwóch   współrzędnych   punktu  A  (x

A

  i   y

A

)  i   kąta  

α

,   który   jest   kątem   nachylenia   odcinka  AB. 

Przedstawia   to   rysunek   1.1.   Można   więc   stwierdzić,   że  pojedyncza   tarcza   sztywna   posiada   na 
płaszczyźnie trzy stopnie swobody. 

X

Y

A

B

x

A

y

A

α

Rys. 1.1. Stopnie swobody tarczy sztywnej na płaszczyźnie

Od konstrukcji budowlanej wymagamy aby  nie była ona mechanizmem i pozostała nieruchoma 

pod   wpływem   obciążenia.  Aby   tak   było   należy   odebrać   jej   wszystkie   stopnie   swobody.   Robi   się   to 
przymocowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów. Tarczą podporową 
w przypadku rzeczywistych konstrukcji jest na przykład podłoże gruntowe.

Pierwszym rodzajem więzu jest  pręt podporowy. Został on przedstawiony na rysunku 1.2 a i b. 

Schemat pręta podporowego przedstawia rysunek 1.2 c.

Jak widać na rysunku 1.2 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie 

punktu) A. Tarczę sztywną podpartą  prętem podporowym przedstawia rysunek 1.3. Do opisu położenia 
tarczy sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry 
(kąty 

α

 oraz 

β

). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że 

pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody.

Drugim rodzajem więzu jest  przegub. Przedstawia go rysunek 1.4. Tarcza sztywna ma możliwość 

obrotu względem takiego przegubu.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

2

Przegub przedstawiony na rysunku 1.4 nazywa się  przegubem rzeczywistym. Do opisu położenia 

tarczy sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr 
(kąt nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Przedstawia to rysunek 1.5. Tarcza sztywna utraciła więc dwa 
stopnie swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że  przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej 
dwa stopnie swobody.

A

A

a)

b)

c)

A

Rys. 1.2. Pręt podporowy

A

α

β

Rys. 1.3. Stopnie swobody tarczy sztywnej popartej prętem podporowym

A

A

a)

b)

c)

A

Rys. 1.4. Przegub

A

α

Rys. 1.5. Stopnień swobody tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym

Przegub może być także  utworzony z dwóch prętów  podporowych. Mówimy wtedy o  przegubie 

fikcyjnym. Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to 
rysunek 1.6. Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do 
siebie   równoległe.  Wtedy   przegub   fikcyjny   znajduje   się   w   nieskończoności   i   taki   przegub   nazywa   się 
przegubem   niewłaściwym.   Tarczę   sztywną   podpartą   dwoma   równoległymi   prętami   podporowymi 
przedstawia rysunek 1.7 a. Rysunek 1.7 b przedstawia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku 
prostopadłym do kierunku obu prętów podporowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

3

A

A

Rys. 1.6. Przegub fikcyjny

A

∞

a)

b)

Rys. 1.7. Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym w nieskończoności

Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem. Przegub taki nazywa się 

przegubem   wielokrotnym.   Rysunek   1.8   a   przedstawia   trzy   tarcze   sztywne   połączone   przegubem 
wielokrotnym. 

I

II

I

II

III

A

A

a)

b)

III

Rys. 1.8. Przegub wielokrotny

Jak   widać   przegub   wielokrotny   A   łączący   trzy   tarcze   sztywne   odpowiada   czterem   prętom 

podporowym. Ogólnie jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on 

2

⋅



t

−1



(1.1)

prętom podporowym.

Pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Jeżeli tych tarcz będzie t to 

będą one posiadały

3

⋅t

(1.2)

stopni   swobody.  Warunkiem   koniecznym   geometrycznej   niezmienności  układu   tarcz   sztywnych   jest 
zależność

3

⋅t p

,

(1.3)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

4

w   której   t   oznacza   liczbę   tarcz   natomiast   p   oznacza   liczbę   stopni   swobody   odbieranych   przez   więzy. 
Nierówność (1.3) oznacza, że liczba stopni swobody odbieranych przez więzy jest większa lub równa liczbie 
stopni   swobody   wszystkich   tarcz   sztywnych   stanowiących   układ   tarcz   sztywnych.   Układy,   w   których 
zastosowano większą niż minimalna liczba więzów nazywa się  układami geometrycznie niezmiennymi 
statycznie  niewyznaczalnymi. Układy tego typu nie  będą  tutaj  rozpatrywane ze względu na  to, że do 
rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania 
równowagi. 

Układy,   w   których   zastosowano   minimalną   liczbę   więzów   nazywa   się  układami   geometrycznie 

niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi. Spełniają one warunek

3

⋅t= p

.

(1.4)

Układy tarcz  sztywnych,  które nie  spełniają  warunku (1.3)  nazywa się  układami  geometrycznie 

zmiennymi.

Równanie (1.4)  jest  warunkiem  koniecznym ale  niewystarczającym geometrycznej  niezmienności. 

Możliwe   są   układy,   które   spełniają   równanie   (1.4)   jednak   będące   układami   geometrycznie   zmiennymi. 
Układ tarcz sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Dopiero 
spełnienie   warunku  koniecznego  oraz   warunków  dostatecznych  geometrycznej  niezmienności  stanowi  o 
tym, że układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.

Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej trzema prętami podporowymi warunkiem dostatecznym 

geometrycznej   niezmienności   jest   to,   że  kierunki   wszystkich   trzech   prętów   podporowych   nie   mogą 
przecinać się w jednym punkcie. Rysunek 1.9 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną 
natomiast rysunek 1.9 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.

a)

b)

 

Rys. 1.9. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna

Dla   pojedynczej   tarczy   sztywnej   podpartej   przegubem   rzeczywistym   i   prętem   podporowym 

warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, aby przegub rzeczywisty nie znajdował się 
na kierunku pręta podporowego. Rysunek 1.10 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną 
natomiast rysunek 1.10 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.

Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ trzech tarcz (z których jedna może być 

tarczą podporową) połączonych między sobą przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym). 
Układ   taki   nazywamy  układem   trójprzegubowym.   Dla  takiego   układu   tarcz   sztywnych   warunkiem 
dostatecznym geometrycznej niezmienności jest fakt, że trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej. 
Rysunek   1.11   przedstawia   układy   trójprzegubowe   geometrycznie   niezmienne   natomiast   rysunek   1.12 
przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne. 

Korzystając   z   trzech   powyższych   warunków   dostatecznych   geometrycznej   niezmienności   można 

udowodnić,   geometryczną   niezmienność   większości   przypadków   układów   tarcz   sztywnych.   Analizę 
kinematyczną   zaczyna  się   od  tej   tarczy  sztywnej  lub  układu trójprzegubowego,  które   spełniają   jeden  z 
powyższych warunków dostatecznych. Taką tarczę lub układ trójprzegubowy można więc teraz uznać jako 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

5

tarczę podporową dla pozostałych tarcz sztywnych. Analizę pozostałych tarcz sztywnych przeprowadza się 
podobnie jak na początku analizy kinematycznej. Istnieją układy tarcz sztywnych, dla których nie da się 
udowodnić   geometrycznej   niezmienności   w   sposób   opisany   powyżej.   Dla   takich   układów   analizę 
kinematyczną   przeprowadza   się   metodą   nazywaną   planem   biegunów   (metoda   ta   nie   będzie   tutaj 
rozpatrywana) lub przy wykorzystaniu równań równowagi, co zostanie opisane w dalszej części.

a)

b)

Rys. 1.10. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna

A

B

C

A

B

C

A

B

C

∞

Rys. 1.11. Geometrycznie niezmienne układy trójprzegubowe

A

B

C

A

B

C

A

B

C

∞

Rys. 1.12. Geometrycznie zmienne układy trójprzegubowe

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

6

1.2. Układy prętowe

Podstawowym elementem konstrukcyjnym jest pręt. Pręt powstaje wtedy, gdy po linii regularnej AB 

przemieszcza się środek ciężkości figury płaskiej (jeżeli wykonamy figurę z cienkiej blachy i podeprzemy 
go dokładnie w środku ciężkości na szpilce to będzie on leżał stabilnie) w taki sposób aby płaszczyzna 
figury była zawsze prostopadła do linii AB. Kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona 
materiałem tworzy pręt. Przedstawia to rysunek 1.13. Figurę tworzącą pręt nazywamy  przekrojem pręta 
natomiast linię AB nazywamy osią pręta. Z przekrojem pręta będzie związany układ współrzędnych XYZ. 
Początek tego układu znajduje się w środku ciężkości przekroju (punkt A). Oś X jest styczna do osi pręta. 
Położenie   pozostałych   osi   przedstawia   rysunek   1.14.   Przykłady   rzeczywistych   prętów   znajdują   się   na 
rysunkach 1.15 i 1.16.

A

B

Rys. 1.13. Pręt

A

B

X

Y=Y

0

Z=Z

0

B

Rys. 1.14. Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta

Rys. 1.15. Pręt

Jeżeli przekrój pręta jest stały to pręt jest prętem pryzmatycznym. Większość rzeczywistych prętów 

jest  właśnie  prętami  pryzmatycznymi. Modelem matematycznym pręta  jest  jest  jego oś.  Przedstawia  to 
rysunek   1.17.   W   zagadnieniach   przedstawionych   w   niniejszym   rozdziale   osie   wszystkich   prętów   będą 
znajdowały się na jednej płaszczyźnie. Na potrzeby analizy kinematycznej płaskich układów prętowych 
możemy pręt traktować jako bardzo wydłużoną tarczę sztywną. Przedstawia to rysunek 1.18.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

7

Rys. 1.16. Pręt

A

B

A

B

Rzeczywisty obiekt

Model matematyczny

Rys. 1.17. Model matematyczny pręta

Tarcza sztywna

Model matematyczny

Rys. 1.18. Pręt jako tarcza sztywna

W przypadku płaskich układów prętowych więzy odbierające prętowi stopnie swobody nazywane są 

podporami.   Mamy   kilka   ich   rodzajów.   Pierwszym   z   nich   jest  podpora   przegubowo-przesuwna, 
odpowiadająca jednemu prętowi podporowemu. Odbiera ona więc jeden stopień swobody. Podporę taką 
przedstawia rysunek 1.19. Podporę przegubowo-przesuwną w rzeczywistych konstrukcjach budowlanych 
przedstawiają rysunki od 1.20 do 1.26.

Drugim   rodzajem   podpory   jest  podpora   przegubowo-nieprzesuwna,   odpowiadająca   dwóm 

nierównoległym prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia 
rysunek   1.27.   Podporę   przegubowo-nieprzesuwną   w   rzeczywistych   konstrukcjach   budowlanych 
przedstawiają rysunki od 1.28 do 1.30.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

8

Rys. 1.19. Podpora przegubowo-przesuwna

Rys. 1.20. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Rys. 1.21. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

9

Rys. 1.22. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 1.23. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 1.24. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 1.25. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

10

Rys. 1.26. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 1.27. Podpora przegubowo-nieprzesuwna

Rys. 1.28. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

Rys. 1.29. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

11

Rys. 1.30. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna (trasa PST w Poznaniu)

Trzecim rodzajem podpory jest  przegub, łączący ze sobą dwa pręty i odpowiadający przegubowi 

rzeczywistemu. Odbiera on więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek 1.31. Przegub 
w rzeczywistej konstrukcji budowlanej przedstawia rysunek 1.32.

A

A

Rys. 1.31. Przegub

Rys. 1.32. Przegub w rzeczywistej konstrukcji prętowej

Czwartym rodzajem podpory jest  podpora teleskopowa, która odpowiada dwóm równoległym do 

siebie prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek 
1.33.

Rys. 1.33. Podpora teleskopowa

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

12

Czwartym rodzajem podpory jest utwierdzenie, które odpowiada trzem prętom podporowym, których 

kierunki nie przecinają się w jednym punkcie.  Odbiera ono więc trzy stopnie swobody.  Podporę taką 
przedstawia   rysunek   1.34.   Rysunek   1.35   przedstawia   rzeczywisty   pręt,   do   którego   przymocowana   jest 
prostokątna   blacha   z   otworami   na   śruby   fundamentowe.   Śruby   te   łączą   pręt   z   betonowym   blokiem 
fundamentowym w kształcie prostopadłościanu, który traktujemy jako tarczę sztywną dla tego pręta. Za 
pomocą   tych   czterech   śrub   zrealizowane   jest   utwierdzenie.   Utwierdzenie   takie   jest   przedstawione   na 
rysunku 1.36 i 1.37.

Rys. 1.34. Utwierdzenie

 

Rys. 1.35. Rzeczywiste utwierdzenie

Rys. 1.36. Rzeczywiste utwierdzenie

Rys. 1.37. Rzeczywiste utwierdzenie

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

13

1.3. Kratownice płaskie

Kratownicą   płaską  nazywamy   układ   prętów   prostych   leżących   na   jednej   płaszczyźnie,   które   są 

połączone między sobą przegubami. Przeguby nazywa się węzłami kratownicy. Kratownica następnie jest 
podparta do podłoża za pomocą podpór przegubowo-przesuwnej i przegubowo-nieprzesuwnej. Rysunek 1.38 
przedstawia przykładową kratownicę.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Rys. 1.38. Kratownica

Poszczególne pręty kratownicy mają swoje charakterystyczne nazwy. Opierając się na oznaczeniach 

prętów przedstawionych na rysunku 1.38 pręty kratownicy możemy podzielić na:

•

pręty pasa dolnego – od numeru 1 do 4

•

pręty pasa górnego – od numeru 5 do 8

•

słupki – od numeru 9 do 13

•

krzyżulce – od numeru 14 do 17.

Rysunki   od   1.39   do   1.42   przedstawiają   rzeczywiste   kratownice   wraz   z   zaznaczonymi   modelami 

matematycznymi tych kratownic.

Rys. 1.39. Rzeczywista kratownica

W   modelu   matematycznym   przyjmujemy,   że   węzeł   kratownicy   jest   przegubem.   Jednak   w 

rzeczywistych  obiektach  najczęściej   nie   da   się  wykonstruować   przegubu.  Rzeczywiste   węzły  kratownic 
przedstawiają rysunki od 1.43 do 1.46.

Kratownica   może   być   częścią   innej   konstrukcji.   Na   rysunkach   1.47   i   1.48   przedstawione   są 

kratownice będące pomostem mostu wiszącego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

14

Rys. 1.40. Rzeczywista kratownica

Rys. 1.41. Rzeczywista kratownica

Rys. 1.42. Rzeczywista kratownica

Rys. 1.43. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

15

Rys. 1.44. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Rys. 1.45. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Rys. 1.46. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Oprócz kratownic płaskich spotykane są kratownice przestrzenne, które składają się z kilku kratownic 

płaskich leżących na różnych płaszczyznach. Kratownice takie przedstawiają rysunki od 1.49, 1.50 i 1.51. 

Dotychczas przedstawione kratownice wykonane były ze stali. Jednak nie jest to jedyny materiał, z 

którego wykonuje się kratownice. Rysunek 1.52 przedstawia kratownicę wykonaną z żelbetu, który składa 
się z betonu z zatopionymi wewnątrz prętami stalowymi. 

Kratownica może być także wykonana z drewna. Kratownice tego typu są przedstawione na rysunku 

1.53.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

16

Rys. 1.47. Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego

Rys. 1.48. Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego (Golden Gate Bridge)

Rys. 1.49. Kratownice przestrzenne

Analiza   kinematyczna   kratownic   przebiega   w   nieco   inny  sposób   niż   w   przypadku   innych   typów 

konstrukcji prętowych. Rysunek 1.54 przedstawia dowolny punkt, który reprezentuje nam węzeł kratownicy 
w płaskim układzie współrzędnych. Jak widać do opisu jego położenia potrzebujemy dwóch parametrów, 
którymi są współrzędne x

A

 i y

A

. Możemy więc stwierdzić, że punkt posiada dwa stopnie swobody.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

17

Rys. 1.50. Kratownice przestrzenne

Rys. 1.51. Kratownice przestrzenne

Rys. 1.52. Kratownica żelbetowa

Jeżeli dana kratownica składa się z w węzłów to posiadają one 

2

⋅

w

(1.5)

stopni swobody.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

18

Rys. 1.53. Kratownice drewniane

X

Y

A

x

A

y

A

Rys. 1.54. Stopnie swobody punktu na płaszczyźnie

Wszystkie stopnie swobody muszą zostać odebrane węzłom przez pręty kratownicy oraz podpory. 

Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności będzie więc warunek 

2

⋅

w

≤

p



r

,

(1.6)

w którym w oznacza liczbę węzłów kratownicy, p oznacza liczbę prętów kratownicy natomiast r oznacza 
liczbę stopni swobody odbieranych przez podpory.

Kratownice, w których pręty oraz podpory odbierają więcej stopni swobody niż posiadają je węzły 

nazywa się kratownicami geometrycznie niezmiennymi statycznie niewyznaczalnymi. Układy tego typu 
nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania 
niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania równowagi. 

Układy, w których pręty oraz podpory odbierają dokładnie tyle stopni swobody ile posiadają ich 

węzły   nazywa   się  układami   geometrycznie   niezmiennymi   statycznie   wyznaczalnymi.   Spełniają   one 
warunek

2

⋅w= pr

.

(1.7)

Kratownice, które nie spełniają warunku (1.6) nazywamy kratownicami geometrycznie zmiennymi. 

Nie mogą one być konstrukcjami budowlanymi.

Podobnie   jak   w   przypadku   płaskiego   układu   tarcz   sztywnych   kratownice   muszą   oprócz   warunku 

koniecznego   spełnić   także   warunki   dostateczne   geometrycznej   niezmienności.   Kratownica   pokazana   na 
rysunku 1.55 jest geometrycznie niezmienna, ponieważ nie można zmienić położenia dowolnego węzła bez 
zmiany długości prętów kratownicy. Stanowi ona więc tarczę sztywną. Dokładając do niej następny węzeł za 
pomocą   dwóch   prętów,   jak   to   jest   przedstawione   na   rysunku   1.56,   kratownica   taka   pozostaje   nadal 
geometrycznie niezmienna. Ogólnie możemy więc powiedzieć, że kratownica składająca się z trójkątów 
jest tarczą sztywną. Kratownicę taką nazywamy kratownicą o strukturze prostej. Jeżeli więc mamy do 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

19

czynienia z kratownicą o strukturze prostej to w analizie kinematycznej możemy ją traktować jako tarczę 
sztywną i dalej będziemy mogli stosować do niej warunki dostateczne geometrycznej niezmienności jak dla 
płaskiego układu tarcz sztywnych. 

1

2

3

1

2

3

=

Rys. 1.55. Kratownica będąca tarczą sztywną

1

2

3

1

2

3

=

4

4

5

Rys. 1.56. Kratownica będąca tarczą sztywną

Rysunek 1.57 przedstawia kratownicę o strukturze prostej traktowaną w analizie kinematycznej jako 

tarczę sztywną podpartą trzema prętami podporowymi.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

=

Rys. 1.57. Kratownica będąca tarczą sztywną podpartą trzema prętami podporowymi

1.4. Belki

Belką  nazywamy układ prętowy, który składa się z prętów leżących na jednej prostej. Podporami 

belek są wszystkie przedstawione wcześniej typy podpór. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

20

Jeżeli belka składa się z jednego tylko pręta to belkę taką nazywamy belką prostą. Istnieją dwa typy 

belek prostych. Pierwszym z nich jest belka swobodnie podparta. Przedstawia ją rysunek 1.58. Podporami 
tej belki są podpora przegubowo-przesuwna i przegubowo-nieprzesuwna. Stanowią one układ trzech prętów 
podporowych. Dzięki ich liczbie spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Kierunki 
tych   trzech   prętów   podporowych   nie   przecinają   się   w   jednym   punkcie,   przez   co   spełniony   jest   także 
warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym 
i statycznie wyznaczalnym. 

Rys. 1.58. Belka swobodnie podparta

Drugim rodzajem belki prostej jest belka wspornikowa. Belka ta jest przedstawiona na rysunku 1.59. 

Podporą tej belki jest utwierdzenie. Przez to belka ta jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie 
wyznaczalnym.

Rys. 1.59. Belka wspornikowa

Jeżeli belka składa się z przynajmniej dwóch prętów to nazywamy ją belką złożoną. Rysunki od 1.60 

do 1.63 przedstawiają przykłady belek złożonych.

Do analizy kinematycznej belek stosujemy zasady jak dla płaskich układów tarcz sztywnych. Belki 

przedstawione   na   poniższych   rysunkach   są   układami   geometrycznie   niezmiennymi   i   statycznie 
wyznaczalnymi.

Rys. 1.60. Belka złożona

Rys. 1.61. Belka złożona

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

21

Rys. 1.62. Belka złożona

Rys. 1.63. Belka złożona

Rysunki od 1.64 do 1.68 przedstawiają rzeczywiste belki swobodnie podparte. Rysunki 1.69 i 1.70 

przedstawiają tak zwane belki ciągłe, które to są belkami statycznie niewyznaczalnanymi.

Rys. 1.64. Rzeczywista belka swobodnie podparta

Rys. 1.65. Rzeczywista belka swobodnie podparta

1.5. Ramy płaskie

Ramą płaską  nazywamy układ prętowy, w którym pręty nie leżą na jednej prostej. Poszczególne 

pręty   ramy   płaskiej   mogą   się   łączyć   między   sobą   za   pomocą   przegubów   lub  połączeń   sztywnych. 
Połączenie sztywne to takie połączenie, które nie pozwala na obrót poszczególnych prętów ramy względem 
siebie wokół miejsca połączenia. Miejsce sztywnego połączenia prętów w ramie płaskiej nazywamy węzłem 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

22

ramy. Pionowe pręty w ramie płaskiej nazywamy  słupami  natomiast poziome pręty nazywamy  ryglami. 
Jeżeli wszystkie pręty w ramie płaskiej są do siebie prostopadłe to taką ramę nazywamy ramą ortogonalną. 
Rysunek 1.71 przedstawia ramę ortogonalną z zaznaczonymi węzłami, słupami i ryglem.

Rys. 1.66. Rzeczywista belka swobodnie podparta (Stonehenge)

Rys. 1.67. Rzeczywista belka swobodnie podparta

Rys. 1.68. Rzeczywista belka swobodnie podparta (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 1.69. Rzeczywista belka ciągła

Rysunki od 1.72 do 1.75 przedstawiają przykładowe ramy płaskie. Do analizy kinematycznej ram 

płaskich   stosujemy   zasady   jak   dla   płaskich   układów   tarcz   sztywnych.   Ramy   płaskie   przedstawione   na 
poniższych rysunkach są układami geometrycznie niezmiennymi i statycznie wyznaczalnymi.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

23

Rys. 1.70. Rzeczywista belka ciągła (trasa PST w Poznaniu)

Słup

Słup

Rygiel

Węzeł

Węzeł

Rys. 1.71. Ortogonalna rama płaska

Rys. 1.72. Rama płaska

Rys. 1.73. Rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

24

Rys. 1.74. Rama płaska

Rys. 1.75. Rama płaska

Rzeczywiste   ramy   płaskie   przedstawiają   rysunki   od   1.76   do   1.83.   Rysunki   od   1.84   do   1.89 

przedstawiają rzeczywiste węzły sztywne w ramach płaskich.

Rys. 1.76. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.77. Rzeczywista rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

25

Rys. 1.78. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.79. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.80. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.81. Rzeczywista rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

26

Rys. 1.82. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.83. Rzeczywista rama płaska

Rys. 1.84. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Rys. 1.85. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

27

Rys. 1.86. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Rys. 1.87. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Rys. 1.88. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Rys. 1.89. Sztywny węzeł ramy płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni