KOD ZDAJĄCEGO
MMA-P1G1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Arkusz I
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
którą wypełnia egzaminator.
Życzymy powodzenia!
ARKUSZ I
MAJ
ROK 2003
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 40 punktów
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
(Wpisuje zdający przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkę
z kodem
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz
I
Zadanie 1. (4 pkt
)
Lewa strona równania 1
jest sumą nieskończonego ciągu
geometrycznego o ilorazie
. Z warunku zbieżności mamy
. Zatem dziedziną
równania jest przedział
(
)
.
3
...
...
2
6
4
2
=
+
+
+
+
+
+
n
x
x
x
x
2
x
1
,
1
−
1
2
<
x
Równanie można zapisać w postaci 1
. Stąd 1
.
3
...)
1
(
4
2
2
=
+
+
+
+
x
x
x
3
3
2
=
+ x
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby:
3
6
1
−
=
x
,
3
6
2
=
x
należące do dziedziny.
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby
3
6
1
−
=
x
,
3
6
2
=
x
.
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie : 1
.
2
...
...
3
2
=
+
+
+
+
+
+
n
x
x
x
x
Egzamin maturalny z matematyki
3
Arkusz
I
Zadanie 2. (4 pkt )
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f .
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Podaj rozwiązania nierówności
.
0
)
(
≤
x
f
c) Podaj rozwiązania równania
.
3
)
(
=
x
f
-6
2
1
-1
0
4
y
-3
-2
-1
-4
-5
5
1
2
3
x
6
5
4
3
Odp. a) Miejsca zerowe funkcji f : ........................................................................................
b)
Rozwiązania nierówności : ......................................................................................
c)
Rozwiązania równania : ..........................................................................................
Zadanie 3. (4 pkt )
Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie.
a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B
(podaj wynik dokładny).
b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost
wyższy od średniego?
0
1
2
3
4
5
9
wzrost w cm
liczba ch
łopców
1 2 3 4 5 6 7 8
164
165
166
167
168
169
170
171
172
Odp. a) Średni wzrost chłopców z klasy II B jest równy ..............................................
b) Wzrost powyżej średniego ma ................................ chłopców.
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz
I
Zadanie 4. (3 pkt )
Liczby 102, 105, 108, 111,... są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu
arytmetycznego
. Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz
.
(
n
a
)
81
a
Odp. Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu ma postać ................................
= ............
81
a
Zadanie 5. (5 pkt )
Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm
wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 7 .
Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.
0
Odp. Długość podjazdu jest w przybliżeniu równa
......................................................
Egzamin maturalny z matematyki
5
Arkusz
I
Zadanie 6. (3 pkt )
Ciąg
określony jest wzorem
(
n
a
)
{ }
∈
+
+
=
=
=
+
−
+
0
2
2
1
1
1
2
2
1
\
N
n
dla
a
a
a
a
a
n
n
n
n
Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.
Odp.
.....................
=
4
a
Zadanie 7. (5 pkt )
]
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji
liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wykresu
funkcji f otrzymanym za pomocą przesunięcia
o wektor u
. Wyznacz miejsce zerowe
funkcji g.
[
2,1
=
G
4
x
1
2
3
3
-3
-2
-1
-1
0
y
2
1
Odp. Miejsce zerowe funkcji g jest równe ..................................................
6
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz
I
Zadanie 8. (3 pkt )
Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek
na ubezpieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest
równa 60% przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie
zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł. Wynik podaj
w zaokrągleniu do 1 grosza.
Odp. Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa ..........................................................
Zadanie 9. (3 pkt )
Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan
przedstawiony jest na rysunku. Zakładamy,
że kąty ABC i ECD są kątami prostymi.
A
B
C
D
E
m
16
m
8
m
4
m
10
Odp. Pole działki jest równe .....................................
Egzamin maturalny z matematyki
7
Arkusz
I
Zadanie 10. (2 pkt )
Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych
lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo
wygrania nagrody książkowej jest równe
7
1
. Oblicz, ile jest losów pustych.
Odp. Losów pustych jest ...................................
Zadanie 11. (4 pkt )
Podstawą prostopadłościanu
jest prostokąt o bokach długości :
1
1
1
1
D
C
B
ABCDA
3
=
AD
i
6
=
AB
. Wysokość prostopadłościanu ma
długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą
rachunków, że trójkąt
jest prostokątny.
1
BAD
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz egzaminacyjny I
1
Schematy punktowania zadań do Arkusza I
Zadanie 1.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie dziedziny równania.
Odp.
(
)
.
1
,
1
−
Dopuszczamy zapis
1
<
x
1
2.
Zapisanie równania w postaci :
.
2
...)
1
(
1
2
=
+
+
+
+
x
x
x
1
3. Zapisanie równania w postaci : 1
.
2
2
=
+ x
1
4.
Wyznaczenie rozwiązania równania.
Odp.
.
5
,
0
=
x
1
Zadanie 2.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wykonanie polecenia a).
Odp. , .
1
−
=
x
5
=
x
1
2.
Wykonanie polecenia b).
Odp.
)
(
∞
+
∪
−
∞
−
∈
,
5
1
,
x
.
1
3.
Wykonanie polecenia c).
Odp. lub
.
0
=
x
4
=
x
Za każde z rozwiązań równania – 1 punkt.
2
Zadanie 3.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie liczby chłopców z klasy II B.
Odp. 15.
1
2.
Obliczenie średniego wzrostu.
15
172
170
2
169
168
3
167
2
166
4
164
2
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
Odp. 167,4 cm.
1 punkt za poprawne odczytanie danych;
1 punkt za wyznaczenie średniej arytmetycznej.
1
1
3.
Podanie liczby chłopców z klasy II B, którzy mają
wzrost wyższy od średniej.
Odp. 7.
1
Zadanie 4.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu
.
( )
n
a
99
3
1
3
102
+
=
−
+
=
n
n
a
n
)
(
,
.
{ }
0
\
N
n ∈
Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu - 1 punkt.
2
2.
Obliczenie wyrazu
.
81
a
Odp.
a
.
342
81
=
1
Zadanie 5.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń.
Jeżeli uczeń nie wykona rysunku, ale wprowadzi
czytelne oznaczenia przyznajemy punkt.
1
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz egzaminacyjny I
2
2. Obliczenie długości odcinka BC .
Odp. 120 cm.
1
3.
Odczytanie z tablic wartości sinusa kąta o mierze
0
7 .
Odp.
sin
.
1219
,
0
7
0
=
1
4.
Obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie
odpowiedzi.
Odp. 980 cm.
Za zapisanie zależności
AC
BC
CAB
=
∠
sin
- 1 punkt.
2
Za wyznaczenie długości odcinka AB bez wskazanego zaokrąglenia
przyznajemy w sumie 4 pkt.
Przyjęcie innej wartości ( poprawnego przybliżenia) sinusa nie może
stanowić przesłanki do odjęcia punktu.
Zadanie 6.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie wyrazu
.
3
a
Odp.
a
.
4
3
=
Za zapisanie zależności a
przyznajemy 1 punkt.
2
1
0
3
2
a
a
+
+
=
2
2.
Wyznaczenie wyrazu
.
4
a
Odp.
a
.
8
4
=
1
Zadanie 7.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie wzoru funkcji
2
4
: ( )
5
5
f f x
x
=
+
lub
Wyznaczenie współrzędnych obrazów punktów
i
w przesunięciu o wektor .
)
0
,
2
(
−
)
2
,
3
(
u
G
Odp.
(
, (
.
)
1
,
0
)
3
,
5
Po 1 punkcie za wyznaczenie współrzędnych każdego
z obrazów.
2
2.
Zapisanie układu równań
i wyznaczenie
wzoru funkcji
'
'
2
1
x x
y
y
= −
= −
g
lub
Wyznaczenie wzoru funkcji g, której wykres
przechodzi przez punkty (0,1) i (5,3)
Odp.
1
5
2
)
(
+
= x
x
g
.
Za zapisanie odpowiedniego układu równań
przyznajemy 1 punkt.
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz egzaminacyjny I
3
3.
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji g.
Odp. .
5
,
2
−
=
x
1
Zadanie 8.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Obliczenie wysokości podstawy wymiaru składek.
Odp.
60
.
856
1121
76
1869
,
,
%
=
⋅
Punkt przyznajemy także za odpowiedź 1121
.
,86 zł
1
2.
Obliczenie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
Odp.
7
.
1394
84
86
1121
5
,
,
%
,
=
⋅
1
3.
Podanie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
Odp. 84
.
gr
zł 14
W odpowiedzi wymagane jest poprawne
zaokrąglenie.
1
Zadanie 9.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Obliczenie pola trójkąta CED.
Odp.
.
2
20m
P
CED
=
∆
1
2.
Obliczenie pola trapezu ABCE.
Odp.
.
2
104m
P
ABCE
=
∆
1
3.
Obliczenie pola działki.
Odp. 124
.
2
m
1
Zadanie 10.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie liczby wszystkich losów.
Odp. 70.
1
2.
Wykonanie polecenia zadania.
Odp. 59.
1
Zadanie 11.
L. p.
Wykonana czynność L.
punktów
1.
Wyznaczenie długości przekątnej
1
AD .
Odp.
5
3
1
=
AD
.
1
2.
Wyznaczenie długości przekątnej
1
BD .
Odp.
9
1
=
BD
1
3.
Uzasadnienie, że trójkąt
jest prostokątny na
podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia
Pitagorasa .
1
BAD
1 punkt przyznajemy za zapisanie równości
2
1
2
1
2
BD
AD
AB
=
+
i jej sprawdzenie, bez
powołania się na odpowiednie twierdzenie.
2
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie
punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.