www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
29
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Liczba
6
√
3
·
√
3 jest równa
A)
3
√
9
B)
6
√
27
C)
18
√
3
D)
9
√
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
6
√
3
·
√
3
=
3
1
6
·
3
1
2
=
3
1
6
+
1
2
=
3
4
6
=
3
2
3
=
3
√
3
2
=
3
√
9.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Ilustracj ˛
a graficzn ˛
a zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci x
2
> 16x jest przedział:
x
0
x
4
x
16
x
-4
A)
C)
B)
D)
16
0
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azujemy dan ˛
a nierówno´s´c
x
2
> 16x
x
2
−
16x > 0
x
(
x
−
16
)
> 0
x
∈ (−
∞, 0
i ∪ h
16,
+
∞
)
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Liczby a i b s ˛
a dodatnie oraz 14% liczby a jest równe 21% liczby b. St ˛
ad wynika, ˙ze a jest
równe
A) 103% liczby b
B) 125% liczby b
C) 150% liczby b
D) 153% liczby b
R
OZWI ˛
AZANIE
Wiemy, ˙ze
14%a
=
21%b
/ : 14%
a
=
21
14
b
=
3
2
b
=
150
100
b
=
150%b.
Odpowied´z: C
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Liczba log
3
h
log
64
(
log
√
3
9
)
i
jest równa
A)
1
2
B)
−
1
2
C) 1
D)
−
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
3
h
log
64
(
log
√
3
9
)
i
=
log
3
log
64
log
√
3
√
3
4
=
=
log
3
log
64
4
=
log
3
h
log
64
64
1
3
i
=
log
3
1
3
=
log
3
3
−
1
= −
1.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Funkcja f jest okre´slona wzorem f
(
x
) =
2x
1
−
x
dla x
6=
1. Warto´s´c funkcji f dla argumentu
x
=
2 jest równa
A) 2
B)
−
4
C) 4
D)
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
f
(
2
) =
4
1
−
2
= −
4.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Wykres funkcji liniowej f
(
x
) = (
1
−
m
)
x
+
m przechodzi przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu
współrz˛ednych wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m
∈ (−
∞, 0
)
B) m
∈ (−
∞, 1
)
C) m
∈ (
0,
+
∞
)
D) m
∈ (
0, 1
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy wykres funkcji liniowej przechodz ˛
acy przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu współ-
rz˛ednych.
x
y
I
II
III
IV
Wida´c z obrazka, ˙ze je ˙zeli wykres nie ma przechodzi´c przez II ´cwiartk˛e układu, to musi
to by´c wykres funkcji rosn ˛
acej oraz musi on przecina´c o´s Oy poni ˙zej osi Ox. Musz ˛
a wi˛ec by´c
spełnione nierówno´sci
(
1
−
m
) >
0
⇒
m
<
1
m
<
0.
Zatem m
∈ (−
∞, 0
)
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Liczbami spełniaj ˛
acymi równanie
|
3
+
x
| =
8 s ˛
a
A) 11 i 5
B) 3 i 8
C)
−
11 i 5
D)
−
3 i 8
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształcamy dane równanie
|
3
+
x
| =
8
3
+
x
= −
8
lub
3
+
x
=
8
x
= −
11
lub
x
=
5.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y
=
f
(
x
)
.
x
y
1
2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-3
Najmniejsza warto´s´c funkcji f w przedziale
h−
1, 1
i
jest równa
A) 3
B) 1
C)
−
2
D)
−
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Z rysunku odczytujemy, ˙ze najmniejsza warto´s´c w przedziale
h−
1, 1
i
to
f
(−
1
) =
1.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Wierzchołek paraboli o równaniu y
= (
x
−
1
)
2
−
2c le ˙zy na prostej o równaniu y
=
6. Wtedy
A) c
= −
6
B) c
= −
3
C) c
=
3
D) c
=
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
ma współrz˛edne
(
x
w
, y
w
)
. Zatem w naszej sytuacji jest to punkt
(
1,
−
2c
)
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=6
y=(x-1)
2
-2c
Z drugiej strony wiemy, ˙ze punkt ten ma drug ˛
a współrz˛edn ˛
a równ ˛
a 6. W takim razie
−
2c
=
6
⇒
c
= −
3.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f .
x
y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
-5
-4
Maksymalnym zbiorem, w którym funkcja f przyjmuje tylko warto´sci ujemne, jest
A)
(−
2, 2
)
B)
(−
2, 5
i
C)
(−
2, 2
) ∪ (
4, 5
i
D)
h−
4, 0
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres funkcji znajduje si˛e poni ˙zej osi Ox na zbiorze:
(−
2, 2
) ∪ (
4, 5
i
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
3
m
x
+
1 jest prostopadła do prostej o równaniu y
=
2
3
x
−
1. St ˛
ad
wynika, ˙ze
A) m
= −
2
B) m
=
2
3
C) m
=
3
2
D) m
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste y
=
ax
+
b i y
=
cx
+
d s ˛
a prostopadłe je ˙zeli ac
= −
1. Mamy zatem
3
m
·
2
3
= −
1
2
m
= −
1
m
= −
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Iloczyn wielomianów 2x
+
3 oraz
−
4x
2
+
6x
−
9 jest równy
A)
−
8x
3
+
27
B)
−
8x
3
−
27
C) 8x
3
+
27
D) 8x
3
−
27
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Liczymy
(
2x
+
3
)(−
4x
2
+
6x
−
9
) = −(
2x
+
3
)(
4x
2
−
6x
+
9
) =
= −(
8x
3
−
12x
2
+
18x
+
12x
2
−
18x
+
27
) =
= −(
8x
3
+
27
) = −
8x
3
−
27.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
)
na sum˛e sze´scianów. Mamy zatem
(
2x
+
3
)(−
4x
2
+
6x
−
9
) = −(
2x
+
3
)(
4x
2
−
6x
+
9
) =
= −((
2x
)
3
+
3
3
) = −
8x
3
−
27.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Liczby 3, x, 4x s ˛
a odpowiednio pierwszym, trzecim i pi ˛
atym wyrazem ci ˛
agu geometryczne-
go. Wtedy
A) x
= −
6
B) x
=
8
C) x
=
6
D) x
=
12
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech a
n
=
a
1
q
n
−
1
, n > 1 b˛edzie ci ˛
agiem geometrycznym, o którym mowa w tre´sci zadania.
Mamy zatem
a
1
=
3
a
3
=
a
1
q
2
=
x
a
5
=
a
1
q
4
=
4x.
Z dwóch ostatnich równo´sci mamy
4x
=
a
1
q
4
=
a
1
q
2
·
q
2
=
x
·
q
2
.
Zatem q
2
=
4 i z drugiej równo´sci mamy
x
=
a
1
q
2
=
3
·
4
=
12.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Pole rombu o boku równym 6 cm i k ˛
acie rozwartym wynosz ˛
acym 150
◦
wynosi
A) 18 cm
2
B) 9
√
3 cm
2
C) 18
√
3 cm
2
D) 24 cm
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Najpierw szkicowy rysunek.
A
B
C
D
6
6
30
o
h
150
o
K ˛
at ostry rombu ma miar˛e
180
◦
−
150
◦
=
30
◦
Sposób I
Obliczamy wysoko´s´c rombu
h
6
=
sin 30
◦
⇒
h
=
6
·
1
2
=
3.
Zatem pole rombu jest równe
P
=
6
·
3
=
18.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem
P
=
6
·
6
·
sin 30
◦
=
36
·
1
2
=
18.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
5
3
. Warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos
2
α
+
1 jest równa
A)
7
3
B)
4
3
C)
8
3
D)
4
√
5
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
mamy
3 cos
2
α
+
1
=
3
(
1
−
sin
2
α
) +
1
=
3
1
−
5
9
+
1
=
3
·
4
9
+
1
=
4
3
+
1
=
7
3
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 130
◦
(tak jak na rysunku).
α
A
B
D
M
C
S
130
o
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 65
◦
B) 100
◦
C) 115
◦
D) 130
◦
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Korzystamy z faktu, ˙ze k ˛
at ´srodkowy jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛
ata wpisanego opartego na
tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk ACD).
α
A
B
D
M
C
S
130
o
50
o
50
o
α
E
D
M
130
o
65
o
A
S
Zatem
]AMD
=
1
2
]ASD
=
1
2
· (
130
◦
+
50
◦
+
50
◦
) =
1
2
·
230
◦
=
115
◦
.
Sposób II
Je ˙zeli nie chcemy posługiwa´c si˛e k ˛
atami wkl˛esłymi to dorysujmy punkt E na na okr˛egu.
Wtedy
]AED
=
1
2
]ASD
=
1
2
·
130
◦
=
65
◦
.
Zatem
]AMD
=
180
◦
−
]AED
=
180
◦
−
65
◦
=
115
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Najdłu ˙zsza przek ˛
atna sze´sciok ˛
ata foremnego ma długo´s´c 6. Wówczas pole koła opisanego
na tym sze´sciok ˛
acie jest równe
A) 4π
B) 9π
C) 18π
D) 36π
R
OZWI ˛
AZANIE
Robimy szkicowy rysunek
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
3
3
3
3
3
Po podzieleniu sze´sciok ˛
ata foremnego na 6 trójk ˛
atów równobocznych widzimy, ˙ze pro-
mie ´n okr˛egu opisanego na sze´sciok ˛
acie to długo´s´c boku takiego trójk ˛
ata, czyli połowa dłu-
go´sci najdłu ˙zszej przek ˛
atnej. Pole koła opisanego jest wi˛ec równe
π
·
3
2
=
9π.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Punkt S
= (
3, 7
)
jest ´srodkiem odcinka PQ, gdzie Q
= (−
13, 18
)
. Zatem punkt P ma współ-
rz˛edne
A) P
= (−
19, 4
)
B) P
= (
16,
−
11
)
C) P
= (−
7, 32
)
D) P
= (
19,
−
4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru
S
=
a
+
c
2
,
b
+
d
2
.
na ´srodek odcinka o ko ´ncach P
= (
a, b
)
i Q
= (
c, d
)
. Mamy wi˛ec równanie
(
3, 7
) =
a
−
13
2
,
b
+
18
2
(
3
=
a
−
13
2
7
=
b
+
18
2
(
6
=
a
−
13
⇒
a
=
19
14
=
b
+
18
⇒
b
= −
4.
Zatem P
= (
19,
−
4
)
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Liczba m, dla której rozwi ˛
azaniem równania 3x
−
3
= (
1
−
m
)
x
+
x jest x
=
3 wynosi
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy x
=
3 w danym równaniu
3
·
3
−
3
= (
1
−
m
) ·
3
+
3
3
=
3
(
1
−
m
)
/ : 3
1
=
1
−
m
m
=
0.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Która z podanych liczb nie mo˙ze by´c liczb ˛
a kraw˛edzi graniastosłupa?
A) 67035
B) 49629
C) 17022
D) 16919
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy graniastosłup to wida´c, ˙ze je ˙zeli ma on w podstawie n-k ˛
at, to ma on 3n
kraw˛edzi.
Wystarczy zatem sprawdzi´c, która z danych liczb nie dzieli si˛e przez 3. Dodaj ˛
ac do siebie
cyfry, łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze jedyna liczba niepodzielna przez 3 to 16919.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Ci ˛
ag
(
log 36, log 6, k
)
jest arytmetyczny. Wobec tego
A) k
=
0
B) k
=
1
C) k
=
6
D) k
=
10
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Ró ˙znica danego ci ˛
agu jest równa
r
=
log 6
−
log 36
=
log
6
36
=
log
1
6
,
wi˛ec
k
=
log 6
+
r
=
log 6
+
log
1
6
=
log
6
·
1
6
=
log 1
=
0.
Sposób II
Je ˙zeli ci ˛
ag
(
a, b, c
)
jest arytmetyczny to
2b
=
a
+
c.
W naszej sytuacji otrzymujemy
2 log 6
=
log 36
+
k
log 36
=
log 36
+
k
⇒
k
=
0.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
W ci ˛
agu geometrycznym pi ˛
aty wyraz jest równy
3
4
, a szósty wyraz jest równy
−
1
2
. Iloraz
tego ci ˛
agu jest równy
A)
3
2
B)
2
3
C)
−
3
2
D)
−
2
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze definicji ci ˛
agu geometrycznego (lub ze wzoru a
n
=
a
1
q
n
−
1
) mamy
a
6
=
a
1
q
5
=
a
5
q.
Zatem
q
=
a
6
a
5
=
−
1
2
3
4
= −
2
3
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Wyniki sprawdzianu z geografii s ˛
a przedstawione na diagramie
liczba uc
zniów
ocena
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6
Ile osób uzyskało ocen˛e wy ˙zsz ˛
a od ´sredniej ocen z tego sprawdzianu?
A) 5
B) 8
C) 20
D) 13
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy ´sredni ˛
a
1
·
1
+
5
·
2
+
7
·
3
+
8
·
4
+
3
·
5
+
2
·
6
1
+
5
+
7
+
8
+
3
+
2
=
91
26
=
7
2
=
3, 5.
W takim razie ocen˛e powy ˙zej ´sredniej uzyskało
8
+
3
+
2
=
13
osób.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
W graniastosłupie prawidłowym trójk ˛
atnym wszystkie kraw˛edzie s ˛
a tej samej długo´sci. Po-
le powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 108
+
18
√
3. Długo´s´c kraw˛edzi
tego graniastosłupa jest równa
A) 12
B) 10
C) 9
D) 6
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
a
a
a
a
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Graniastosłup trójk ˛
atny ma 9 kraw˛edzi – oznaczmy długo´s´c ka ˙zdej z nich przez a.
Kwadraty w ´scianach bocznych maj ˛
a pole a
2
, a trójk ˛
aty równoboczne w podstawach
maj ˛
a pole równe
a
2
√
3
4
.
Pole powierzchni całkowitej jest wi˛ec równe
3
·
a
2
+
2
·
a
2
√
3
4
=
a
2
2
(
6
+
√
3
)
.
Mamy zatem równanie
a
2
2
(
6
+
√
3
) =
108
+
18
√
3
=
18
(
6
+
√
3
)
a
2
2
=
18
a
2
=
36
a
=
6.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
25
(1
PKT
)
Liczba wszystkich sposobów utworzenia liczb trzycyfrowych o ró ˙znych cyfrach ze zbioru
{
0, 1, 2, 3, 4, 5
}
jest równa
A) 120
B) 100
C) 60
D) 60
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwsz ˛
a cyfr˛e tworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 5 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), drug ˛
a
cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c te ˙z na 5 sposobów (mo ˙ze by´c 0, ale musi by´c ró ˙zna od pierwszej
cyfry), a trzeci ˛
a cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c na 4 sposoby (musi by´c ró ˙zna od dwóch pierwszych).
W sumie jest wi˛ec
5
·
5
·
4
=
100
takich liczb.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
−
27
=
9x
2
−
27x.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przekształcamy równanie (wyci ˛
agamy z obu stron
(
x
−
3
)
przed nawias).
x
3
−
27
=
9x
2
−
27x
x
3
−
3
3
=
9x
(
x
−
3
)
(
x
−
3
)(
x
2
+
3x
+
9
) =
9x
(
x
−
3
)
Zatem x
=
3 lub mo ˙zemy podzieli´c stronami przez
(
x
−
3
)
. Dzielimy
x
2
+
3x
+
9
=
9x
x
2
−
6x
+
9
=
0
(
x
−
3
)
2
=
0.
Sposób II
Je ˙zeli zapiszemy równanie w postaci
x
3
−
9x
2
+
27x
−
27
=
0
to mo ˙zemy zauwa ˙zy´c, ˙ze jest to pełen sze´scian ró ˙znicy
(
x
−
3
)
.
x
3
−
3
·
3
·
x
2
+
3
·
3
2
·
x
−
3
3
=
0
(
x
−
3
)
3
=
0.
Odpowied´z: x
=
3
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 42t
−
49t
2
> 9.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przenosimy wszystkie składniki na praw ˛
a stron˛e.
0 > 49t
2
−
42t
+
9
∆
=
42
2
−
4
·
9
·
49
=
1764
−
1764
=
0
x
1,2
= −
b
2a
=
42
2
·
49
=
3
7
.
Poniewa ˙z współczynnik przy t
2
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛
a o ramio-
nach skierowanych w gór˛e.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-1.25
+0.5
+1.25
x
-0.5
+0.5
+2.5
+5
y
Otrzymujemy st ˛
ad rozwi ˛
azanie nierówno´sci t
=
3
7
.
Odpowied´z: t
=
3
7
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i tg α
=
3. Oblicz
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Poniewa ˙z mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos
3
α
.
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
=
3
·
cos
3
α
cos
3
α
4
·
sin
3
α
cos
3
α
−
5
·
cos
3
α
cos
3
α
=
3
4 tg
3
α
−
5
=
3
108
−
5
=
3
103
.
Sposób II
Zauwa ˙zmy, ˙ze
3
=
tg α
=
sin α
cos α
⇒
sin α
=
3 cos α.
Zatem
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
=
3 cos
3
α
4
·
27 cos
3
α
−
5 cos
3
α
=
3
108
−
5
=
3
103
.
Odpowied´z:
3
103
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedno´sci jest o 4 mniejsza
od cyfry setek?
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Cyfr˛e dziesi ˛
atek tysi˛ecy utworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c
0), a cyfr˛e dziesi ˛
atek na 10 sposobów. Cyfr˛e setek musimy wybra´c ze zbioru
{
4, 5, 6, 7, 8, 9
}
( ˙zeby cyfra jedno´sci mogła by´c o 4 mniejsza), czyli na 6 sposobów. Je ˙zeli chodzi o cyfr˛e
jedno´sci, to nie mamy ju ˙z ˙zadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez
cyfr˛e setek. Jest wi˛ec (zasada mno ˙zenia)
9
·
10
·
6
=
540
takich liczb.
Odpowied´z: 540
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej m
>
1 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywi-
sta x taka, ˙ze
mx
2
+
m
=
1
+
2x
q
m
(
m
−
1
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli zapiszemy dane równanie w postaci
mx
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) + (
m
−
1
) =
0
to wida´c, ˙ze mamy do czynienia ze zwykłym równaniem kwadratowym. Liczymy
∆-˛e.
∆
=
2
q
m
(
m
−
1
)
2
−
4m
(
m
−
1
) =
0.
To oznacza, ˙ze powy ˙zsze równanie kwadratowe ma zawsze jedno rozwi ˛
azanie.
Sposób II
Przekształcamy dane równanie w sposób równowa ˙zny.
mx
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) + (
m
−
1
) =
0
(
√
mx
)
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) +
q
(
m
−
1
)
2
=
0
√
mx
−
√
m
−
1
2
=
0
√
mx
−
√
m
−
1
=
0
x
=
√
m
−
1
√
m
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(2
PKT
)
Bok EF kwadratu EFGH zawiera si˛e w przek ˛
atnej BD kwadratu ABCD, a punkt C jest
´srodkiem odcinka GH. Odcinki FG i BC przecinaj ˛
a si˛e w punkcie K. Wyka ˙z, ˙ze
|
BK
| = |
CK
|
.
A
B
D
C
E
F
G
H
K
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty CGK i KFB s ˛
a prostok ˛
atne i równoramienne (k ˛
aty ostre ka ˙zdego z
tych trójk ˛
atów maj ˛
a miar˛e 45
◦
). Ponadto z zało ˙zenia
KG
=
CG
=
1
2
GH
=
1
2
GF.
Zatem
KF
=
GF
−
KG
=
GF
−
1
2
GF
=
1
2
GF
=
KG,
co oznacza, ˙ze trójk ˛
aty CGK i KFB s ˛
a przystaj ˛
ace. W szczególno´sci BK
=
CK.
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
Liczby
(
4, x, y
)
s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego. Je´sli liczb˛e x zwi˛ekszymy o
1, a liczb˛e y zwi˛ekszymy o 3, to otrzymane liczby b˛ed ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu geome-
trycznego. Wyznacz x i y.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Wiemy, ˙ze liczby
(
4, x, y
)
s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego, wi˛ec x
=
4
+
r i y
=
4
+
2r dla pewnego r. Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x
+
1, y
+
3
)
jest ci ˛
agiem geometrycznym,
wi˛ec
(
x
+
1
)
2
=
4
(
y
+
3
)
(
4
+
r
+
1
)
2
=
4
(
4
+
2r
+
3
)
(
5
+
r
)
2
=
4
(
2r
+
7
)
r
2
+
10r
+
25
=
8r
+
28
r
2
+
2r
−
3
=
0
∆
=
4
+
12
=
16
=
4
2
r
=
−
2
−
4
2
= −
3
∨
r
=
−
2
+
4
2
=
1.
Otrzymujemy st ˛
ad dwa ci ˛
agi:
(
4, 1,
−
2
)
i
(
4, 5, 6
)
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
18
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Wiemy, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x, y
)
jest arytmetyczny, wi˛ec
2x
=
4
+
y
⇒
y
=
2x
−
4.
Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x
+
1, y
+
3
)
jest geometryczny, wi˛ec
(
x
+
1
)
2
=
4
(
y
+
3
)
(
x
+
1
)
2
=
4
(
2x
−
4
+
3
)
x
2
+
2x
+
1
=
8x
−
4
x
2
−
6x
+
5
=
0
∆
=
36
−
20
=
4
2
x
=
6
−
4
2
=
1
∨
x
=
6
+
4
2
=
5.
Mamy wtedy odpowiednio y
=
2x
−
4
= −
2 i y
=
2x
−
4
=
6.
Odpowied´z:
(
x, y
) = (
1,
−
2
)
lub
(
x, y
) = (
5, 6
)
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Dwa miasta ł ˛
aczy droga o długo´sci 448 kilometrów. Samochód A przebył t˛e tras˛e w czasie o
40 minut krótszym ni ˙z samochód B. ´Srednia pr˛edko´s´c samochodu A na tej trasie była o 12
km/h wi˛eksza od ´sredniej pr˛edko´sci samochodu B. Oblicz ´sredni ˛
a pr˛edko´s´c ka ˙zdego z tych
samochodów na tej trasie.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech t i v oznaczaj ˛
a odpowiednio czas przejazdu oraz pr˛edko´s´c samochodu A. Z zało ˙ze ´n
mamy
(
tv
=
448
(
v
−
12
)
t
+
2
3
=
448.
Podstawiamy t
=
448
v
z pierwszego równania do drugiego.
(
v
−
12
)
448
v
+
2
3
=
448
/
·
3v
2
(
v
−
12
)(
672
+
v
) =
672v
v
2
+
672v
−
12v
−
8064
=
672v
v
2
−
12v
−
8064
=
0
∆
=
12
2
+
4
·
8064
=
32400
=
180
2
v
=
12
−
180
2
<
0
∨
v
=
12
+
180
2
=
192
2
=
96.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy v
=
96 km/h. Wtedy pr˛edko´s´c drugiego samocho-
du to
96
−
12
=
84 km/h
Odpowied´z: Samochód A: 96 km/h, samochód B: 84 km/h
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
19
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
34
(4
PKT
)
Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 243, a
promie ´n okr˛egu wpisanego w podstaw˛e ABC tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens
k ˛
ata mi˛edzy wysoko´sci ˛
a tego ostrosłupa, a jego kraw˛edzi ˛
a boczn ˛
a.
A
B
C
S
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy wysoko´s´c ´sciany bocznej.
A
B
C
S
α
D
E
H
a
a
Promie ´n r okr˛egu wpisanego w podstaw˛e to
1
3
wysoko´sci trójk ˛
ata w podstawie, wi˛ec
je ˙zeli przez a oznaczymy długo´s´c kraw˛edzi podstawy to mamy równanie
r
=
1
3
·
a
√
3
2
=
3
a
√
3
6
=
3
⇒
a
=
18
√
3
=
18
√
3
3
=
6
√
3.
Mo ˙zemy teraz wykorzysta´c informacj˛e o obj˛eto´sci ostrosłupa do obliczenia długo´sci jego
wysoko´sci
243
=
1
3
·
a
2
√
3
4
·
H
=
1
3
·
108
√
3
4
·
H
=
9
√
3H
H
=
243
9
√
3
=
27
√
3
=
9
√
3.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
20
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Pozostało teraz obliczy´c ˙z ˛
adany tangens.
tg α
=
AE
SE
=
2r
H
=
6
9
√
3
=
2
3
√
3
=
2
√
3
9
.
Odpowied´z:
2
√
3
9
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
21