PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
1.2 WYKŁAD
1.2 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
1.2 WYKŁAD
1.2 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
TELEKOMUNIKACYJNYCH
TELEKOMUNIKACYJNYCH
W praktyce, często jest poŜądane, aby analizę obwodów
prowadzić w funkcji FIZYCZNEJ CZĘSTOTLIWOŚCI
ω
, przebiegów występujących w obwodach.
Funkcje obwodów powinny wtedy być funkcjami
częstotliwości, czyli CHARAKTERYSTYKAMI
CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI OBWODÓW.
Okazuje się, Ŝe tego typu analiza
CZĘSTOTLIWOŚCIOWA lub WIDMOWA obwodów
jest moŜliwa na gruncie
PRZEKSZTAŁCENIA FOURIER’A (dyskretnego bądź
ciagłego)
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
3
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
TELEKOMUNIKACYJNYCH
TELEKOMUNIKACYJNYCH
Szereg (transformatę) Fouriera moŜna traktować
jako metodę reprezentacji pewnej klasy funkcji
przez zbiór tzw. funkcji ortogonalnych
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
4
1.2 METODY WIDMOWE
1.2 METODY WIDMOWE
ANALIZY SYSTEMÓW
ANALIZY SYSTEMÓW
TELEKOMUNIKACYJNYCH
TELEKOMUNIKACYJNYCH
Liniowe
PRZEKSZTAŁCENIE
FOURIER’A
pomaga
w
rozwiązywaniu wielu zagadnień dotyczących układów liniowych
i jest stosowane w róŜnych dziedzinach nauki.
Zastosowanie tego przekształcenia umoŜliwia rozwiązywanie
zagadnień zarówno fizycznych jak i matematycznych.
PoniewaŜ przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości (widma)
zjawisk elektrycznych moŜna zmierzyć, np. za pomocą
oscyloskopu i analizatora widma, zatem TRANSFORMATY
FOURIER’A maja równieŜ określony sens fizyczny.
Widma są TRANSFORMATAMI FOURIER’A przebiegów
fizycznych w dziedzinie czasu.
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
5
DYSKRETNE WIDMO AMLITUDOWE I FAZOWE
DYSKRETNE WIDMO AMLITUDOWE I FAZOWE
Je
Je
Ŝ
Ŝ
eli sygna
eli sygna
ł
ł
wyst
wyst
ę
ę
puj
puj
ą
ą
cy w obwodzi elektrycznym,
cy w obwodzi elektrycznym,
opisany funkcj
opisany funkcj
ą
ą
f(t
f(t
) jest sygna
) jest sygna
ł
ł
em okresowym, tzn.
em okresowym, tzn.
f(t
f(t
) =
) =
f(t
f(t
+
+
kT
kT
)
)
,
,
T
T
-
-
okres funkcji, k=0,
okres funkcji, k=0,
±
±
1,
1,
±
±
2,
2,
…
…
to, o ile funkcja
to, o ile funkcja
f(t
f(t
) jest przedzia
) jest przedzia
ł
ł
ami regularna lub jest
ami regularna lub jest
funkcj
funkcj
ą
ą
o ograniczonej zmienno
o ograniczonej zmienno
ś
ś
ci w okresie T, to
ci w okresie T, to
Mo
Mo
Ŝ
Ŝ
na go przedstawi
na go przedstawi
ć
ć
z pomoc
z pomoc
ą
ą
SZEREGU
SZEREGU
FOURIER
FOURIER
’
’
A, zbie
A, zbie
Ŝ
Ŝ
nego do funkcji
nego do funkcji
f(t
f(t
) prawie wsz
) prawie wsz
ę
ę
dzie
dzie
w okresie T.
w okresie T.
1.2.1. DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE
1.2.1. DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE
FOURIER’A
FOURIER’A
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
6
Wyk
Wyk
ł
ł
adniczy szereg
adniczy szereg
Fourier
Fourier
’
’
a
a
:
:
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynniki
czynniki
F
F
k
k
szeregu
szeregu
Fourier
Fourier
’
’
a
a
s
s
ą
ą
wielko
wielko
ś
ś
ciami
ciami
zespolonymi:
zespolonymi:
Ł
Ł
atwo zauwa
atwo zauwa
Ŝ
Ŝ
y
y
ć
ć
, zmieniaj
, zmieniaj
ą
ą
c k
c k
na
na
–
–
k,
k,
Ŝ
Ŝ
e:
e:
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
,
e
F
)
t
(
f
k
k
t
jk
k
∑
∞
=
−∞
=
ω
⋅
=
k
j
k
k
e
F
F
ϕ
=
k
j
k
k
e
F
F
ϕ
=
k
j
k
k
e
F
F
ϕ
=
k
k
k
k
;
F
F
ϕ
−
=
ϕ
=
−
∗
−
∫
ω
⋅
=
T
0
t
jk
k
dt
e
)
t
(
f
T
1
F
gdzie
( 2.1 )
( 2.1 )
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
7
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
DYSKRETNYM WIDMEM AMPLITUDOWYM
DYSKRETNYM WIDMEM AMPLITUDOWYM
sygna
sygna
ł
ł
u
u
okresowego nazywa si
okresowego nazywa si
ę
ę
przebieg MODU
przebieg MODU
Ł
Ł
U
U
-
-
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik
czynnik
ó
ó
w szeregu
w szeregu
Fourier
Fourier
’
’
a
a
w funkcji k
w funkcji k
widmo amplitudowe jest PARZYST
widmo amplitudowe jest PARZYST
Ą
Ą
funkcj
funkcj
ą
ą
k
k
DYSKRETNYM WIDMEM FAZOWYM
DYSKRETNYM WIDMEM FAZOWYM
sygna
sygna
ł
ł
u
u
okresowego nazywa si
okresowego nazywa si
ę
ę
przebieg ARGUMENTU
przebieg ARGUMENTU
-
-
ϕ
ϕ
k
k
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik
czynnik
ó
ó
w szeregu
w szeregu
Fourier
Fourier
’
’
a
a
w funkcji k
w funkcji k
widmo fazowe jest NIEPARZYST
widmo fazowe jest NIEPARZYST
Ą
Ą
funkcj
funkcj
ą
ą
k
k
k
F
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
8
Szereg wyk
Szereg wyk
ł
ł
adniczy mo
adniczy mo
Ŝ
Ŝ
na przedstawi
na przedstawi
ć
ć
w postaci
w postaci
TRYGONOMETRYCZNEJ:`
TRYGONOMETRYCZNEJ:`
przy czym
przy czym
Z przedstawionej zale
Z przedstawionej zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ś
ś
ci wynika,
ci wynika,
Ŝ
Ŝ
e sygna
e sygna
ł
ł
okresowy
okresowy
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na przedstawi
na przedstawi
ć
ć
w postaci niesko
w postaci niesko
ń
ń
czonej sumy sk
czonej sumy sk
ł
ł
adowych
adowych
sinusoidalnych o PULSACJACH HARMONICZNYCH:
sinusoidalnych o PULSACJACH HARMONICZNYCH:
ω
ω
k
k
= k
= k
ω
ω
,
,
przy czym
przy czym
ω
ω
1
1
T =
T =
ω
ω
T = 2
T = 2
π
π
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
,
)
j
t
k
cos(
F
2
F
)
t
(
f
k
1
k
k
k
0
∑
∞
=
=
ϕ
+
ω
⋅
+
=
∫
=
T
0
0
dt
)
t
(
f
T
1
F
( 2.2 )
( 2.2 )
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
9
i o AMPLITUDACH
i o AMPLITUDACH
W szeregu (2.2) nie wyst
W szeregu (2.2) nie wyst
ę
ę
puj
puj
ą
ą
wszystkie sk
wszystkie sk
ł
ł
adowe dla
adowe dla
wszystkich cz
wszystkich cz
ę
ę
stotliwo
stotliwo
ś
ś
ci, lecz tylko o dyskretnych
ci, lecz tylko o dyskretnych
warto
warto
ś
ś
ciach, b
ciach, b
ę
ę
d
d
ą
ą
cych wielokrotno
cych wielokrotno
ś
ś
ci
ci
ą
ą
cz
cz
ę
ę
stotliwo
stotliwo
ś
ś
ci
ci
podstawowej
podstawowej
ω
ω
1
1
.
.
Dlatego WIDMO AMPLITUDOWE I WIDMO FAZOWE
Dlatego WIDMO AMPLITUDOWE I WIDMO FAZOWE
nazywa si
nazywa si
ę
ę
WIDMAMI DYSKRETNYMI.
WIDMAMI DYSKRETNYMI.
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
k
max
k
F
2
F
⋅
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
10
1.2.1 SZEREGI FOURIER’A
1.2.1 SZEREGI FOURIER’A
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
11
WIDMO AMPLITUDOWE
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
Przyk
Przyk
ł
ł
adowe widma
adowe widma
dyskretne pewnego
dyskretne pewnego
sygna
sygna
ł
ł
u okresowego
u okresowego
przedstawiono na rys.
przedstawiono na rys.
2.1.
2.1.
F
k
F
0
F
1
F
-1
F
2
F
-2
F
3
F
-3
F
4
F
-4
1
k
k
ω
ω
=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ϕ
k
1
k
k
ω
ω
=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
π
-
π
WIDMO FAZOWE
Rys. 2.1.
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
12
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
Wyznaczymy widmo przebiegu okresowego pokazanego na rys.2.2.
Wyznaczymy widmo przebiegu okresowego pokazanego na rys.2.2.
Funkcj
Funkcj
ę
ę
f(t
f(t
) mo
) mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
:
:
T
t
0
,
t
T
F
)
t
(
f
m
<
<
⋅
=
PRZYKŁAD 2.1
PRZYKŁAD 2.1
Rys. 2.2.
f(t)
F
m
0
T
t
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik rozwini
czynnik rozwini
ę
ę
cia w szereg wyk
cia w szereg wyk
ł
ł
adniczy:
adniczy:
`)]
1
e
(
)
T
k
(
1
e
T
jk
1
[
F
]
dt
e
jk
1
e
jk
1
t
[
T
F
dt
e
t
T
F
T
1
F
T
jk
2
T
jk
m
T
0
t
jk
T
0
t
jk
2
m
t
jk
T
0
m
k
−
ω
+
⋅
ω
−
=
=
ω
−
+
⋅
ω
−
=
⋅
⋅
=
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
∫
∫
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZANIE
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
13
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
1.2.1 SZEREG FOURIER’A
Poniewa
Poniewa
Ŝ
Ŝ
ω
ω
T = 2
T = 2
π
π
oraz e
oraz e
-
-
jk2
jk2
π
π
=1
=1
:
:
∫
=
⋅
⋅
=
≠
π
=
π
=
π
T
0
m
m
0
2
j
m
m
k
2
F
dt
t
T
F
T
1
F
oraz
0
k
,
e
k
2
F
k
2
F
j
F
PRZYKŁAD 2.1
PRZYKŁAD 2.1
IF
k
I
F
0
=F
m
/2
F
-1
F
-2
F
-3
F
-4
1
k
k
ω
ω
=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F
1
F
2
F
3
F
4
k
2
F
m
π
ϕ
k
1
k
k
ω
ω
=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
π
/2
-
π
/2
Rys. 2.3.
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
14
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Warto
Warto
ść
ść
skuteczn
skuteczn
ą
ą
definiuje si
definiuje si
ę
ę
nast
nast
ę
ę
puj
puj
ą
ą
co:
co:
∑
∑
∑
∑
∫
∞
=
=
−
→
∞
=
−
−∞
=
∞
−∞
=
+
====
+
+
=
=
=
⋅
=
−
1
k
2
k
2
0
F
F
k
k
1
k
2
k
1
k
2
k
2
0
k
2
k
T
0
2
sk
F
2
F
F
F
F
F
dt
)
t
(
f
T
1
F
k
k
Dla przebiegu sinusoidalnego: F
Dla przebiegu sinusoidalnego: F
0
0
=0 i F
=0 i F
k
k
=0 dla k>1
=0 dla k>1
2
2
2
2
max
2
1
2
1
max
1
F
F
F
F
F
F
sk
=
⋅
====
⋅
=
⋅
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
15
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Je
Je
Ŝ
Ŝ
eli przepiszemy
eli przepiszemy
F
F
sk
sk
w postaci:
w postaci:
∑
∞
=
⋅
+
=
1
k
2
k
2
0
sk
)
2
F
2
(
F
F
oraz warto
oraz warto
ść
ść
skuteczn
skuteczn
ą
ą
k
k
-
-
tej
tej
harmonicznej oznaczymy
harmonicznej oznaczymy
2
F
F
max
sk
k
k
=
∑
∞
=
+
=
1
k
2
k
2
0
sk
sk
F
F
F
•
•
Wartość skuteczna przebiegu
Wartość skuteczna przebiegu
okresowego jest równa pierwiastkowi
okresowego jest równa pierwiastkowi
z sumy kwadratów wartości
z sumy kwadratów wartości
skutecznych wyŜszych harmonicznych i
skutecznych wyŜszych harmonicznych i
kwadratu składowej stałej
kwadratu składowej stałej
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
16
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Obliczymy warto
Obliczymy warto
ść
ść
skuteczn
skuteczn
ą
ą
przebiegu pi
przebiegu pi
ł
ł
okszta
okszta
ł
ł
tnego z przyk
tnego z przyk
ł
ł
adu 2.1.
adu 2.1.
zatem:
zatem:
2
F
F
,
2
k
F
2
F
2
F
m
0
m
k
k
sk
=
⋅
π
=
⋅
=
3
F
3
t
T
F
dt
)
t
T
F
(
T
1
F
lub
3
F
6
1
2
1
2
F
k
1
1
2
1
2
F
)
k
(
2
F
)
2
F
(
F
m
T
0
3
3
2
m
2
m
T
0
sk
m
2
2
m
1
k
2
2
m
1
k
2
2
m
2
m
sk
=
=
=
=
π
⋅
π
+
=
π
+
=
π
+
=
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
PRZYKŁAD 2.3
PRZYKŁAD 2.3
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZANIE
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
17
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY
Reakcj
Reakcj
ę
ę
uk
uk
ł
ł
adu otrzymujemy
adu otrzymujemy
Jest dyskretnym przekszta
Jest dyskretnym przekszta
ł
ł
ceniem
ceniem
Fourier
Fourier
’
’
a
a
funkcji pobudzenia
funkcji pobudzenia
p(t
p(t
).
).
Zatem
Zatem
H(j
H(j
ω
ω
)
)
–
–
funkcja (transmitancja) uk
funkcja (transmitancja) uk
ł
ł
adu
adu
∫
∑
∑
ω
−
ω
∞
−∞
=
ω
∞
=
−∞
=
⋅
=
⋅
=
⋅
ω
⋅
=
T
0
t
jk
k
t
jk
k
k
t
jk
k
k
k
dt
e
)
t
(
p
T
1
P
:
gdzie
e
R
e
)
jk
(
H
P
)
t
(
r
),
jk
(
H
P
R
k
k
ω
⋅
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
18
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
Wyznaczymy przebieg czasowy pr
Wyznaczymy przebieg czasowy pr
ą
ą
du w uk
du w uk
ł
ł
adzie pokazanym na rys. 2.4
adzie pokazanym na rys. 2.4
e (t) =
e (t) =
E
E
m
m
t
t
/T
/T
,
,
dla 0<t<T
dla 0<t<T
–
–
przebieg pi
przebieg pi
ł
ł
okszta
okszta
ł
ł
tny jak w Przyk
tny jak w Przyk
ł
ł
adzie 2.1
adzie 2.1
oraz
oraz
FUNKCJA UK
FUNKCJA UK
Ł
Ł
ADU
ADU
L
jk
R
1
)
j
(
Z
1
)
jk
(
H
ω
+
=
ω
=
ω
PRZYKŁAD 2.2
PRZYKŁAD 2.2
Rys. 2.4.
e (t)
i (t)
L
R
e(t)
E
m
0
T
t
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZANIE
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
19
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynniki szeregu
czynniki szeregu
Fourier
Fourier
’
’
a
a
dla SEM zapiszemy na podstawie
dla SEM zapiszemy na podstawie
wynik
wynik
ó
ó
w z Przyk
w z Przyk
ł
ł
adu 2.1:
adu 2.1:
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynniki szeregu
czynniki szeregu
Fourier
Fourier
’
’
a
a
dla pr
dla pr
ą
ą
du:
du:
2
E
E
,
0
k
,
e
k
2
E
E
m
0
2
j
m
k
=
≠
π
=
π
PRZYKŁAD 2.2
PRZYKŁAD 2.2
R
2
E
I
,
0
k
,
L
jk
R
1
e
k
2
E
I
m
0
2
j
m
k
⋅
=
≠
ω
+
⋅
π
=
π
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
20
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAŁÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKŁADY SLS
Przebieg czasowy pr
Przebieg czasowy pr
ą
ą
du otrzymujemy zapisuj
du otrzymujemy zapisuj
ą
ą
c szereg
c szereg
Fourier
Fourier
’
’
a
a
:
:
Po przekszta
Po przekszta
ł
ł
ceniach:
ceniach:
,
e
L
jk
R
e
k
2
E
R
2
E
e
I
I
)
t
(
i
k
t
jk
2
j
m
m
k
t
jk
k
0
∑
∑
∞
−∞
=
ω
π
∞
−∞
=
ω
⋅
ω
+
⋅
π
+
=
⋅
+
=
PRZYKŁAD 2.2
PRZYKŁAD 2.2
R
L
k
arctg
gdzie
,
)
t
k
sin(
)
L
k
(
R
k
E
R
2
E
)
t
(
i
k
1
k
k
2
2
m
m
ω
=
ψ
ψ
−
ω
⋅
ω
+
π
−
=
∑
∞
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
21
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
Obliczymy ca
Obliczymy ca
ł
ł
k
k
ę
ę
w okresie z iloczynu dw
w okresie z iloczynu dw
ó
ó
ch przebieg
ch przebieg
ó
ó
w
w
okresowych
okresowych
f(t
f(t
) i
) i
g(t
g(t
), podzielon
), podzielon
ą
ą
przez okres T
przez okres T
Funkcje
Funkcje
f(t
f(t
) i
) i
g(t
g(t
) mo
) mo
Ŝ
Ŝ
na przedstawi
na przedstawi
ć
ć
w postaci szereg
w postaci szereg
ó
ó
w
w
Fourier
Fourier
’
’
a
a
∫
⋅
⋅
T
0
dt
)
t
(
g
)
t
(
f
T
1
dt
e
G
e
F
T
czyli
e
G
t
g
oraz
e
F
t
f
n
t
jn
n
T
k
t
jk
k
n
t
jn
n
k
t
jk
k
⋅
⋅
=
=
∑
∫ ∑
∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
ω
ω
ω
ω
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
22
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
W iloczynie szereg
W iloczynie szereg
ó
ó
w wyst
w wyst
ę
ę
puj
puj
ą
ą
sk
sk
ł
ł
adniki z funkcj
adniki z funkcj
ą
ą
eksponencjaln
eksponencjaln
ą
ą
e
e
j(k+n)
j(k+n)
ω
ω
t
t
, przy czym (
, przy czym (
k+n
k+n
)= 0 lub
)= 0 lub
≠
≠
0, zatem:
0, zatem:
Wynika st
Wynika st
ą
ą
d,
d,
R
R
Ó
Ó
WNO
WNO
ŚĆ
ŚĆ
PARSEVAL
PARSEVAL
’
’
A
A
dla dyskretnego przekszta
dla dyskretnego przekszta
ł
ł
cenia
cenia
Fourier
Fourier
’
’
a
a
:
:
−
=
=
+
≠
+
=
⋅
∫
ω
+
n
k
.
tj
,
0
n
k
,
1
0
n
k
,
0
dt
e
T
1
T
0
t
)
n
k
(
j
∗
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
∑
∑
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
k
k
k
k
k
k
T
0
G
F
G
F
dt
)
t
(
g
)
t
(
f
T
1
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
23
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAŁU OKRESOWEGO
W szczeg
W szczeg
ó
ó
lnym przypadku, gdy
lnym przypadku, gdy
f(t
f(t
) =
) =
g(t
g(t
):
):
∑
∫
∞
−∞
=
=
⋅
k
2
k
T
0
2
F
dt
)
t
(
f
T
1
MOC ŚREDNIA
MOC ŚREDNIA
PRZEBIEGU OKRESOWEGO
PRZEBIEGU OKRESOWEGO
KAśDA SKŁADOWA HARMONICZNA
KAśDA SKŁADOWA HARMONICZNA
NIESIE PEWNĄ CZĘŚĆ
NIESIE PEWNĄ CZĘŚĆ
MOCY CAŁKOWITEJ PRZEBIEGU
MOCY CAŁKOWITEJ PRZEBIEGU
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
24
Za
Za
ł
ł
ó
ó
Ŝ
Ŝ
my,
my,
Ŝ
Ŝ
e na zaciskach na kt
e na zaciskach na kt
ó
ó
rych dzia
rych dzia
ł
ł
a napi
a napi
ę
ę
cie
cie
u(t
u(t
),
),
rozpatrywany obw
rozpatrywany obw
ó
ó
d mo
d mo
Ŝ
Ŝ
na opisa
na opisa
ć
ć
admitancj
admitancj
ą
ą
Y(s
Y(s
):
):
MOC CZYNN
MOC CZYNN
Ą
Ą
zdefiniujemy jako warto
zdefiniujemy jako warto
ść
ść
ś
ś
redni
redni
ą
ą
z MOCY
z MOCY
CHWILOWEJ:
CHWILOWEJ:
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Rozpatrzmy obw
Rozpatrzmy obw
ó
ó
d elektryczny pobudzony napi
d elektryczny pobudzony napi
ę
ę
ciem okresowym
ciem okresowym
u(t
u(t
), a wi
), a wi
ę
ę
c takim,
c takim,
Ŝ
Ŝ
e
e
)
jk
(
Y
U
)}
t
(
i
{
I
k
k
k
ω
⋅
=
ℑ
=
)}
t
(
u
{
U
k
k
ℑ
=
∫
∫
⋅
⋅
=
⋅
=
T
0
T
0
dt
)
t
(
i
)
t
(
u
T
1
dt
)
t
(
p
T
1
P
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
25
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Poniewa
Poniewa
Ŝ
Ŝ
zar
zar
ó
ó
wno napi
wno napi
ę
ę
cie jak i pr
cie jak i pr
ą
ą
d s
d s
ą
ą
przebiegami okresowymi,
przebiegami okresowymi,
istniej
istniej
ą
ą
dla nich DYSKRETNE PRZEKSZTA
dla nich DYSKRETNE PRZEKSZTA
Ł
Ł
CENIA FOURIER
CENIA FOURIER
’
’
A.
A.
Dla ca
Dla ca
ł
ł
ki w okresie z iloczynu funkcji mo
ki w okresie z iloczynu funkcji mo
Ŝ
Ŝ
na zastosowa
na zastosowa
ć
ć
TWIERDZENIE PARSEVAL
TWIERDZENIE PARSEVAL
’
’
A
A
)
I
U
I
U
(
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
dt
)}
t
(
i
{
)}
t
(
u
{
T
1
P
k
k
1
k
k
k
0
0
1
k
k
k
1
k
k
k
0
0
k
k
k
T
0
K
K
∗
−
−
∞
=
∗
∞
−
−
=
∗
∞
=
∗
∞
−∞
=
∗
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
=
⋅
=
⋅
ℑ
⋅
ℑ
=
∑
∑
∑
∑
∫
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
26
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Podstawiaj
Podstawiaj
ą
ą
c zespolone warto
c zespolone warto
ś
ś
ci napi
ci napi
ę
ę
cia i pr
cia i pr
ą
ą
du:
du:
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
ψ
⋅
⋅
+
=
=
ψ
⋅
⋅
+
==
ψ
⋅
⋅
+
=
1
k
k
0
k
1
k
sk
sk
0
0
k
1
k
k
k
0
0
1
k
k
k
k
0
0
P
P
cos
I
U
I
U
cos
2
I
2
2
U
2
I
U
cos
I
U
I
U
P
I
k
U
k
j
k
k
j
k
k
e
I
I
oraz
e
U
U
ϕ
ϕ
⋅
=
⋅
=
Otrzymujemy:
Otrzymujemy:
MOC
SKŁADOWEJ STAŁEJ
MOC
SKŁADOWEJ STAŁEJ
MOC CZYNNA
K-TEJ HARMONICZNEJ
MOC CZYNNA
K-TEJ HARMONICZNEJ
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
27
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAŁU OKRESOWEGO
Obliczymy moc czynn
Obliczymy moc czynn
ą
ą
w obwodzie z przyk
w obwodzie z przyk
ł
ł
adu 2.2.
adu 2.2.
E
E
m
m
=1V,
=1V,
ω
ω
=5
=5
rd
rd
/s.
/s.
PRZYKŁAD 2.4
PRZYKŁAD 2.4
e (t)
L=
1H
R=1
Ω
ROZWIĄZANIE
ROZWIĄZANIE
P
P
0
0
=E
=E
0
0
I
I
0
0
= 0,5 E
= 0,5 E
m
m
0,5 E
0,5 E
m
m
/R = 250 mW
/R = 250 mW
)
k
5
arctg
cos(
k
25
1
k
1
2
1
]
k
5
arctg
2
arctg
2
arctg
cos[
k
25
1
1
2
k
1
2
k
1
cos
I
E
P
2
2
2
2
k
ksk
ksk
k
+
⋅
π
≅
≅
+
π
−
π
+
⋅
π
⋅
π
=
ψ
=
Tak wi
Tak wi
ę
ę
c: P
c: P
1
1
= 1,948 mW; P
= 1,948 mW; P
2
2
=0,1254 mW; P
=0,1254 mW; P
3
3
=0,0249 mW; P
=0,0249 mW; P
4
4
= 15,7
= 15,7
µ
µ
W;
W;
P
P
5
5
=7,2
=7,2
µ
µ
W; P = 252 mW
W; P = 252 mW
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
28
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
Poj
Poj
ę
ę
cie MOCY POZORNEJ i MOCY BIERNEJ dla dowolnych
cie MOCY POZORNEJ i MOCY BIERNEJ dla dowolnych
przebieg
przebieg
ó
ó
w okresowych wprowadza si
w okresowych wprowadza si
ę
ę
przez analogi
przez analogi
ę
ę
do
do
przebieg
przebieg
ó
ó
w sinusoidalnych.
w sinusoidalnych.
MOC POZORNA
MOC POZORNA
S =
S =
U
U
sk
sk
I
I
sk
sk
MOC BIERNA (
MOC BIERNA (
k
k
-
-
tej
tej
harmonicznej)
harmonicznej)
Q
Q
k
k
=
=
U
U
ksk
ksk
I
I
ksk
ksk
sin
sin
ψ
ψ
k
k
czyli
czyli
Dla
Dla
k
k
-
-
tej
tej
harmonicznej
harmonicznej
P
P
k
k
2
2
+ Q
+ Q
k
k
2
2
= U
= U
ksk
ksk
2
2
I
I
ksk
ksk
2
2
= S
= S
k
k
2
2
∑
∞
=
=
1
k
k
Q
Q
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
29
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
MOC ODKSZTA
MOC ODKSZTA
Ł
Ł
CENIA
CENIA
Tak wi
Tak wi
ę
ę
c, w przypadku okresowych przebieg
c, w przypadku okresowych przebieg
ó
ó
w dzia
w dzia
ł
ł
aj
aj
ą
ą
cych
cych
w obwodzie SLS, miedzy mocami zachodzi zale
w obwodzie SLS, miedzy mocami zachodzi zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ść
ść
:
:
S
S
2
2
= P
= P
2
2
+ Q
+ Q
2
2
+ T
+ T
2
2
)]
cos(
I
U
I
U
[
I
U
)
Q
P
(
S
T
k
0
i
i
i
k
k
i
i
k
0
k
k
i
2
2
2
sk
sk
sk
sk
sk
sk
ψ
−
ψ
−
=
+
−
=
∑∑
∞
=
∞
≠
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
30
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAŁCENIA
Obliczymy moc odkszta
Obliczymy moc odkszta
ł
ł
cenia T w obwodzie R, L z przyk
cenia T w obwodzie R, L z przyk
ł
ł
adu
adu
2.4.
2.4.
MOC BIERNA
MOC BIERNA
MOC POZORNA
MOC POZORNA
MOC ODKSZTA
MOC ODKSZTA
Ł
Ł
CENIA
CENIA
∑
∞
=
=
=
+
⋅
π
=
ψ
=
1
k
k
2
2
2
k
i
k
k
mVAr
71
,
11
Q
Q
)
k
5
arctg
sin(
k
25
1
k
1
1
sin
I
E
Q
sk
sq
PRZYKŁAD 2.5
PRZYKŁAD 2.5
mVA
8
,
261
S
I
E
S
;
k
25
1
k
1
2
1
I
E
S
1
k
k
0
0
2
2
2
i
k
k
sk
sq
=
+
=
+
⋅
π
=
=
∑
∞
=
mVA
58
,
69
)
Q
P
(
S
T
2
2
2
=
+
−
=
Dr W.J. Krzysztofik
1.2 Podstawy Telekomunikacji
31
1
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
1
1
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
Przez analogi
Przez analogi
ę
ę
do
do
przebieg
przebieg
ó
ó
w sinusoidalnych
w sinusoidalnych
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na wprowadzi
na wprowadzi
ć
ć
WSP
WSP
Ó
Ó
Ł
Ł
CZYNNIK MOCY
CZYNNIK MOCY
:
:
W praktyce cz
W praktyce cz
ę
ę
sto
sto
Napi
Napi
ę
ę
cie pobudzaj
cie pobudzaj
ą
ą
ce jest
ce jest
sinusoidalne, a
sinusoidalne, a
Pr
Pr
ą
ą
d (reakcja) jest
d (reakcja) jest
okresowy odkszta
okresowy odkszta
ł
ł
cony
cony
W takich wypadkach
W takich wypadkach
mo
mo
Ŝ
Ŝ
emy zapisa
emy zapisa
ć
ć
:
:
S
P
cos
=
Θ
1
I
I
k
,
U
U
bo
cos
k
I
U
cos
I
U
cos
sk
sk
1
0
sk
sk
1
1
0
sk
sk
1
sk
1
sk
1
<
=
=
ψ
=
ψ
=
Θ
WSPÓŁCZYNNIK ODKSZTAŁCENIA
WSPÓŁCZYNNIK ODKSZTAŁCENIA