Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
1
Rzutowanie równoległe
i perspektywiczne
Wykład 2
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Plan wykładu
1. Układ współrzędnych, zasady rzutowania
2. Rzutowanie równoległe
3. Rzutowanie perspektywiczne
4. Ogólny przypadek rzutowania
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Układ współrzędnych, zasady rzutowania
x
y
z
rzutnia (ekran)
obserwator
Lewoskrętny układ współrzędnych i rzutnia:
y
x
z
oś
x
z
y
oś
z
y
x
oś
→
→
→
Jeśli patrzymy z dodatniego kierunku osi w stronę środka układu
współrzędnych, to obrót o 90° w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek
zegara, przekształci jedną dodatnią oś w drugą. Wartości współrzędnej z są
większe dla punktów leżących dalej od obserwatora.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Układ współrzędnych, zasady rzutowania
Zadanie rzutowania:
Dane:
•
opis obiektu w układzie współrzędnych
xyz
.
•
płaszczyzna rzutowania (rzutnia
Π
Π
Π
Π
).
Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ?
Stosuje się zwykle jeden z dwóch sposobów rzutowania.
1. Rzutowanie równoległe
2. Rzutowanie perspektywiczne
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
2
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Układ współrzędnych, zasady rzutowania
x
y
z
rzutnia
obserwator
Π
Π
Π
Π
P
1
P
2
P
1
’
P
2
’
Rzutowanie równoległe
Punkty
P
1
i
P
2
zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż
prostych równoległych. Punkty przecięcia prostych rzutowania
z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Układ współrzędnych, zasady rzutowania
x
y
z
rzutnia
obserwator
(środek projekcji)
P
1
P
2
P
1
’
P
2
’
Π
Π
Π
Π
Punkty
P
1
i
P
2
zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż
prostych przecinających się w jednym punkcie (środku projekcji).
Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami
rzutowanych punktów.
Rzutowanie perspektywiczne
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Wyróżnia się zwykle dwa przypadki :
•
proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym
(rzut pionowy),
•
proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt
prosty (rzut ukośny).
1. Rzut pionowy
Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym.
Obiekt - sześcian jednostkowy
Rzutnia
Π
Π
Π
Π
- płaszczyzna (
x-y
)
Przykład:
x
y
z
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
(1,2,1)
(2,2,1)
(
1,2,2
)
(
2,2,2
)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Jeśli proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym,
to rzut obiektu wygląda następująco.
x
y
z
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
(1,2,1)
(2,2,1)
(
1,2,2
)
(
2,2,2
)
x
y
Jeśli rzutnią
Π
Π
Π
Π
jest płaszczyzna
(x-y),
to równania opisujące
związek między współrzędnymi rzutowanego punktu
(x, y, z)
a
współrzędnymi jego rzutu
(x
p
, y
p
, z
p
)
przyjmują postać:
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
3
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
0
z
y
y
x
x
p
p
p
=
=
=
Własności obrazów wykonanych techniką rzutu pionowego:
•
rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką samą
długość jak te odcinki,
•
rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są punktami.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.
Definiując rzutnie jako płaszczyzny
(x-y), (x-z), (y-z)
, bądź
płaszczyzny do nich równoległe, można uzyskać
rzuty
z przodu, z boku, z góry itd.
Dla przykładu:
z
y
x
z
rzut z boku
rzut z góry
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
(x
p
, y
p
)
(x, y, z )
x
y
z
Π
Π
Π
Π
α
Φ
(x, y)
L
2. Rzut ukośny
Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż
kąt prosty.
Jak jednoznacznie zorientować proste rzutowania względem
rzutni ?
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania względem
rzutni, prócz kąta
α
α
α
α
trzeba zadać dodatkowy parametr np. kąt
Φ
.
(x
p
, y
p
)
(x, y, z )
x
y
z
Π
Π
Π
Π
α
Φ
(x, y)
L
Z rysunku widać, że
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
sin
L
y
y
cos
L
x
x
p
p
+
=
+
=
podstawiając
1
L
1
L
z
tg
=
=
α
α
α
α
i dalej
1
L
z
L =
uzyskuje się równania
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
4
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
+
=
+
=
+
=
+
=
α
α
α
α
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
α
α
α
α
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
tg
sin
z
y
)
sin
L
(
z
y
y
tg
cos
z
x
)
cos
L
(
z
x
x
1
p
1
p
Parametrami definiującymi rzut ukośny są wiec kąt
Φ
i odległość
lub para kątów
Φ
i
α
.
α
α
α
α
tg
/
1
L
1
=
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Dla przykładu sześcianu jednostkowego, można pokazać
interpretację parametrów rzutowania na utworzonym obrazie.
Π
Π
Π
Π
L
1
Φ
x
y
Powyższy rysunek wyjaśnia także metodę konstrukcji rysunkowej
rzutu ukośnego sześcianu.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
Przykład:
Wyprowadzone wcześniej równania pozwalają na wykonywanie
rzutów ukośnych dla dowolnych zestawów parametrów
L
1
i
Φ
.
W praktyce stosuje się jednak najczęściej pewne typowe zestawy
parametrów rzutowania.
Wykonane zostaną cztery rzuty ukośne sześcianu jednostkowego.
x
y
z
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
(1,2,1)
(2,2,1)
(
1,2,2
)
(
2,2,2
)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
o
1
45
,
1
tg
/
1
L
=
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
1.
(rzut kawaleryjski)
o
30
=
Φ
Φ
Φ
Φ
o
45
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie równolegle
o
1
63
,
2
/
1
tg
/
1
L
≈
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
2.
(rzut gabinetowy)
o
30
=
Φ
Φ
Φ
Φ
o
45
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Jak na płaszczyźnie zobrazować obiekty trójwymiarowe, aby
obserwator patrzący na taki obraz odniósł wrażenie, że widzi
świat trójwymiarowy ?
Niektóre czynniki jakie należy uwzględnić przy próbie
osiągnięcia wrażenia „przestrzenności” na obrazie płaskim:
•
Geometria obrazu
- obiekty, które są w rzeczywistości dalej, wydają się mniejsze,
- linie, które są w rzeczywistości równoległe, wydają się zbieżne.
•
Wpływ oświetlenia sceny na to, co widzi obserwator
- oświetlenie powierzchni obiektów sceny,
- interakcje świetlne pomiędzy obiektami, cienie.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Przykład (miniatura średniowieczna):
La Somme le Roy (1290)
British Museum, London
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Filip Brunelleschi (1377-1446) - architekt, rzeźbiarz
Baptysterium św. Jana
Kopuła katedry we Florencji
Filip Brunelleschi jest uważany za odkrywcę świadomie
stosowanej metody rzutu perspektywicznego. Narysował on obraz
perspektywiczny baptysterium św. Jana, posługując się systemem
dwóch zwierciadeł.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
6
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Paweł Uccello (1397-1475) - malarz
P. Uccello – Bitwa pod san Romano
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Masaccio (1401-1428) - malarz
Masaccio – Grosz czynszowy
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Rafael Santi (1483-1520) - malarz
Rafael – Szkoła ateńska
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Urządzenie do wykonywania rzutów perspektywicznych:
Albrecht Dürer (1471- 1528)
Pouczenie o mierzeniu cyrklem i linią - 1525 r.
Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą [tymi nićmi] można dosięgnąć narysować na desce.
Czyń tedy tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchami przyjmij, że to jest oko. Przez to [ucho]
przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej ołowiany ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz od ucha
szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową] ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką
zechcesz stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które można by otwieraći zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by
były tak długie jak pionowa rama jest szeroka i długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak wisiały. Potem zrób długi
metalowy sztyft, który na przedzie, na ostrzu miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest przez
ucho szpili w ścianie i przenieś igłę i długą nić przez ramę na zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych
nici, które wiszą przy ramie.
A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez zmiany
tak długo jak będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę z nicią do najbardziej istotnych punktów lutni.
A ile razy zatrzyma się ona na którymś z tych punktów i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici przy ramie na krzyż, w
miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i przylepiaj je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił
długą nić. Wtedy zamykaj drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj
znów drzwiczki i czyń tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na desce. Potem połącz liniami
wszystkie punkty lutni, które znajdują się na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób odrysować
i inne rzeczy.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
7
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu
(x, y, z )
a współrzędnymi jego rzutu
( x
p
, y
p
)
przy pomocy równań ?
rama
drzwiczki
ucho
ciężarek
długa nić
krótkie
nici
(x, y, z)
(x
p
,y
p
)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
x
y
z
d
środek projekcji
(x’, y’, z’)
(x, y, z )
(x
p
, y
p
, 0)
Zależność pomiędzy współrzędnymi punktu
(x, y, z )
a punktu
(x
’
, y
’
, z
’
)
opisuje układ równań parametrycznych:
u
)
d
z
(
z
z
1
u
0
yu
y
y
xu
x
x
+
−
=
′
≤
≤
−
=
′
−
=
′
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu
(x
p
, y
p
, 0 )
należy więc
obliczyć
u
, dla którego
0
u
)
d
z
(
z
z
=
+
−
=
′
Rozwiązaniem równania jest
d
z
z
u
+
=
Podstawiając obliczone
u
do układu równań parametrycznych
opisujących współrzędne punktu
(x’, y’, z’)
otrzymuje się
równania
+
=
+
=
d
z
d
y
y
d
z
d
x
x
p
p
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
8
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Rzutowanie perspektywiczne
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne ?
Przykład:
x
y
z
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
(1,2,1)
(2,2,1)
(
1,2,2
)
(
2,2,2
)
d = 3
y
y
x
x
d = 20
d = 20
y
y
x
x
Gdy
d → ∞
rzut perspektywiczny staje się rzutem pionowym.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
W poprzednich rozważaniach rzutnia leżała na płaszczyźnie
(x-y).
Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ?
Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ?
Sformułowanie problemu:
1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych zewnętrznych
(world coordinates) i opisany w tym układzie obiekt.
2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany jest drugi
układ współrzędnych prostokątnych zwany układem
obserwatora (viewing coordinates).
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
x
w
z
w
y
w
x
v
y
v
z
v
obiekt
Model syntetycznej kamery:
x
w
, y
w
, z
w
– układ zewnętrzny
x
v
, y
v
, z
v
– układ obserwatora
Rozwiązanie:
1. Zapisać obiekt w układzie współrzędnych obserwatora
(przeliczyć współrzędne obiektu z układu
(x
w
, y
w
, z
w
)
na
układ
(x
v
, y
v
, z
v
).
2. Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę
(x
v
- y
v
)
.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
Aby wykonać krok 1 najlepiej jest określić
transformacje
złożoną (z transformacji elementarnych). Składanie transformacji
elementarnych
może
odbywać
się
według
następującej
procedury:
1. Przesunięcie środka układu obserwatora do środka
układu współrzędnych zewnętrznych.
2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi
x
w
,
tak aby oś
z
v
znalazła się na płaszczyźnie
(x
v
-z
v
).
3. Obrót układu obserwatora wokół osi
y
v
, tak by oś
z
v
pokryła
się z osią
z
w
.
4. Obrót układu obserwatora wokół osi
z
w
, aby osie
x
v
i
y
v
pokryły się z osiami
x
w
i
y
w
.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
9
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
Zastosowanie dla rzutu perspektywicznego:
Klasyfikacja rzutów perspektywicznych
Kryterium klasyfikacji - liczba osi układu współrzędnych
zewnętrznych
( x
w
, y
w
, z
w
)
, które przecinają rzutnię
( x
v
- y
v
).
x
w
obiekt
z
w
y
w
x
v
y
v
z
v
z
w
obiekt
x
w
y
w
x
v
y
v
z
v
jedna oś (
z
w
) przecina rzutnię
trzy osie przecinają rzutnię
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne dla różnych położeń
rzutni ?
1. Perspektywa jednopunktowa (rzutnia
(x
v
- y
v
)
leży na
płaszczyźnie
(x
w
- y
w
)
).
Pozorny punkt
zbieżności
Na obrazie perspektywicznym proste, na których leżą obrazy
niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w jednym punkcie
(pozorny punkt zbieżności, vanishing point).
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
Canaletto (1735 - 45) - Plac św. Marka w Wenecji
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
2. Perspektywa dwupunktowa. Dwie osie układu współrzędnych
zewnętrznych
( x
w
, y
w
, z
w
)
przecinają rzutnię
( x
v
- y
v
)
P
1
P
2
Sześcian jednostkowy w perspektywie dwupunktowej
Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się dwa
pozorne punkty zbieżności.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
10
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
E. Hopper (1923) - The Mansard Roof
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
3. Perspektywa trójpunktowa. Trzy osie układu współrzędnych
zewnętrznych
( x
w
, y
w
, z
w
)
przecinają rzutnię
( x
v
- y
v
)
Sześcian jednostkowy w perspektywie trójpunktowej
Na obrazie perspektywicznym sześcianu można zaznaczyć trzy
pozorne punkty zbieżności.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
G. O'Keefe (1926) - City Night
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Ogólny przypadek rzutowania
Przykład:
Pietro Lorenzetti (1432) - Birth of Mary
Hans Memling (1490) - Flower still-life