13. Dane: 

𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑡

 

𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2

𝑡

 

Szukane: 

𝑦 𝑥 , 𝑡

𝑥

0

 

𝑠𝑖𝑛𝑡 =

𝑥
3

     sin

2

𝑡 =

𝑥

2

9

 

𝑐𝑜𝑠2𝑡 =

𝑦
2

                     𝑇𝑜ż𝑠𝑎𝑚𝑜ść:  𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 2 cos

2

𝛼 − 1  

2 cos

2

𝑡 =

𝑦
2

+ 1             cos

2

𝑡 =

𝑦
4

+

1
2

 

cos

2

𝑡 + sin

2

𝑡 = 1 

𝑥

2

9

+

𝑦
4

+

1
2

= 1    

𝑥

2

9

+

𝑦
4

=

1
2

    

𝑦
4

=

1
2

−

𝑥

2

9

      𝑦 𝑥  =

4
2

−

4𝑥

2

9

= 2 −

4𝑥

2

9

 

𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑡   0 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑡  
𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0 
2 cos

2

𝑡 − 1 = 0 

2 cos

2

𝑡 = 1 

cos

2

𝑡 =

1
2

             𝑐𝑜𝑠𝑡 =

 2

2

       𝑡 =

𝜋
4

 

14. 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡          𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡               𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡  =

𝑥
𝐴

        sin 𝜔𝑡  =

𝑦
𝐵

 

𝑥

2

𝐴

2

+

𝑦

2

𝐵

2

= 1 

(uzupełnid) 

15. 𝑣 𝑡  =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=  

𝑏

𝑐

2

 𝑐𝑡 + 𝑒

−𝑐𝑡

  

′

=

𝑏

𝑐

2

 𝑐 − 𝑐𝑒

−𝑐𝑡

  =

𝑏

𝑐

(1 − 𝑒

−𝑐𝑡

) 

Zauważamy, że dla lim

𝑡→∞

𝑒

−𝑐𝑡

= 0, więc 𝑣

𝑚𝑎𝑥

=

𝑏

𝑐

∗  1 − 0  = 𝑏/𝑐 

Dla początku ruchu (gdy t=0), v jest równe 0. 
 

𝑎 𝑡  =

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=  

𝑏

𝑐

 

′

−  

𝑏

𝑐

∗ 𝑒

−𝑐𝑡

 

′

=

𝑏

𝑐

∗ 𝑐𝑒

−𝑐𝑡

= 𝑏 ∗ 𝑒

−𝑐𝑡

 

a będzie maksymalne,  gdy 𝑒

−𝑐𝑡

 będzie równe jeden, czyli t=0, więc 𝑎

𝑚𝑎𝑥

= 𝑏 

16. 𝑥 =

𝑎

cos  𝜔𝑡  

          𝑦 = 𝑏 ∗  𝑡𝑔 𝜔𝑡  

cos 𝜔𝑡  =

𝑎
𝑥

  𝑡𝑔 𝜔𝑡  =

𝑦
𝑏

=

𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 

              

𝑦
𝑏

∗

𝑎
𝑥

= sin 𝜔𝑡  

sin

2

 𝜔𝑡  + cos

2

 𝜔𝑡  = 1 

𝑦

2

𝑎

2

𝑏

2

𝑥

2

+

𝑎

2

𝑥

2

= 1 

𝑦

2

𝑎

2

+ 𝑎

2

𝑏

2

𝑏

2

𝑥

2

= 1 

𝑦

2

𝑎

2

= 𝑏

2

𝑥

2

− 𝑎

2

𝑏

2

= 𝑏

2

 𝑥

2

− 𝑎

2

  

𝑦

2

=

𝑏

2

𝑎

2

 𝑥

2

− 𝑎

2

  

𝑦 𝑥  =

𝑏
𝑎

 𝑥

2

− 𝑎

2

 

𝑣

𝑥

 𝑡  =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=  

𝑎

cos 𝜔𝑡 

 

′

=

𝑎

′

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡  − 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 

′

cos

2

 𝜔𝑡 

=

𝑎 ∗  𝜔𝑡 

′

∗ sin 𝜔𝑡 

cos

2

 𝜔𝑡 

= 𝑎𝜔 ∗

𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 

cos

2

 𝜔𝑡 

=

𝑎𝜔𝑡𝑔 𝜔𝑡 

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 

 

𝑣

𝑥

 𝑥  = 𝑎𝜔 ∗

𝑦
𝑏

∗

𝑥
𝑎

=

𝜔𝑥𝑦

𝑏

=

𝜔𝑥

𝑏

𝑎  𝑥

2

− 𝑎

2

𝑏

=

𝜔𝑥 𝑥

2

− 𝑎

2

𝑎

 

𝑣

𝑦

 𝑡  =

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= 𝑏𝑡𝑔 𝜔𝑡 

′

=

𝑏𝜔

cos

2

 𝜔𝑡 

 

𝑣

𝑦

 𝑦  =

𝑏𝜔𝑥

2

𝑎

2

        𝑥

2

=  

𝑦𝑎

𝑏

 

2

+ 𝑎

2

= 𝑎

2

 

𝑦

2

𝑏

2

+ 1  

𝑣

𝑦

 𝑦  = 𝑏𝜔  

𝑦

2

𝑏

2

+ 1  =

𝑦

2

𝜔

𝑏

+ 𝑏𝜔 

𝑣 𝑡  =  (

𝑏𝜔

cos

2

 𝜔𝑡 

)

2

+ (

𝑎𝜔𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 

cos

2

 𝜔𝑡 

)

2

=  

𝜔

2

𝑎

2

sin

2

 𝜔𝑡  + 𝑏

2

𝜔

2

cos

4

 𝜔𝑡 

=  𝜔

2

(𝑎

2

sin

2

 𝜔𝑡  + 𝑏

2

)/ cos

4

 𝜔𝑡  =

𝜔

cos

2

 𝜔𝑡  

 𝑎

2

sin

2

 𝜔𝑡  + 𝑏

2

 

17.