Logistyka, inżynieria bezpieczeństwa
Matematyka II (analiza matematyczna)
2 lista zadań. Granice ciągów i funkcji rzeczywistych. Ciągłość funkcji.
1. Zbadać monotoniczność ciągów:
n!
2
+
n
1
3n
n
3
=
a
b)
,
=
a
a)
n
n
2. Przypomnieć niektóre podstawowe granice ciągów. Wyznaczyć granice danych ciągów:
,
2
n
n
a
k)
,
1
+
3n
4n
+
n
sin
4
3
5
5
2
5
2
n
+
...
+
3
+
2
+
1
2
3n
+
n
2
3
n
5
n
2n
2
n
2
n
n
n
1
+
n
n
n
3
+
n
n
2
2
1)
(
=
=
a
j)
,
+
=
a
i)
,
4
=
a
h)
,
=
a
g)
,
2
5
=
a
f)
,
n
3
=
a
e)
,
=
a
d)
,
+
=
a
c)
,
1
n
+
n
n
=
a
b)
,
=
a
)
a
n
n
n
n
n
2
2
n
2
n
2
n
n
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n+
.
=
a
n)
,
=
a
m)
,
=
a
l)
1
2n
n
3n
n
1
n
1
n
2
+
n
n
2
+
1
n
n
n
3. Pojęcie granicy funkcji w punkcie x
0
w sensie definicji Heinego. Twierdzenia o granicy funkcji
złożonych.
4. Wyznaczyć wskazane granice funkcji:
a) lim
b) lim
sin2x
5x
c) lim
tgx
3x
d) lim
e) lim
x 1
4
x 0
x 0
x 0
x 4
x
1
x 1
e
1
e
1
1 2x
3
x
2
3x
x
,
,
,
,
,
)
2
x
-
3
(x
lim
)
i
-
x
lim
h)
,
1
-
x
1
x
3
x
x
lim
g)
,
x)
(1
lim
)
f
x
x
1
0
x
,
1
x
x
1
3x
x
2
2
.
5. Podać wartości granic jednostronnych:
],
[x
lim
[x],
lim
,
2
tg
lim
,
x
1
lim
,
sgn
lim
,
sgn
lim
+
0
x
0
x
1
x
3
0
x
+
0
x
0
x
x
x
x
.
e
lim
,
2
lim
,
2
lim
,
2
sgn
1
lim
,
2
sgn
1
lim
,
2
3
lim
1
2
1
x
1
+
0
x
1
0
x
0
+
0
x
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6. Podać określenie funkcji ciągłej w punkcie x
0
, ciągłej w przedziale otwartym (a; b), ciągłej w
przedziale zamkniętym
a; b
. Co to są punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju ?
7. W jakich punktach dane funkcje nie są ciągłe:
[x]
x
y
[x],
y
,
x
1
arctg
y
,
1
x
x
y
,
x
sinx
y
,
2
y
2
x
x
x
?
8. Zbadać ciągłość funkcji:
0
x
dla
0
x
dla
2
=
(x)
0
=
x
dla
1
0
x
dla
x
sinx
=
g(x)
b)
,
0
x
dla
1)
-
(x
0
<
x
dla
1
x
f(x)
a)
1
2
h
c)
,
x
x
.
9. Uzasadnić na podst. twierdzenia Darboux, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w podanym
przedziale:
b)
;
;1)
(
1,
2x
x
log
a)
.
x
2
1
(0;1)
3,
x
3
2