Kolokwium nr 2 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 25.01.2013; Zestaw A 

Zad. 1. Dana jest funkcja 





























.

 

p.p

  

w

,

0

,

2

0

 

,

1

0

gdy 

,

 

6

,

2

y

x

y

x

xy

c

y

x

f

 Wykonać następujące polecenia: 

a) znaleźć wartość  c , dla której funkcja  f  jest gęstością pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej 





Y

X ,

, b) wyznaczyć 

gęstości brzegowe (tzn. gęstość dla  X  oraz gęstość dla  Y ), c) pokazać, że zmienne losowe  X  i  Y  są niezależne. 

Zad.  2.  Niech 

Y

X  

,

będą  niezależnymi  zm.  losowymi,  takimi,  że: 





3

2

3





X

P

, 





3

1

6





X

P

, 





4

3

2





Y

P

, 





4

1

4





Y

P

. 

Wyznaczyć: a) rozkład, b) wartość oczekiwaną, c) drugi moment zwykły, d) wariancję, zmiennej losowej 





Y

X

Z

,

min



. 

Zad. 3. Wykonać następujące polecenia: 
a)  korzystając  z  Tw. de Moivre’a-Laplace’a, obliczyć prawdopodobieństwo, że  rzucając  900 razy niesymetryczną  monetą, 
dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 4/5, liczba uzyskanych orłów przekroczy 708 i nie przekroczy 732, 
b)  korzystając  z  nierówności  Czebyszewa,  oszacować  prawdopodobieństwo,  że  w  20 000  rzutów  symetryczną  monetą 
liczba orłów będzie różnić się od 10 000 o co najmniej 200. 
Zad.  4.  Zanotowano  masy  17  losowo  wybranych  roślin  pewnej  odmiany  jęczmienia.  Uzyskane  dane  zapisano  w  postaci: 

 

64

,

0

)

(

 

,

 

4

,

20

2

17

1

_

17

1















i

i

i

i

x

x

x

. Zakładając, że rozkład masy roślin badanej odmiany jęczmienia jest normalny: 

a) oszacować przedziałowo – na poziomie ufności 0,9 – nieznaną średnią masę roślin badanej odmiany jęczmienia, 
b) ustalić, czy na podstawie uzyskanej w pkt. a) realizacji przedziału ufności można uznać, że nieznana średnia masa roślin 
badanej odmiany jęczmienia wynosi 1,4 (odpowiedź uzasadnić). 
Zad. 5. Stwierdzono, że na 250 przebadanych studentów 150 zdało egzamin ze statystyki, a na 150 studentek egzamin ten 
zdało 105. Ustalić, czy na poziomie istotności 0,05 można sądzić, że wynik egzaminu nie zależy od płci zdającego. 
Zad.  6.

 

W  pewnej  sieci  sklepów  sprzedawane  są  szale  w  kolorach:  białym,  brązowym,  czarnym,  niebieskim,  zielonym. 

Właściciel sklepów przypuszcza, że sprzedaż poszczególnych kolorów szali wyrażają stosunki 1:2:2:4:1. Aby to sprawdzić, 
zbadał sprzedaż na wybranej grupie 100 klientów, uzyskując wyniki dla poszczególnych kolorów:

 

biały - 15, brązowy - 20, 

czarny - 25, niebieski - 30, zielony - 10. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować słuszność przypuszczeń właściciela.

 

____________________________________________________________________________________________ 

Kolokwium nr 2 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 25.01.2013; Zestaw B 

Zad. 1. Dana jest funkcja 





























.

 

p.p

  

w

,

0

,

1

0

 

,

3

0

gdy 

,

 

4

,

2

y

x

y

x

xy

c

y

x

f

 Wykonać następujące polecenia: 

a) znaleźć wartość  c , dla której funkcja  f  jest gęstością pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej 





Y

X ,

, b) wyznaczyć 

gęstości brzegowe (tzn. gęstość dla  X  oraz gęstość dla  Y ), c) pokazać, że zmienne losowe  X  i  Y  są niezależne. 

Zad.  2.  Niech 

Y

X  

,

będą  niezależnymi  zm.  losowymi,  takimi,  że: 





4

1

1





X

P

, 





4

3

4





X

P

, 





3

2

2





Y

P

, 





3

1

5





Y

P

. 

Wyznaczyć: a) rozkład, b) wartość oczekiwaną, c) drugi moment zwykły, d) wariancję, zmiennej losowej 





Y

X

Z

,

max



. 

Zad. 3. Wykonać następujące polecenia: 
a)  korzystając  z  Tw. de Moivre’a-Laplace’a, obliczyć prawdopodobieństwo, że  rzucając  400 razy niesymetryczną  monetą, 
dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 4/5, liczba uzyskanych orłów przekroczy 316 i nie przekroczy 324, 
b)  korzystając  z  nierówności  Czebyszewa,  oszacować  prawdopodobieństwo,  że  w  30 000  rzutów  symetryczną  monetą 
liczba orłów będzie różnić się od 15 000 o co najmniej 300. 

Zad. 4.

 

Wśród 10 losowo wybranych pracowników pewnego zakładu przeprowadzono ankietę na temat ich czasu dojazdu 

do pracy, uzyskując dane: 

 

6266

 

,

 

250

10

1

2

10

1













i

i

i

i

x

x

. Zakładając, że rozkład czasu dojazdu do pracy jest normalny: 

a) oszacować przedziałowo – na poziomie ufności 0,9 – nieznany średni czas dojazdu do pracy pracowników zakładu, 
b) ustalić, czy na podstawie uzyskanej w pkt. a) realizacji przedziału ufności można uznać, że nieznany średni czas dojazdu 
do pracy pracowników zakładu wynosi 27 (odpowiedź uzasadnić). 
Zad.  5.

 

Na  140  wybranych  studentek  pewnej  uczelni  42  przyznało,  że  pali  papierosy,  a  na  160  wybranych  studentów 

przyznało się do tego 80. Ustalić, czy na poziomie istotności 0,1 można sądzić, ze popularność nałogu nie zależy od płci. 
Zad. 6.

 

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o niezależności płci (cecha X) i typu preferowanego programu 

TV (cecha Y), jeśli wiadomo, że odpowiednia ankieta przeprowadzona na losowej próbie 100 telewidzów dała wyniki:  

Klasy X            Klasy Y 

Kabarety 

Festiwale 

Mężczyzna 

40 

10 

Kobieta 

20 

30