Testowanie hipotez – algorytm post powania:
1. zało
enia
próba losowa, elementy próby niezale
ne
2. hipotezy
•
hipoteza zerowa – zakłada brak ró
nic, np.
H
0
: p = p
0
H
0
:
=
0
H
0
:
1
=
2
•
hipoteza alternatywna np.
H
A
: p
p
0
H
A
:
0
H
A
:
1
2
lub
H
A1
: p < p
0
H
A1
:
>
0
H
A1
:
1
>
2
H
A2
: p > p
0
H
A2
:
<
0
H
A2
:
1
<
2
3. statystyka testu – funkcja elementów próby pozwalaj
ca ustali
czy hipotez
zerow
mo
emy odrzuci
czy nie.
4. reguła decyzyjna – przy jakich warto
ciach statystyki testu odrzucimy H
0
, a przy
jakich nie.
•
p-warto
– prawdopodobie
stwo popełnienia bł
du I rodzaju przy odrzuceniu H
0.
•
poziom istotno
ci – (
) na jaki bł
d I rodzaju mo
emy si
zgodzi
przy
podejmowaniu naszej decyzji.
•
obszar krytyczny (obszar odrzucenia)– zakres wyników do
wiadczenia dla
których odrzucimy H
0
.
5. badania i wyliczenie statystyki testu.
6. decyzja zgodnie z reguł
decyzyjn
.
Mo
liwe bł dy przy podejmowaniu decyzji
Je
li: H
0
: p = p
0
H
A1
: p < p
0
H
A2
: p > p
0
Stan faktyczny
H
A1
H
0
H
A2
H
A1
decyzja słuszna
Bł
d I rodzaju
Bł
d III rodzaju
H
0
Bł
d II rodzaju
decyzja słuszna
Bł
d II rodzaju
Podj
ta
decyzja
H
A2
Bł
d III rodzaju
Bł
d I rodzaju
decyzja słuszna
Przykład
Chcemy sprawdzi
stosunek płci w populacji pewnego gatunku. Czy wi
cej jest samców czy
samic?
1. Pobieramy prób
losow
n=10 osobników. Rozkład liczby osobników jednej z płci
w
ród 10 elementowej próby b
dzie rozkładem Bernoulliego.
2. Zakładamy,
e proporcja płci w populacji jest 1:1, wi
c prawdopodobie
stwo
wylosowania osobnika jednej z płci jest 0,5 – stan opisywany przez H
0
. Pozostałe
stany s
opisane przez hipotezy alternatywne.
H
0
: p=0,5
H
A1
: p>0,5
H
A2
: p<0,5
Jaki byłby rozkład prawdopodobie
stwa przy zało
eniu słuszno
ci H
0
? Mo
emy go
wyliczy
ze wzoru na prawdopodobie
stwo w rozkładzie Bernoulliego dla n = 10,
p = 0,5 i k = 0 do 10.
Liczba
sukcesów
prawdopodobie stwo
0
0.001
1
0.010
2
0.044
3
0.117
4
0.205
5
0.246
6
0.205
7
0.117
8
0.044
9
0.010
10
0.001
Czy odrzucimy H
0
je
li w naszej próbie znajd
si
4 osobniki jednej płci i 6 drugiej?
Nie, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,754, wi
cej od = 0,05 czyli du
o.
Czy odrzucimy H
0
jak w naszej próbie znajdzie si
1 osobnik jednej płci i 9 drugiej?
Tak, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,022 mniej ni
= 0,05 czyli mało.
Czy odrzucimy H
0
jak w naszej próbie znajdzie si
2 osobniki jednej płci i 8 drugiej?
Nie, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,109 wi
cej ni
= 0,05 czyli za du
o.
Reguła decyzyjna:
Odrzucimy H
0
dla 0, 1, 9 i 10 sukcesów
Nie odrzucimy H
0
dla 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 sukcesów
Test dla frakcji
Hipotezy:
H
0
: p=p
0
H
A1
: p>p
0
H
A2
: p<p
0
Oszacowanie frakcji na podstawie próby:
ˆ
/
p
k n
=
.
Statystyka testu:
0
0
0
0
ˆp
p
u
p q
n
−
=
Warto
krytyczna:
{
}
:
u
P U
u
α
α
α
≥
=
.
Je
li
0
u
u
α
≥
, to na poziomie istotno
ci przyjmujemy hipotez
H
A1
: p>p
0
;
Je
li
0
u
u
α
≤ −
, to na poziomie istotno
ci przyjmujemy hipotez
H
A2
: p<p
0
;
Je
li
0
(
,
)
u
u u
α
α
∈ −
, to na poziomie istotno
ci nie mo
emy rozstrzygn
mi
dzy H
A1
a H
A2
.
Test równo ci dwu frakcji
Hipotezy:
H
0
: p
1
= p
2
H
A1
: p
1
> p
2
H
A2
: p
1
< p
2
Statystyka testu:
1
2
0
1
2
ˆ
ˆ
1
1
p
p
u
pq
n
n
−
=
+
gdzie
p jest
redni
wa
on
frakcji sukcesów w obu próbach:
1 1
2
2
1
2
ˆ
ˆ
p n
p n
p
n
n
+
=
+
Warto
krytyczna:
{
}
:
u
P U
u
α
α
α
≥
=
.
Je
li
0
u
u
α
≥
, to na poziomie istotno
ci przyjmujemy hipotez
H
A1
: p
1
>p
2
.
Je
li
0
u
u
α
≤ −
, to na poziomie istotno
ci przyjmujemy hipotez
H
A2
: p
1
<p
2
.
Je
li
0
(
,
)
u
u u
α
α
∈ −
, to na poziomie istotno
ci nie mo
emy rozstrzygn
mi
dzy H
A1
a H
A2
.