5 Iloczyn mieszany wektorów
Iloczyn mieszanym wektorów
w
,
v
,
u
okre
œlamy wzorem
w
v
u
w
,
v
,
u
Je
œli
z
y
x
u
,
u
,
u
u
,
z
y
x
v
,
v
,
v
v
,
z
y
x
w
,
w
,
w
w
to iloczyn wektorowy mo
¿emy
wyliczy
ã ze wzoru
z
y
x
z
y
x
z
y
x
w
w
w
v
v
v
u
u
u
w
,
v
,
u
Nale
¿y pamiêtaã, ¿e iloczyn mieszany
jest
liczb¹
.
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczy
ã iloczyn mieszany wektorów
c
,
b
,
a
je
œli
i
2
3 j
k
a
,
j
k
i
b
2
,
i
k
j
c
2
2
.
Rozwi
¹zanie
Z powy
¿szego wzoru mamy
15
1
2
2
2
1
1
1
3
2
c
,
b
,
a
.
............................................................................................
Wùasnoœci iloczynu mieszanego
Niech
r
,
w
,
v
,
u
b
êd¹ dowolnymi wektorami,
dowoln
¹ liczb¹.
Wtedy:
1.
v
,
u
,
w
u
,
w
,
v
w
,
v
,
u
2.
w
,
u
,
v
w
,
v
,
u
3.
w
,
v
,
r
w
,
v
,
u
w
,
v
,
r
u
4.
w
,
v
,
u
w
,
v
,
u
5.
wektory
w
,
v
,
u
le
¿¹
w jednej p
ùaszczyênie wtedy i tylko wtedy gdy
0
w
,
v
,
u
iloczyn
mieszany
id5293625 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
(st
¹d
wynika jeszcze jedna w
ùasnoœã
- je
¿eli w iloczynie mieszanym powtórz
y si
ê
jaki
œ wektor
, to iloczyn b
êdzie równy zero,
czyli np.
0
w
,
v
,
u
)
6.
warto
œã bezwzglêdna iloczynu mieszanego wektorów jest równa objêtoœci
r
ównolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach
w
,
v
,
u
czyli
w
,
v
,
u
V
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczy
ã
obj
êtoœã równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach
c
,
b
,
a
je
œli
2
1
2
,
,
a
,
k
j
i
b
3
,
i
k
j
c
2
2
.
Rozwi
¹zanie
Najpierw wyznaczamy iloczyn mieszany wektor
ów
c
,
b
,
a
czyli
11
1
2
2
3
1
1
2
1
2
c
,
b
,
a
St
¹d
11
11
c
,
b
,
a
V
.
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczy
ã objêtoœã równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach
c
,
b
,
a
je
œli
r
p
a
3
,
q
p
b
4
2
,
q
r
c
2
,
3
r
,
q
,
p
.
Rozwi
¹zanie
W tym przypadku iloczyn mieszany wektor
ów musimy wyliczyã bezpoœrednio z definicji
korzystaj
¹c z wùasnoœci iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego.
u
v
w
u
H
w
v
u
P
24
3
8
8
12
4
12
4
24
12
8
12
6
4
2
12
6
4
2
2
4
2
3
0
0
0
0
0
r
,
q
,
p
r
,
q
,
p
r
,
q
,
p
q
,
p
,
r
r
,
q
,
p
q
q
r
q
p
r
q
q
p
r
q
r
r
p
r
r
q
p
q
r
q
r
p
r
q
p
p
p
q
r
q
p
r
p
c
b
a
St
¹d
24
r
,
q
,
p
V
.
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczy
ã dùugoœã dowolnej wysokoœci równolegùoœcianu rozpiêtego na wektorach
w
,
v
,
u
je
œli
3
1
2 ,
,
u
,
3
2
1 ,
,
v
,
1
3
2
,
,
w
.
Rozwi
¹zanie
Obj
êtoœã równole
g
ùoœcianu
mo
¿emy wyznaczyã z dwóch wzorów
w
,
v
,
u
V
i
H
P
V
pod
.
Najpierw wyznaczamy
16
1
3
2
3
2
1
3
1
2
w
,
v
,
u
V
.
Nast
êpnie
pole podstawy czyli pole r
ównolegùoboku rozpiêtego na wektorach
v
,
u
.
Poniewa
¿
5
9
3
3
2
1
3
1
2
,
,
k
j
i
v
u
, to
115
v
u
P
.
Pozosta
ùo
nam wyznaczy
ã dùugoœã wysokoœci
115
16
pod
P
V
H
............................................................................................