WEKTORY
Współrzędne punktu w przestrzeni
W przestrzeni dany jest układ współrzędnych. Każdemu
punktowi odpowiada trójka liczb zwanych współrzędnymi
tego punktu.
Współrzędne punktu zapisujemy w nawiasach okrągłych
np.
)
4
,
3
,
5
(
P
.
Współrzędne wektora w przestrzeni
W przestrzeni dane są dwa punkty:
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
P
oraz
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
P
Wektor
]
,
,
[
1
2
1
2
1
2
2
1
z
z
y
y
x
x
P
P
Przykład 1. Dane są punkty:
)
3
,
2
,
4
(
1
P
,
)
2
,
5
,
1
(
2
P
Napisz współrzędne wektora
2
1
P
P
.
Rozwiązanie.
]
1
,
3
,
3
[
]
3
2
,
2
5
,
4
1
[
2
1
P
P
Przykład 2. Dany jest punkt
)
5
,
0
,
4
(
2
P
i wektor
]
3
,
1
,
2
[
2
1
P
P
. Wyznacz punkt
1
P
.
Rozwiązanie. Oznaczmy:
)
,
,
(
1
z
y
x
P
.
Wówczas:
]
5
,
0
,
4
[
2
1
z
y
x
P
P
.
Zatem:
3
5
,
1
,
2
4
z
y
x
Stąd:
8
,
1
,
6
z
y
x
Odpowiedź.
)
8
,
1
,
6
(
1
P
Długość wektora
Dany jest wektor
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
. Długość tego wektora
oznaczamy:
|
|
u
. Wyraża się ona wzorem:
2
2
2
|
|
z
y
x
u
u
u
u
Przykład 3. Dane są punkty:
)
1
,
0
,
2
(
1
P
,
)
2
,
3
,
4
(
2
P
Wyznacz długość wektora
2
1
P
P
.
Rozwiązanie. Napiszmy współrzędne wektora
2
1
P
P
:
]
1
,
3
,
2
[
]
1
2
,
0
3
,
2
4
[
2
1
P
P
Teraz obliczymy jego długość:
74
,
3
14
1
3
2
|
|
2
2
2
2
1
P
P
Dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektora
przez liczbę
Działania te wykonujemy tak jak na macierzach (zapis
wektora traktujemy jak macierz jednowierszową).
Przykład 4. Dane są wektory:
]
2
,
1
,
3
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
Wyznacz wektor
v
u
3
2
.
Rozwiązanie.
]
4
,
4
,
3
[
]
0
,
6
,
3
[
]
4
,
2
,
6
[
]
0
,
2
,
1
[
3
]
2
,
1
,
3
[
2
3
2
v
u
Iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory:
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
,
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
Iloczyn skalarny tych wektorów jest to liczba
v
u
z
z
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
Kąt między wektorami
Dane są wektory niezerowe
u
oraz
v
.
Cosinus kąta między nimi wyraża się wzorem:
|
|
|
|
)
,
(
cos
v
u
v
u
v
u
Przykład 5. Oblicz cosinus kąta między wektorami
]
4
,
1
,
2
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
.
Rozwiązanie. Kolejno obliczamy:
8
1
4
2
)
1
(
3
2
v
u
21
4
)
1
(
2
|
|
2
2
2
u
14
1
2
3
|
|
2
2
2
v
467
,
0
14
21
8
|
|
|
|
)
,
(
cos
v
u
v
u
v
u
Za pomocą tablic lub kalkulatora możemy odczytać, że ten
kąt ma około 62 stopnie.
Twierdzenie. Wektory niezerowe
u
oraz
v
są
prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
0
v
u
Uzasadnienie. Wektory prostopadłe tworzą kąt 90
0
.
Cosinus 90
0
jest równy 0. Ułamek
|
|
|
|
v
u
v
u
jest równy
zero gdy jego licznik jest równy zero, tzn. gdy
0
v
u
.
Przykład 6. Dla jakich wartości k wektory
]
4
,
2
,
3
[
u
oraz
]
1
,
5
,
[k
v
są prostopadłe?
Rozwiązanie. Obliczamy iloczyn skalarny tych wektorów:
6
3
1
)
4
(
5
2
3
k
k
v
u
i przyrównujemy go do zera:
0
6
3
k
.
Stąd:
2
k
.
Iloczyn wektorowy wektorów
Dane są wektory:
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
Iloczyn wektorowy tych wektorów jest to wektor
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
v
v
u
u
v
v
u
u
v
v
u
u
v
u
,
,
Przykład 7. Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów
]
4
,
1
,
2
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
.
Rozwiązanie. Dla wygody rachunkowej dobrze jest
zapisać te wektory jeden pod drugim:
]
4
,
1
,
2
[
u
]
0
,
2
,
1
[
v
2
1
1
2
,
0
1
4
2
,
0
2
4
1
v
u
=
]
3
,
4
,
8
[
Przykład 8. Oblicz iloczyn skalarny:
a) wektora
u
i wektora
v
u
z poprzedniego przykładu
b) wektora
v
i wektora
v
u
z poprzedniego
przykładu
Rozwiązanie.
a)
]
4
,
1
,
2
[
u
,
v
u
]
3
,
4
,
8
[
u
0
3
4
)
4
(
)
1
(
)
8
(
2
)
(
v
u
Oznacza to, że wektory
u
oraz
v
u
są prostopadłe.
b)
]
0
,
2
,
1
[
v
,
v
u
]
3
,
4
,
8
[
v
0
3
0
)
4
(
2
)
8
(
)
1
(
)
(
v
u
Oznacza to, że wektory
v
oraz
v
u
są prostopadłe.
Wynik tego przykładu nie jest przypadkowy. Prawdziwe
jest bowiem twierdzenie:
Wektor
v
u
jest prostopadły zarówno do wektora
u
jak i do wektora
v
.
Równanie płaszczyzny
Równanie postaci
0
D
Cz
By
Ax
, w którym
D
C
B
A
,
,
,
są liczbami, przedstawia płaszczyznę
(przynajmniej jedna z tych liczb musi być różna od zera).
Przykład 9. Sprawdź, czy punkt (4, -1, 2) należy do
płaszczyzny
0
2
3
2
z
y
x
.
Rozwiązanie. Do równania płaszczyzny wstawiamy
2
,
1
,
4
z
y
x
.
Dostajemy:
0
5
2
2
)
1
(
3
4
2
, co oznacza, że
punkt nie należy do płaszczyzny.
Twierdzenie. Wektor
]
,
,
[
C
B
A
N
jest prostopadły do
płaszczyzny o równaniu
0
D
Cz
By
Ax
.
Przykład 10. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej
do wektora
]
1
,
3
,
2
[
N
i przechodzącej przez punkt
(3,5,0).
Rozwiązanie. Do równania płaszczyzny
0
D
Cz
By
Ax
wstawiamy
1
,
3
,
2
C
B
A
.
Dostajemy równanie
0
3
2
D
z
y
x
. Trzeba znaleźć
D. Ponieważ punkt (3, 5, 0) ma leżeć na tej płaszczyźnie,
więc musi spełniać jej równanie. Wstawiamy
0
,
5
,
3
z
y
x
i mamy:
0
0
5
3
3
2
D
, stąd
9
D
.
Odpowiedź:
0
9
3
2
z
y
x
.
Przykład 11. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej
przez punkty
)
2
,
2
,
2
(
),
4
,
1
,
3
(
),
0
,
1
,
2
(
C
B
A
.
Rozwiązanie. Wyznaczymy wektor
N
prostopadły do
szukanej płaszczyzny. W tym celu najpierw napiszemy
współrzędne wektorów:
]
4
,
0
,
1
[
]
0
4
,
1
1
,
2
3
[
AB
]
2
,
1
,
0
[
]
0
2
,
1
2
,
2
2
[
AC
.
Jak wiemy iloczyn wektorowy tych wektorów jest do nich
obu prostopadły. Zatem:
]
1
,
2
,
4
[
1
0
0
1
,
2
0
4
1
,
2
1
4
0
AC
AB
N
Szukana płaszczyzna ma więc równanie postaci:
0
2
4
D
z
y
x
. Wstawimy do tego równania
współrzędne jednego z danych punktów, np. punktu A.
Dostaniemy:
0
0
1
2
2
4
D
, stąd
10
D
.
Odpowiedź:
0
10
2
4
z
y
x
.
Ćwiczenie. Sprawdź samodzielnie, że punkty A, B, C
istotnie należą do wyznaczonej płaszczyzny.