1
3. SREDNIE
SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD I
10.10.2009
1 .
S R E D N I A A R Y T M E T Y C Z N A –
𝑋
Średnią arytmetyczną liczymy tylko dla zmiennych ilorazowych i interwałowych. Aby liczyć tę
średnią obiekty liczone na tej samej skali muszą być w tych samych jednostkach (np. cm do cm, metr
do metr).
Wadą średniej arytmetycznej jest to, że jest ona bardzo podatna na skrajne wyniki, dlatego lepiej
jest liczyć medianę dla danych liczbowych.
Symbol średniej arytmetycznej:
w próbie: 𝑋 ,
w populacji:
lub M (lub napisać „średnia”).
𝑿
=
𝒙
𝟏
+ 𝒙
𝒊
+ … 𝒙
𝒏
𝑵
𝒍𝒖𝒃 𝑿
=
∑
𝟏
𝒏
∗ 𝒙
𝟏
𝑵
x
1
– pierwsza obserwacja
x
i
– i-ta obserwacja
x
n
– ostatnia obserwacja
N – liczba wszystkich przypadków
n – wszystkie
- sigma, czyli suma wszystkich elementów zaczynając od pierwszego i kończąc na ostatnim
np.
1 (I), 1 (II), 1 (III), 1 (IV), 100 (V) a więc jest 5 przypadków.
𝑋 =
1 + 1 + 1 + 1 + 100
5
=
104
5
= 20,8
np.
Mamy 3 drużyny pracowników – oddział A, oddział B i oddział C. Mamy również podane zarobki pracowni-
ków:
oddział A: 1 os. – 1 zł, 2 os. – 2 zł, 3 os. – 3 zł
oddział B: 1 os. – 4 zł, 2 os. – 5 zł, 3 os. – 6 zł, 4 os. – 7 zł, 5 os. – 8 zł
oddział C: 1 os. – 16 zł, 2 os. – 10 zł, 3 os. – 10 zł, 4 os. – 12 zł, 5 os. – 12 zł, 6 os. – 12 zł
𝑋
𝐴
=
1 + 2 + 3
3
= 2
2
3. SREDNIE
SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD I
10.10.2009
𝑋
𝐵
=
4 + 5 + 6 + 7 + 8
5
= 6
𝑋
𝐶
=
16 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12
6
= 12
𝑋 =
𝑋
𝐴
+ 𝑋
𝐵
+ 𝑋
𝐶
𝑁 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑜𝑠ó𝑏
=
2 + 6 + 12
14
= 1,42
Możemy zastosować wzór na średnią ważoną:
𝑿
𝑾
=
∑
𝟏
𝒌
∗ (𝒏
𝟏
∗ 𝒙
𝟐
)
𝑵
=
𝒏
𝑨
∗ 𝒙
𝑨
+ 𝒏
𝑩
∗ 𝒙
𝑩
+ 𝒏
𝑪
∗ 𝒙
𝑪
𝑵
k – liczymy dla grup, czyli kategorie, podgrupy
n – liczba osób w podgrupie
X
2
– średnia osób w podgrupie
N – ilość osób
np.
𝑋
𝑊
=
3 ∗ 2 + 5 ∗ 6 + (6 ∗ 12)
14
=
108
14
= 7,71
2.
S R E D N I A Z R O Z K L A D U L I C Z E B N O S C I –
𝑋
𝑿
=
∑
𝒊=𝟏
𝒌
(𝒇
𝒊
∗ 𝒙
𝒊
)
𝑵
𝑿
=
𝒇
𝟏
∗ 𝒙
𝟏
+ 𝒇
𝟐
∗ 𝒙
𝟐
+ ⋯
𝑵
3
3. SREDNIE
SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD I
10.10.2009
np. tabelka z informacją, jaka jest wartość cechy i ile osób ma tę cechę:
X
1
– PIWO/TYDZIEŃ
f – CZĘSTOŚĆ (ILE OSÓB)
fi
* x
i
18
1
18
17
2
34
16
2
32
15
3
45
14
2
28
13
5
65
12
3
36
11
2
22
20
280
𝑋
𝑊
=
280
20
= 14
3.
S R E D N I A Z P R O P O R C J I ( F R A K C J I ) –
𝑋
𝑿
=
∑
𝒊=𝟏
𝒌
∗ (𝒑
𝒊
∗ 𝒙
𝟏
)
𝟏
p – proporcja
np.
61% badanych przeczytało 0 książek. 29% przeczytało 1 książkę. 6% przeczytało 2 książki. 4% przeczytało 3
książki.
61% = 0 = 0,61 to jest proporcja
29% = 1 = 0,29
6% = 2 = 0,06
4% = 3 = 0,04
0,61 + 0,29 + 0,06 + 0,04 = 1 to wyliczenie tylko dla sprawdzenia, czy wyniki są dobre
4
3. SREDNIE
SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD I
10.10.2009
𝑋 =
0,61 ∗ 0 + 0,29 ∗ 1 + 0,06 ∗ 2 + (0,04 ∗ 3)
1
= 0,53
4.
S R E D N I A D L A D A N Y C H P O G R U P O W A N Y C H –
𝑋
𝑿
=
∑
𝒊=𝟏
(𝒇
𝒊
∗ 𝒎
𝟏
)
𝑵
𝒎
𝟏
=
𝒘𝒂𝒓𝒕𝒐ść 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒘. 𝟏 + 𝒘𝒂𝒓𝒕𝒐ść 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒘. 𝟐
𝟐
Środek przedziału klasowego obliczamy biorąc pierwszą i ostatnią granicę w przedziale i dzieląc
przez 2.
np.
GRANICA PRZEDZIAŁU
m
1
– ŚRODEK PRZEDZIA-
ŁU KLASOWEGO
f
1
– CZĘSTOŚĆ W PRZE-
DZIALE
m
i
* f
i
2000 – 2900
2450
17
41650
3000 – 3900
3450
26
89700
4000 – 4900
4450
38
169100
5000 – 5900
5450
51
277950
6000 - 6900
6450
36
232200
7000 - 7900
7450
21
156450
189
967050
𝑋 =
967050
189
= 5117