SIATKA HYDRODYNAMICZNA

1. Wprowadzenie

Rozwiązanie  konkretnego  zagadnienia  przepływu  filtracyjnego  powinno  być  traktowane jako

zadanie trójwymiarowe. Istnieje jednak wiele zagadnień w których przepływ można rozpatrywać jako
dwuwymiarowy zakładając, że w pobliżu tego przekroju właściwości ośrodka gruntowego, geometria
układu warstw, a więc i parametry przepływu są w przybliżeniu takie same. Wówczas przyjmuje się, że
składowa   prędkości   filtracji,   normalna   do   przekroju   jest   równa   zeru.   Jeżeli   natomiast   w   zasięgu
rozpatrywanego   obszaru   zmienia   się   układ   warstw   lub   właściwości   ośrodka   gruntowego,   wówczas
można rozwiązywać zagadnienia w kilku przekrojach, przyjmując do obliczeń schemat dwuwymiarowy.

W przypadku płaskiego przepływu wód podziemnych równanie przepływu cieczy nieściśliwej

przez ośrodek jednorodny i izotropowy ma postać:

lub

gdzie:

Φ

 = - kH

k - współczynnik filtracji,
H - wysokość hydrauliczna.

Przy powyższych oznaczeniach składowe prędkości filtracji (mają postać):

Rozwiązaniem   równania   przepływu   jest   funkcja   potencjału   prędkości  

Φ

(x,   y).   Przyrównując

funkcję 

Φ

 do stałej C takiej, że

.

kH

2

 

≤

 C 

≤

 kH

1

gdzie  H

1

  i  H

2

  są   ekstremalnymi   wysokościami   hydraulicznymi   na   brzegach   obszaru   filtracji

wywołującymi   przepływ   wody   w   rozpatrywanym   obszarze,   dostajemy   równanie   linii   jednakowego
potencjału C

Φ

(x,y)=C

którą będziemy nazywać powierzchnią ekwipotencjalną.

Można udowodnić, że istnieje funkcja 

Ψ

(x, y), dla której

          

x

v

x

∂

∂

= Φ

                       i                      

y

v

y

∂

∂

=

Φ

                                                        i

0

y

x

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

Φ

Φ

0

2

=

∇

Φ

          

y

v

x

∂

∂

−

=

Ψ

                       i                         

x

v

y

∂

∂

=

Ψ

tzn.

Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych

Φ

(x, y) = const.   i    

Ψ

(x, y) = const.

są   wzajemnie   ortogonalne.   Układ   tych   linii   w   przypadku   zagadnień   przepływu   wód   podziemnych
nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych

Ψ

(x, y) = const.

przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu), które dla przepływu ustalonego
pokrywają   się   z   torami   przepływających   cząsteczek   wody).   Różniczkując   powyższe   związki
odpowiednio po 

∂

x i 

∂

y dostajemy:

Odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:

lub

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się więc do rozwiązania równań różniczkowych:

i

W   wyniku   rozwiązania   możemy   określić   siatkę   hydrodynamiczną   i   obliczyć   wszystkie   wielkości
związane z przepływem wód podziemnych jak np. wysokość hydrauliczną, prędkość filtracji wielkość
przepływu wód, czas przepływu na zadanym odcinku drogi.

2.   Graficzna   metoda   obliczeń   natężenia   objętościowego   przepływu   oraz   czasu   przepływu
zanieczyszczeń na podstawie siatki hydrodynamicznej

          

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

Ψ

Φ

                       i                      

x

y

∂

∂

=

∂

∂

Ψ

Φ

          

2

2

2

y

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

Ψ

Φ

                       i                      

2

2

2

x

x

y

∂

∂

=

∂∂

∂

Ψ

Φ

0

y

x

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

Ψ

Ψ

0

2

=

∇

Ψ

0

2

=

∇

Φ

0

2

=

∇

Ψ

Rozwiązanie powyższych równań można dokonać również na drodze graficznej, korzystając z

właściwości siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od
ręki, traktując tak uzyskany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się
tak długo, aż spełni ona następujące warunki:
1. Linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne,
2. Każdy wycinek  siatki (wycinek  ograniczony sąsiadującymi  powierzchniami  ekwipotencjalnymi  i

liniami prądu) będzie "kwadratowy" tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych
będzie taki sam.

Dla   tak   skonstruowanej   siatki   hydrodynamicznej   straty   wysokości   hydraulicznej   w   każdym

kwadracie siatki będą miały taką samą wartość.

Bardzo ważną właściwością siatki hydrodynamicznej jest to, że przepływ przez dowolny wycinek

siatki w obrębie tej samej wstęgi (strumienia - obszar między dwoma sąsiednimi liniami prądu) ma taką
samą wielkość.

Dla płaskiego zagadnienia przepływu wód podziemnych możemy określić przepływ q

j

 na jednostkę

szerokości s w i-tym wycinku siatki j-tego strumienia jako:

gdzie:
Q

j

 - przepływ w j-tym strumieniu,

s - odległość prostopadła do przyjętego przekroju, na której geometria przekroju i właściwości gruntu są 
niezmienne (szerokość strumienia),
F

j,i

 - pole powierzchni przekroju i-tego wycinka w j-tym strumieniu,

v

j,i

 - prędkość filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia

Zakładając przepływ jednostajny w poszczególnych wycinkach siatki, oraz przyjmując prawo Darcy 
otrzymujemy:

gdzie:

∆

H

j,i 

- strata wysokości hydraulicznej w i-tym wycinku j-tego strumienia,

l

j,i

 - długość drogi filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia,

v

j,i

 - średni rozstaw linii prądu w i-tym wycinku j-tego strumienia.

Stąd strata wysokości hydraulicznej na i-tym wycinku j-tego strumienia wynosi:

Całkowita strata wysokości hydraulicznej wzdłuż wszystkich wycinków danego strumienia wynosi:

i,

j

i,

j

j

v

F

s

Qj

q

⋅

=

=

i,

j

i,

j

i,

j

j

l

H

k

b

q

∆

⋅

⋅

=

i,

j

i,

j

j

i,

j

b

k

l

q

H

⋅

⋅

=

∆

∑

∑

=

=

=

=

N

1

i

i,

j

i,

j

j

N

1

i

i,

j

b

l

k

q

H

H

∆

∆

Stąd można określić wydatek jednostkowy pojedynczego j-tego strumienia

Całkowity przepływ wyniesie zatem

W przypadku siatki kwadratowej mamy

i w związku z tym

Na   podstawie   przedstawionego   rozwiązania   można   też   określić   czas   przepływu   wody  t

j

  w

poszczególnych   strumieniach.   W   tym   celu   wprowadzimy   pojęcie   średniej   prędkości   rzeczywistej
(prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji zależnością:

gdzie n oznacza współczynnik porowatości.

Czas przepływu wody w danym strumieniu t

j

 można określić

gdzie l

j

 oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j-tego strumienia.

3. Opis badań

Celem   ćwiczenia   jest   wykonanie   obliczeń   przepływu   wód   podziemnych   na   podstawie   siatki

hydrodynamicznej  i porównanie uzyskanych  w ten sposób wyników do wyników badań na modelu
fizycznym. Geometrię modelu przedstawiono na rys. 1.

Konstrukcja siatki hydrodynamicznej będzie oparta na obserwacji linii prądu w modelu. W tym

∑

=

⋅

=

N

1

i

i

,

j

i

,

j

j

b

l

H

k

q

∆

∑

=

⋅

=

M

1

j

i

q

s

Q

1

b

l

i

,

j

i

,

j

=

N

H

k

q

j

∆

⋅

=

N

H

k

M

s

Q

∆

⋅

⋅

⋅

=

n

v

u

=

∑

∫

∫

=

⋅

≅

⋅

=

=

N

1

i

i,

j

i,

j

l

j

l

b

l

q

n

v

dl

n

u

dl

tj

j

j

celu umieszcza się w nim piasek o znanym współczynniku filtracji oraz współczynniku porowatości.
Następnie   wywołuje   się   ustalony   przepływ   wody   i   wprowadza   barwnik   w   kilku   punktach   na
powierzchni wpływu wody do warstwy wodonośnej. Barwnik, rozpuszczając się w wodzie oraz płynąc
razem z nią umożliwia zaznaczenie na ściance modelu przebieg linii prądu. Jednocześnie mierzy się czas
przepływu   barwnika   przez   grunt   dla   poszczególnych   linii   prądu.   Ponadto   mierzy   się   wydatek
przepływającej wody.

Następnie linie prądu przenosi się w skali na rysunek (rys. 2) i wykreśla siatkę hydrodynamiczną.

Mając siatkę hydrodynamiczną określa się wymiary poszczególnych  wycinków  l

j.i

,  oraz  b

j.i

  (tab.1) i

oblicza   się,   wg   wcześniej   podanych   wzorów,   sumaryczny   przepływ   przez   wszystkie   strumienie
(całkowity   przepływ   pod   ścianką)   oraz   czas   przepływu   barwnika   wzdłuż   wybranego   strumienia
(obliczenia   w   tab.1   wykonano,   przy   założeniu,   że   współczynnik   filtracji  k=1,0*10

-2

  cm/s   i

współczynniku porowatości n = 0,25). Wielkości te porównuje się z otrzymywanymi na modelu.