Błędy przypadkowe
To błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany zarówno co do wartości bezwzględnej, jak i
znaku przy wykonywaniu duŜej liczby pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości
w warunkach pozornie niezmiennych.
Rozproszenie wyników pomiarów powtarzanych w pozornie tych samych warunkach świadczy o
obecności błędów przypadkowych (tzw. losowych).
W praktyce załoŜenie o niezmienności warunków fizycznych pomiaru, obiektu, narzędzi
pomiarowych nie jest spełnione.
Ź
ródła błędów są niestałe w czasie i w przestrzeni.
Wyeliminowanie błędu przypadkowego nie jest moŜliwe. Wartości tych błędów wyznacza się
korzystając z metod rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.
Zjawisk, które powodują rozproszenie wyników pomiarowych nie moŜna opisać zaleŜnością
„przyczyna
→ skutek”. Błędy przypadkowe modeluje się za pomocą
zmiennej losowej.
Zmienna losowa
zmienna, która przyjmuje wartości
z określonym prawdopodobieństwem
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
dyskretna
ciągła
Rozkład zmiennej losowej X
prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową X wartości x
Parametry charakteryzujące rozkład zmiennej losowej X:
•
Dystrybuanta
•
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
•
Momenty centralne
Dystrybuanta F(x)
)
x
X
(
P
)
x
(
F
≤
=
Na podstawie dystrybuanty moŜna wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe a
< X≤ b,
gdzie a
< b ; a, b - dowolne liczby rzeczywiste
)
a
(
F
)
b
(
F
)
b
X
a
(
P
−
=
≤
<
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x)
•
Mierzymy
n
– krotnie wartość pewnej wielkości
•
Uzyskujemy róŜne wyniki, które porządkujemy w ciąg liczb o charakterze rosnącym,
tj.
x
min
... x
max
•
JeŜeli niektóre z wyników występują wielokrotnie, to określamy częstość ich wystąpienia
częstość względna – informuje, jaka część spośród
n
pomiarów dała wynik
x
i
, tj.
n
n
i
•
Uzyskane wyniki moŜna przedstawić w postaci wykresu słupkowego
•
Uzyskane wyniki moŜna zgrupować w
l
rozłącznych przedziałach (tj. komórkach, tzw.
klasach
)
o długości
∆
Xi
,
gdzie i=1, ... , l
n
i
– oznacza liczbę wyników, które trafiły do
i
-tego przedziału
Histogram
- graficzne przedstawienie rozkładu wyników pomiarów
(częstość występowania pomiarów w klasach)
∆
Xi
Pole prostokąta jest równe częstości względnej (n
i
/n)
Problem:
Jak dobrać szerokość przedziału
∆
Xi
= ?
JeŜeli liczba pomiarów jest mała, to przedziały ∆
Xi
powinny być relatywnie „szerokie”.
W miarę wzrostu liczby pomiarów naleŜy zmniejszać ∆
Xi
.
n=10
1
2
3
n
i
n
i
/n
0,2
0,1
x
x
∆
Xi
(n
i
/n)
⋅⋅⋅⋅ (
1
/
∆
Xi
)
0,3
Gdy n
→ ∞ , to ∆
Xi
→ 0,
a
histogram
upodabnia się do gładkiej krzywej ciągłej, która jest
wykresem funkcji opisującej rozkład zmiennej losowej ciągłej, tj. funkcji gęstości
prawdopodobieństwa f(x)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x)
x
x
0
∆
∆
)
∆
x
X
x
(
P
)
x
(
f
lim
x
+
<
<
=
→
∫
+∞
∞
−
=
=
dx
)
x
(
f
)
x
(
F
;
dx
)
x
(
dF
)
x
(
f
Momenty centralne
•
Wartość oczekiwana
zmiennej losowej X
∫
∑
∞
+
∞
−
=
⋅
=
⋅
=
=
dx
)
x
(
f
x
p
x
µ
)
X
(
E
i
n
1
i
i
Wartość oczekiwana jest miarą skupienia rozkładu
•
Wariancja
zmiennej losowej X
∫
∑
∞
+
∞
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
=
dx
)
x
(
f
]
µ
x
[
p
]
µ
x
[
)]
X
(
E
X
[
E
σ
)
X
(
D
2
i
2
n
1
i
i
2
2
2
Wariancja jest miarą rozproszenia rozkładu wokół wartości oczekiwanej
Odchylenie standardowe
(sigma σ)
)
X
(
D
σ
2
+
=
Rozkład normalny – rozkład Gaussa
Do rozkładu normalnego prowadzi taki proces kształtowania zjawiska, w ramach którego na dane
zjawisko oddziałowywuje duŜa liczba niezaleŜnych czynników, których wpływ, traktowany
odrębnie, jest mało znaczący.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach
µ
i
σ
, co w skrócie zapisujemy jako
X:N(µ ,σ)
jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraŜa się wzorem
2
2
σ
2
)
µ
x
(
e
π
2
σ
1
)
x
(
f
−
−
=
gdzie -
∞< x <∞ , σ >0
W rozkładzie normalnym
-
wartość oczekiwana:
E(x) =
µ
-
wariancja
D
2
(X) =
σ
2
Rozkład normalny z
µ=0 oraz σ=1 nazywa się
standardowym rozkładem normalnym N(0,1)
Często zmienną losową mającą taki rozkład oznacza się jako Z (lub U).
Wartości funkcji gęstości
ϕ(z) – funkcji Gaussa
i wartości dystrybuanty
Φ(z) –funkcji Laplace’a
są
stabelaryzowane.
Problem:
Jak określić prawdopodobieństwo
P(x
1
< X ≤ x
2
) = ?
gdy
X: N(
µ,σ)
Prawdopodobieństwo, Ŝe wynik pomiaru wystąpi w przedziale (x
1
,x
2
) wynosi:
∫
=
≤
<
2
1
x
x
2
1
dx
)
x
(
f
)
x
X
x
(
P
f(x) - analitycznie niecałkowalna dla rozkładu normalnego
Operacja standaryzacji
:
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
−
−−
−
=
==
=
x
z
σ
µ
x
z
,
σ
µ
x
z
2
2
1
1
−
=
−
=
Po tej operacji zmienna losowa Z staje się zmienną standaryzowaną i ma rozkład N(0,1)
)
(
)
(
...
)
(
1
2
2
1
z
z
x
X
x
P
Φ
Φ
Φ
Φ
−
−−
−
Φ
Φ
Φ
Φ
=
==
=
=
==
=
≤
≤≤
≤
<
<<
<
γ
α
1
)
z
Z
(
P
α
)
z
Z
(
P
α
α
=
−
=
<
=
>
α
α
α
α
poziom istotności
1-
α
α
α
α
poziom ufności
f(z)
-z
α
α
α
α
z
α
α
α
α
z
1-
α
α
α
α
½
α
α
α
α
½
α
α
α
α
µ
µ
µ
µ
π
2
σ
1
Prawdopodobieństwo występowania zmiennej losowej X w przedziale:
9973
,
0
)
3
3
(
)
95
,
0
)
2
2
(
)
68
,
0
)
(
)
=
==
=
+
++
+
<
<<
<
<
<<
<
−
−−
−
=
==
=
+
++
+
<
<<
<
<
<<
<
−
−−
−
=
==
=
+
++
+
<
<<
<
<
<<
<
−
−−
−
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
X
P
c
X
P
b
X
P
a
Przedział
(
µ
µµ
µ
- k
⋅⋅⋅⋅σ
σ
σ
σ
,
µ
µµ
µ
+ k
⋅⋅⋅⋅σ
σ
σ
σ
)
to tzw.
przedział ufności
Prawdopodobieństwo odpowiadające temu przedziałowi to
poziom ufności
Centralne twierdzenie graniczne
Suma duŜej liczby zmiennych losowych niezaleŜnych o dowolnych rozkładach ma rozkład normalny.
JeŜeli rozpatrywana wielkość jest wynikiem działania wielu czynników od siebie niezaleŜnych, a
zmieniających się chaotycznie, to zmienna losowa o rozkładzie normalnym jest wiarygodnym
modelem tej wielkości.
Średnia arytmetyczna
serii losowo wybranych wartości zmiennej X o rozkładzie normalnym N
(
µ
x
,
σ
x
) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym:
gdzie n – liczba pomiarów.
Populacja generalna
Zbiór wszystkich moŜliwych do uzyskania w danym pomiarze wartości x zmiennej losowej X
Próba
Zbiór wszystkich uzyskanych w danym pomiarze wartości x zmiennej losowej X
Próba – reprezentatywna, dostatecznie liczna
Estymacja
– ocena
↓
↓
parametryczna
nieparametryczna
postać funkcjonalna rozkładu - znana
parametry = ?
Estymacja
↓
↓
punktowa
przedziałowa
)
,
(
:
n
N
X
x
x
σ
σσ
σ
µ
µµ
µ
−
−−
−
Opracowanie wyników pomiarów obarczonych błędami przypadkowymi
(błędy systematyczne zostały wyeliminowane)
Seria pomiarów:
x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
ZałoŜenie:
Rozkład normalny
Wartość oczekiwana
µ
µµ
µ
x
= ?
Odchylenie standardowe
σ
σ
σ
σ
x
= ?
____________________________________________
µ
µµ
µ
x
,
σ
σ
σ
σ
x
naleŜy oszacować na podstawie n pomiarów
Estymator wartości oczekiwanej
∑
=
=
≈
n
1
i
i
x
x
n
1
x
µ
wartość średnia
serii pomiarów jest optymalnym estymatorem wartości oczekiwanej
Estymator odchylenia standardowego -
odchylenie standardowe eksperymentalne
(
)
x
x
∆
1
n
∆
1
n
x
x
s
σ
i
i
n
1
i
2
i
n
1
i
2
i
x
x
−
=
−
=
−
−
=
≈
∑
∑
=
=
Estymator odchylenia standardowego dla średniej
odchylenie standardowe eksperymentalne średniej
n
s
s
σ
x
x
x
=
≈
Wynik końcowy pomiaru:
x
x
σ
3
x
∆
x
⋅
±
=
±
1)
liczba pomiarów
n > 20
rozkład Gaussa
dla przedziału 3-sigma, P=0,9973
x
x
x
s
3
σ
3
∆
⋅
±
≈
⋅
±
=
2)
liczba pomiarów
n < 20
rozkład t - Studenta
zmienna losowa t=f(P,n)
P - prawdopodobieństwo, n - liczba pomiarów
Odchylenie standardowe w tym rozkładzie jest większe niŜ
σ w rozkładzie Gaussa – w ten
sposób uwzględnia się małą liczbę pomiarów .
Gdy n > 30 rozkład Studenta
→ rozkład Gaussa
x
P
,
n
x
s
t
∆
⋅
±
≈
t
n,P
– liczba z tablic funkcji t-Studenta
Przykład:
Pomiar wartości napięcia stałego w obecności zakłóceń losowych o rozkładzie normalnym
Wyniki pomiaru
Histogram - błędy losowe
Histogram – wyniki pomiaru
Błąd gruby (nadmierny)
Wynik pomiaru obarczony błędem grubym naleŜy odrzucić, bo jest niewiarygodny
x
i
σ
3
∆
⋅
>
błąd przypadkowy dla i-tego pomiaru wynosi:
x
x
∆
i
i
−
=
1)
liczba pomiarów n > 20
x
i
s
3
∆
⋅
>
2)
liczba pomiarów n <20
x
P
,
n
i
s
t
∆
⋅
>