Katedra Geodezji Szczegółowej 

UWM w Olsztynie 

Ćwiczenie nr 18 

"Oszacowanie wartości pomiaru i jego precyzji z serii 

bezpośrednich pomiarów” 

Nazwisko i imię 

 

Grupa: Data: 

 

Zadanie 1

. Pewną długość pomierzono sześć razy i otrzymano następujące wyniki: 

 

d v 

= 

śr - d

v

2

182.06+N

182.13 

 

182.10 
182.15 
182.05 
182.08 

 
Oblicz: średnią arytmetyczną, błąd średni pomiaru, błąd średni średniej arytmetycznej. 
 

=

x

            ,m=                  , m

x

=                      

  

średnia błąd średni 

błąd średni średniej 

arytmetycznej 

∑

=

=

n

i

i

l

n

x

1

1

 Kontrola 

∑

 

= 0

v

1

1

−

∑

±

=

=

n

v

m

n

i

i

 

n

m

m

x

±

=

 

 
Zadanie 2.

 Na pewnym punkcie zmierzono kąt pięć razy i otrzymano (w gradach) 

 

α 

v = śr - 

α 

v

2

82.4115+0.0002xN

82.4130 
82.4217 
82.4100 
82.4130 

 
Oblicz: średnią arytmetyczną, błąd średni pomiaru kąta, błąd średni średniej arytmetycznej. 
 

=

x

            ,m=                  , m

x

=                      

 
Zadanie 3.

 Kąt 

α  pomierzyło tym samym teodolitem trzech obserwatorów. Wyniki pomiaru podano w 

tabelce. 
 

obserwator 

Liczba 

pomiarów 

Wynik 

pomiaru 

Waga 

p 

p

α v 

= 

śr - 

α 

p v 

pv

2

A 2 

175.1234+0.0

001xN 

B 6 

175.1198 

C 3 

175.1265 

 

 

1

Oblicz:  średnią arytmetyczną ważoną, błąd  średni typowego spostrzeżenia, błąd  średni  średniej 
arytmetycznej. 

=

x

            ,m

0

 =                  , m

x

=                      

 
Uwaga!

 Zadanie dotyczy obserwacji bezpośrednich niejednakowo dokładnych. Wagi w tym przypadku 

są odwrotnie proporcjonalne do liczby pomiarów. Kontrola 

∑

= 0

pv

 

Średnia ważona 

błąd średni typowego 

spostrzeżenia 

błąd średni średniej 

arytmetycznej. 

∑

∑

=

p

l

p

x

 

(

)

1

2

0

−

∑

±

=

n

pv

m

 

∑

±

=

p

m

m

x

0

 

 
Zadanie 4.

 Pomierzono kąt trzema teodolitami o różnej dokładności i otrzymano następujące wyniki: 

 

teodolit 

błąd średni 

pomiaru kąta 

α  

wynik 

pomiaru w 

gradach 

wagi 

p

α 

v pv pvv 

teodolit A 

29

cc

160.4028

 

teodolit B 

17

cc

160.4030

 

teodolit C 

12

cc

160.4021

 

 
Oblicz:  średnią arytmetyczną ważoną, błąd  średni typowego spostrzeżenia, błąd  średni  średniej 
arytmetycznej. Uwaga! Wagi odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich. 
 

=

x

            ,m

0

 =                  , m

x

=                      

 
Zadanie 5. 

Wiadomo, że błąd średni pomiaru kąta wynosi m

  = 

60”.

 

Ile razy trzeba ten kąt pomierzyć 

aby otrzymać wynik ze średnim błędem 20”?  
 
Zadanie 6. 

W celu określenia pola powierzchni działki (w kształcie prostokąta) pomierzono dwa boki i 

otrzymano następujące wyniki: a = 125.87 m, b=54.11 m. Bok a pomierzono z błędem średnim m

a

 =±5 

cm, natomiast bok b pomierzono z błędem średnim m

b

 =±9 cm. Oblicz pole powierzchni działki jej błąd 

średni) . 
 
Uwaga! Zadanie to dotyczy problemu zwanego "przenoszenia się błędów". 
 
Jeśli zostały pomierzone wielkości l

1

 l

2

.......l

n

  z błędami m

1

 m

2

        m

n

  i jeśli model matematyczny ma 

postać 

 to błąd średni wielkości y wynosi 

(

n

2

1

l

l

l

f

y

L

=

)

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

n

l

n

l

l

y

m

l

y

m

l

y

m

l

y

m

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

L

 

 

Uwaga nr 2.

 Funkcja:  P =a b,             Oblicz 

=

∂

∂

a

P

               , 

=

∂

∂

b

P

 

 
P =                               m

P

=           

 

2