BUDOWNICTWO, SEMESTR I

Lista 12

Całki oznaczone

1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

e

Z

1

4

√

1 + ln x

x

dx

b)

1

Z

0

dx

(2x + 1)

3

c)

a

Z

−a

x cos

x

a

dx

d)

2

Z

0

xe

2x

dx

2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

a) parabolą 4y = 8x − x

2

i prostą 4y = x + 6;

b) krzywą y = x

3

i prostymi y = x, y = 2x;

c) krzywymi y = 4 − x

2

, y = 3

√

x i prostą y = 0;

d) prostymi y = 0, y = x, y = 2x − 4;

e) parabolami y

2

= x, x

2

= 8y;

f) prostymi x + y = 1, x + y = 2, x − y = 0, 2x − y = 0;

g) krzywymi y

2

= −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.

3. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(−1, −1), B(3, 3), C(−3, 2).

4. Obliczyć długość łuku krzywej:

a) y

2

= (x − 1)

3

od punktu A(2, −1) do B(5, −8);

b) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π;

c) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬

π

4

.

5. Obliczyć obwód figury ograniczonej liniami x

2

= y + 1 i y = 4.

6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami:

a) y

2

= 2px, x = a wokół osi OX;

b) xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 wokół osi OX;

c) y = cos x (jedną falę), y = 0 wokół osi OY ;

d) x

2

+ y

2

= 9 wokół osi OY .

7. Obliczyć pola powierzchni powstałych przez obrót łuku krzywej:

a) x

2

+ y

2

= 4 wokół osi OX;

b) y =

x−1

9

od punktu A(1, 0) do punktu B(10, 1) wokół osi OY ;

c) y =

x

2

2

, 0 ¬ x ¬

√

3 wokół osi OY ;

d) y =

√

x(1 −

1
3

x), 1 ¬ x ¬ 3 wokół osi OX.