MECHANIKA BUDOWLI  

 

Wykład 1:  

ZASADY PRAC WIRTUALNYCH 

Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber 

Zasady prac wirtualnych  

Plan wykładu 

1. Informacje podstawowe nt. płaskich ustrojów prętowych, 
2. I zasada prac wirtualnych, 
3. II zasada prac wirtualnych, 
4. Wnioski 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

 Pręt jest takim dźwigarem, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie 

większy w porównaniu z pozostałymi L>b,h. 

 Konstrukcja (ustrój) składający się z prętów nazywamy prętowym.  
 Gdy pręty leżą w jednej płaszczyźnie to nazywamy go płaskim ustrojem 

prętowym.  

Materiał zawarty w zakresie wykładów ograniczony jest do płaskich układów 
prętowych. 

 
 

 

 

 

 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

Układy prętowe dzielimy na: 

 

kratownice    

 

 układy ramowe (belki, ramy, łuki) 

 
 

 

 
 
 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

W kratownicach:  

 wszystkie pręty połączone są przegubowo,  
 siły zew. i ciężar własny w węzłach,  
 w prętach występują siły podłużne (osiowe). 

 
 
 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

W układach ramowych:  

 wszystkie pręty prostoliniowe lub zakrzywione,  
 siły zew. i ciężar własny w węzłach i na prętach,  
 w prętach występują momenty zginające, siły podłużne (osiowe) i 

poprzeczne (tnące).  

 

 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

• Siły powierzchniowe:   

 czynne (działające na układ niezależne  

siły zewnętrzne), 

 bierne  

(reakcje, będące wynikiem  
działania sił czynnych). 

• Obciążenia: 

 rozłożone (ciągłe), 
 skupione (punktowe)  

- obciążenie na małym obszarze

. 

• Natura obciążeń: 

 mechaniczne  

– (ciężar własny, siły, momenty), 

 niemechaniczne  

– (temperatura, osiadanie,  

       błędy montażu). 

 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

W zakresie przedmiotu mechanika budowli jest wyznaczanie dla układów 
konstrukcyjnych będących idealizacją rzeczywistych konstrukcji podanych 
działaniu obciążeń mechanicznych i nie mechanicznych:  

 sił przekrojowych - wewnętrznych  w konstrukcji (momenty  

zginające, sił  poprzeczne  i podłużne) oraz reakcji podporowych 
od działającego obciążenia, 

 przemieszczeń konstrukcji od działającego obciążenia 

 

  Schemat statyczny 

 

 Wykres przemieszczeń 
 
 
Wykres momentów zginających 

Ustroje  prętowe,  które rozważamy w MB i jakie projektujemy jako 
konstrukcje budowlane są geometrycznie niezmienne (GN) – nie są 
mechanizmami. Mogą być SW i SN (przesztywnione).  

 
 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

Układy prętowe dzielimy na: 

 statycznie  wyznaczalne (SW), 

Układy  prętowe  SW można  rozwiązać  wyznaczając  reakcje  podporowe  i  
siły  przekrojowe  z warunków  równowagi.   

 statycznie niewyznaczalne (SN).   

Układy prętowe SN nie można  rozwiązać korzystając z warunków równowagi. 

Konieczne jest zastosowanie specjalnych metod                                                                  
np. Metoda sił, Metoda przemieszczeń, Metoda Elementów Skończonych itd.    

 
 

Zasady prac wirtualnych 

Informacje podstawowe 

 Przykłady układów SW i SN a) belki, b) ramy, c) kratownicy.  
 

 

SW    

 

 

SN 

Zasady prac wirtualnych 

I zasada prac wirtulalnych 

Zasady  prac  wirtualnych  są podstawowymi  zasadami  mechaniki  
budowli, które stanowią fundament innych zasad.  

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych (ZPW) dla płaskich 
odkształcalnych ustrojów prętowych.  

 

 zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych 

przemieszczeniach, 
 

 zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych 

przemieszczeniach. 

 

 

Zasady prac wirtualnych 

I zasada prac przygotowanych 

W płaskim układzie prętowym pod obciążeniem powstają:  

• siły przekrojowe: 
M(moment zginający), N(siła podłużna), T(lub V siła poprzeczna). 

 
 
 
 
 

• odkształcenia:   

- kątowe ∆

dφ

 (wydłużenie i skrócenie  

    przeciwległych krawędzi), 
- wzdłuż osi pręta ∆

ds

 (wydłużenie, skrócenie), 

- prostopadłe do osi pręta ∆

dh

 (poprzeczne).    

 

 

Zasady prac wirtualnych 

I zasada prac wirtualnych 

Rozpatruje się dowolny płaski ustrój prętowy SW lub SN. Ustrój  jest poddany 
działaniu  obciążeń  rzeczywistych (mechaniczne np. siły skupione, momenty 
skupione, obciążenia rozłożone oraz niemechaniczne np. przemieszczenia 
podpór, temperatura, imperfekcje geometryczne). 

• Oznaczamy działające w miejscu i obciążenie P

i

, reakcje w miejscu 

k jako R

k

. 

• Działające obciążenie P

i

 

wywołuje przemieszczenia i odkształcenia. 

Wskutek tego powstają rzeczywiste siły przekrojowe (siły 
wewnętrzne). 

 Linia przerywana –  
rzeczywiste  
przemieszczenie, 
 
 Linia pełna - 
wirtualne 
przemieszczenie

. 

 
 
 

 

 
 
 
 
 

 

Zasady prac wirtualnych 

I zasada prac przygotowanych 

Przemieszczenie wirtualne musi spełniać warunki: 

• jest założone jako dowolne, ale możliwe, tzn. kinematycznie 

dopuszczalne, 

• jest niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń), 
• jest bardzo małe w porównaniu z wymiarami ustroju, 
• jest niezależne od czasu, 
• jest ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne). 

 

Przypominamy, że praca L to iloczyn siły P i przemieszczenia ∆ 
tj: 
 

L = P * ∆ 

 

       

 

Np. L = P * ∆ lub  
L = M * φ 

 

 

Zasady prac wirtualnych 

I zasada prac wirtualnych 

•

∆

𝑃𝑖

oraz 

∆

𝑅𝑘

 oznaczają  

 

 

 

                    

przemieszczenia wirtualne   

                

 

 

 

odpowiednio w miejscu   

 

 

 

 

              

działającego obciążenia       

 

 

 

                         

P

i

 i reakcji R

k

. 

 

• Równanie pracy wirtualnej obciążeń rzeczywistych i 

odpowiadających im sił przekrojowych na  wirtualnych 

przemieszczeniach i odpowiadających im wirtualnych 

odkształceniach     

      ma postać: 

 
 
 

• W wypadku obciążeń ciągłych sumę po lewej stronie równania 

należy zastąpić całką. Całkowania po prawej stronie równania 

należy dokonać po całym ustroju prętowym.  
 

 

 

Zasady prac wirtualnych  

I zasada prac wirtualnych 

I ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 
 
 
 

Rzeczywiste  obciążenia  wykonują  pracę  na  wirtualnych  
przemieszczeniach  równą pracy uogólnionych sił przekrojowych 
(wewnętrznych) na wirtualnych odkształceniach.   

 

 

 

 

Zasady prac wirtualnych  

II zasada prac wirtualnych 

• Niech ustrój pod wpływem działającego obciążenia zewnętrznego 

dozna rzeczywistych przemieszczeń 

∆

𝑃

 (przemieszczeń podpór 

∆

𝑟

) 

oraz odkształceń              

 
Ustrój został obciążony układem sił wirtualnych 

𝑃

𝑖

 wywołujących reakcje 

𝑅

𝑘

 i 

wirtualne siły przekrojowe 

𝑀, 𝑇, 𝑁.  

 
 
 

 

Zasady prac wirtualnych  

II zasada prac wirtualnych 

ZASADA II PRACY WIRTUALNEJ 
 
 

Praca zewnętrznych  sił wirtualnych na  rzeczywistych przemieszczeniach  
jest  równa pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych 
odkształceniach 

 
 
 
 

1) Powyższe  zasady  prac  wirtualnych  są  słuszne  niezależnie  od  tego 

czy ustrój prętowy jest wykonany z materiału sprężystego czy nie,   

2) Często  w  literaturze  zamiast  terminu  „wirtualne”  używa  się  

„przygotowane”  np.  przemieszczenie przygotowane, obciążenie 
przygotowane.  

 

 

Zasady prac wirtualnych 

Wnioski 

Wniosek ogólny 

– wstęp do twierdzeń o wzajemności 

 
Jeżeli  dane  są  

   

(określone  przez  obciążenia czynne, reakcje i  siły  przekrojowe)  
oraz  
odpowiadające im 
(określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia)  
oraz  
jeżeli jeden z nich jest stanem rzeczywistym  

jest równa