1
1
Przykład:
strumie
ń
pola
E
od ładunku punktowego Q w odległo
ś
ci r od niego
Rysujemy sfer
ę
o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumie
ń
przechodz
ą
cych
przez t
ę
powierzchni
ę
.
Q
Pole E ma jednakow
ą
warto
ść
w ka
Ŝ
dym punkcie
sfery i jest prostopadłe do powierzchni (
α
= 0)
0
2
2
2
4
)
4
(
)
4
(
ε
π
π
π
Q
kQ
r
r
Q
k
r
E
=
=
=
=
⋅
=
Φ
S
E
Otrzymany strumie
ń
nie zale
Ŝ
y od r, a zatem strumie
ń
jest
jednakowy dla wszystkich r
2
Izolowany przewodnik
W izolatorze nadmiarowy ładunek mo
Ŝ
e by
ć
rozmieszczony w całej jego obj
ę
to
ś
ci.
Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj
ą
ce
swobodne elektrony na powierzchni
ę
przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole
wewn
ą
trz przewodnika.
Wtedy na ładunki nie działa ju
Ŝ
siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.
0
d
=
∫
S
E
Wewn
ą
trz przewodnika
E
= 0
0
0
ε
.
wewn
Q
=
0
.
=
wewn
Q
Cały ładunek gromadzi si
ę
na powierzchni przewodnika
Prawo Gaussa - przykłady
2
3
Procedura obliczania pola
E
od symetrycznych rozkładów ładunków:
1. Trzeba okre
ś
li
ć
symetri
ę
pola
2. Wybra
ć
odpowiedni
ą
powierzchni
ę
Gaussa
3. Obliczy
ć
strumie
ń
przez t
ę
powierzchni
ę
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)
∫
=
)
πr
E(
EdS
2
4
0
2
)
4
(
ε
π
Q
r
E
=
2
2
0
4
1
r
Q
k
r
Q
E
=
=
πε
Na zewn
ą
trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w
ś
rodku sfery. Natomiast wewn
ą
trz sfery (r < R) Q
wewn.
= 0 wi
ę
c E
wewn.
= 0.
4
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula (izolator)
2
.
r
Q
k
E
wewn
=
3
3
3
.
3
4
3
4
=
=
R
r
Q
R
r
Q
Q
wewn
π
π
2
3
0
4
1
r
R
r
Q
E
=
πε
r
R
Q
k
r
R
Q
E
3
3
0
4
1
=
=
πε
3
5
Liniowy rozkład ładunków
∫
=
0
ε
λ
h
dS
E
0
2
ε
λ
π
h
rh
E
=
r
E
0
2
πε
λ
=
0
2
ε
σ
S
S
E
=
0
2
ε
σ
=
E
Płaskie rozkłady ładunków
dS
dQ
σ
=
dl
dQ
λ
=
6
W praktyce stosuje si
ę
układ dwóch płaskich
równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko
ś
ci ale o przeciwnych znakach (kondensator
płaski ).
0
0
0
2
2
ε
σ
ε
σ
ε
σ
=
+
=
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
po lewej stronie
po prawej stronie
pomi
ę
dzy płytami
Na zewn
ą
trz układu pole jest równe zeru a pomi
ę
dzy
płytami ma w ka
Ŝ
dym punkcie stał
ą
warto
ść
σ
/
ε
0
.
Takie pole nazywamy polem jednorodnym.
4
7
Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi
ę
c warto
ść
pracy
nie zale
Ŝ
y od wyboru drogi pomi
ę
dzy punktami A i B.
∫
−
=
−
=
−
B
A
AB
pA
pB
d
W
E
E
r
F
F
)
(
∫
∫
−
=
−
=
B
A
pA
B
A
pA
pB
d
q
E
d
E
E
r
E
r
F
Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli
V = E
p
/q
:
∫
−
=
B
A
A
B
d
V
V
r
E
Jednostk
ą
potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.
∫
∑
=
∆
=
→
∆
B
A
i
i
AB
d
W
i
r
F
r
F
r
F
0
)
(
lim
8
W fizyce posługujemy si
ę
cz
ę
sto poj
ę
ciem ró
Ŝ
nicy potencjałów czyli napi
ę
ciem
U
.
Znak minus odzwierciedla fakt,
Ŝ
e
potencjał maleje w kierunku
wektora
E
.
∫
−
=
−
=
B
A
A
B
d
V
V
U
r
E
Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego
q
umieszczonego w polu
ładunku
Q
wynosi:
r
qQ
k
(r)
E
p
=
r
Q
k
r
kQ
dr
r
Q
k
V
V(r)
r
r
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∫
'
1
'
'
)
(
2
1) Potencjał pola ładunku punktowego
Q
:
przyjmujemu,
Ŝ
e:
0
)
(
=
∞
V
Przykłady:
5
9
2) Jednorodnie naładowana sfera
R
Q
k
r
kQ
dr
r
Q
k
V
V(r)
R
R
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∫
1
'
'
)
(
2
R
r
≥
r
Q
k
V(r)
=
10
Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.
Elektrofor
6
11
dla N ładunków punktowych
i
i
i
i
i
r
r
Q
k
r
E
2
=
∑
=
=
N
i
i
1
E
E
r
l
E
E
=
1
3
3
2
1
r
p
k
r
Ql
k
r
Q
k
r
l
E
r
l
E
=
=
=
=
p = Q l
jest momentem dipolowym
Zasada superpozycji
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat
ęŜ
enie
pola (sił
ę
wypadkow
ą
), obliczamy dodaj
ą
c wektorowo nat
ęŜ
enia pól od
pojedynczych ładunków.
Przykład:
dipol elektryczny
12
dla N ładunków punktowych
∑
∑
=
∧
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
r
Q
k
1
2
1
r
E
E
Zasada superpozycji – potencjał i nat
ęŜ
enie
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi
ę
potencjaln
ą
), obliczamy dodaj
ą
c skalarnie potencjały pól od
pojedynczych ładunków.
i
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
r
Q
k
V
V
1
1
3
r
p
k
E
=
Przykład 1:
dipol elektryczny
0
=
−
=
r
q
k
r
q
k
V
oraz
7
13
Zasada superpozycji dla ci
ą
głego rozkładu ładunków (naładowane ciało):
dV
r
k
r
dQ
k
V
i
i
i
∫
∑
∧
∧
=
=
r
r
E
2
2
ρ
dV
dQ
ρ
=
g
ę
sto
ść
obj
ę
to
ś
ciowa, powierzchniowa, liniowa
dS
dQ
σ
=
dl
dQ
λ
=
α
dE
dE
x
cos
=
r
x
=
α
cos
r
Q
π
λ
2
=
2
r
dl
λ
k
dE
=
r
x
r
dl
λ
k
dE
x
2
=
2
3
2
2
3
3
2
)
R
(x
kxQ
πR)
(
r
x
kλ
dl
r
x
kλ
dE
E
E
x
x
+
=
=
=
=
=
∫
∫
2
1
2
2
2
)
R
(x
kQ
πR)
(
r
kλ
r
dl
λ
k
dV
V
+
=
=
=
=
∫
∫
dV
r
k
V
V
∫
=
ρ
Przykład 2:
naładowany pier
ś
cie
ń
14
pojemno
ść
kuli o promieniu R
V
Q
C
=
R
Q
k
V
=
R
k
R
C
0
4
πε
=
=
Przykłady:
kondensator płaski
0
ε
σ
=
E
l
El
d
U
B
A
0
ε
σ
=
=
−
=
∫
r
E
l
S
l
S
U
Q
C
El
U
0
0
ε
ε
σ
σ
=
=
=
=
Pojemno
ść
zale
Ŝ
y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło
Ŝ
enia
A
B
r