Microsoft Word - Klasztorny

X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Marian KLASZTORNY

Kazimierz MYŚ LECKI

Czesław MACHELSKI

Monika PODWÓ RNA

ANALIZA DYNAMICZNA TYPOSZEREGU BELKOWYCH

MOSTÓ W STALOWYCH OBCIĄ ŻONYCH POCIĄ GIEM

PORUSZAJĄ CYM SIĘ Z DUŻYMI PRĘ DKOŚCIAMI

1. Wstę p

Jednotorowe,  swobodnie podparte, belkowe  mosty stalowe, z pełnościenną   konstrukcją  no-
śną   i  pomostem  zamkniętym,  były  szeroko  stosowane  na  liniach  kolejowych  w  ubiegłym
stuleciu. W zwią zku z modernizacją  wielu linii kolejowych na świecie, w celu dostosowania
ich do ruchu pocią gó w z prędkościami do 300 km/h, aktualny staje się problem modelowania
fizycznego i matematycznego układu most –  tor –  pocią g ruchomy (MTP).

Dotychczas, dynamiczne zachowanie układó w MTP było badane eksperymentalnie lub

symulowane na dość prostych modelach liniowych, m.in. [1-5]. W niniejszej pracy przepro-
wadzono  analizę  dynamiczną   typoszeregu  belkowych  mostó w  stalowych,  o  rozpiętościach
l =  15-30  m,  obcią żonych  pocią giem  poruszają cym  się  z  prędkościami  100-300  km/h.  W
modelu  układu  MTP  uwzględniono  m.in.  szybkozmienną   konfigurację,  tłumienie  geome-
tryczne oraz nieliniowe fizycznie elementy, tj. podsypkę i łą czniki szyn z podkładami. Ana-
lizę ograniczono do drgań w pionowej płaszczyźnie quasi-symetrii układu, pokrywają cej się
z  osią   toru.  Celem  analizy  jest  określenie  przydatności  mostó w  rozpatrywanego  typu  do
przenoszenia obcią żeń poruszają cych się z dużymi prędkościami.

2. Modelowanie fizyczne i matematyczne układu most – tor – pociąg ruchomy

Układ MTP można podzielić na cztery podukłady inercyjne, tj. stalową konstrukcję nośną
mostu (KN), szyny na moście i w strefach dojazdowych do mostu (S), podkłady na moście
i w strefach dojazdowych (P) oraz zbió r mas resorowanych pojazdó w szynowych (MR).

Dr hab. inż., prof. PW, Zakład Mechaniki Instytutu Mechaniki i Konstr. Pol. Warszawskiej

Dr inż., Zakład Wytrzymałości Materiałó w Instytutu Inżynierii Lą dowej Pol. Wrocławskiej

Dr inż., Zakład Mostó w Instytutu Inżynierii Lą dowej Politechniki Wrocławskiej

Mgr inż., Zakład Dynamiki Budowli Instytutu Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej

Modelem fizycznym stalowej konstrukcji nośnej mostu jest balastowana, odcinkowo

pryzmatyczna belka Eulera, wykonana z materiału liniowo lepkosprężystego. Schemat mo-
delu podukładu KN pokazano na rys. 1, gdzie: l

– długość i-tego zestawu nakładek; m

–

masa na jednostkę długości, odniesiona do i-tego zestawu nakładek; I

– centralny moment

bezwładności przekroju porzecznego przy zginaniu w płaszczyźnie pionowej, odniesiony do
i-tego zestawu nakładek. Drgania belki aproksymowano globalnie szeregiem sinusowym.

Szyny bezstykowe modelowane są przez liniowo lepkosprężystą belkę Eulera, odkształ-

calną  giętnie,  zaró wno  na  obiekcie  mostowym,  jak  i  w  strefach  dojazdowych  do  mostu.  Do
dyskretyzacji  podukładu  S  zastosowano  klasyczne  belkowe  elementy  skończone  zginane,  o
czterech  stopniach  swobody.  Węzły  dyskretyzacji  pokrywały  się  z  lokalizacją  podkładó w.
Tłumienie  geometryczne  uwzględniono  w  sposó b  przybliżony,  wprowadzając  zewnętrzne
sztuczne  tłumienie  wiskotyczne  nadkrytyczne,  o  wspó łczynniku  c

, w skrajnych elementach

skończonych. Poza strefami dojazdowymi do mostu założono, że tor jest niepodatny.

Wspó łczesne łą czniki szyn z podkładami, stosowane na liniach szybkiego ruchu, mają

najczęściej  formę  łapek  sprężystych  i  podkładek  polietylenowych.  Modelem  fizycznym
łą cznikó w są  skupione więzi lepkosprężyste, z nieliniową  charakterystyką  sprężystą  pokaza-
ną  na rys. 2, gdzie: k

– sztywność na ściskanie, k

– sztywność na rozcią ganie układu łą czni-

kó w na jednym podkładzie, m

– masa pary szyn (z łą cznikami) na jednostkę długości.

Uwzględniono statyczne obcią żenie wstępne łą cznikó w. Więzi zlokalizowane są nad pod-
kładami, rys. 3. Podkłady strunobetonowe są odwzorowane przez masy skupione, drgają ce
pionowo.

Rys. 1. Schemat konstrukcji nośnej mostu

Rys.2. Charakterystyka sprężysta

łą cznikó w szyn z podkładami

Warstwa podsypki tłuczniowej jest modelowana przez gęsty zbió r nieliniowych fizycz-

nie  więzi  sprężysto-tłumią cych,  zlokalizowanych  pod  podkładami,  rys.  3.  Więzi  reagują
tylko na ściskanie i wykazują  własności tłumią ce zbliżone do tarcia suchego, proporcjonal-
nego do naciskó w dynamicznych podkładó w na podsypkę. Nieliniowe charakterystyki więzi
odwzorowują cej odcinek podsypki o długości ró wnej rozstawowi podkładó w d, z uwzględ-
nieniem  statycznego obcią żenia  wstępnego, przedstawiono  na rys. 4, gdzie: k

– sztywność

podsypki na ściskanie, G

– statyczne obcią żenie wstępne,

– wspó łczynnik tarcia suchego.

W celu zapewnienia zbieżności procesu numerycznego całkowania ró wnań ruchu układu
MTP, charakterystykę tłumią cą ucią glono za pomocą sztucznego tłumienia wiskotycznego
nadkrytycznego w wą skim przedziale (-

Modele matematyczne, odpowiadają ce modelom fizycznym podukładó w KN, S,

szczegó łowo sformułowano w pracy [3]. Wzory definiują ce siły interakcji, przenoszone
przez łą czniki szyn z podkładami i podsypkę, podano w pracy [6].

Większość superszybkich pocią gó w pasażerskich składa się z pojazdó w szynowych na

niezależnych dwuosiowych wó zkach jezdnych [7]. Płaski model pojazdu szynowego można
wó wczas przyją ć w postaci układu o sześciu stopniach swobody, opisanego szczegó łowo w
pracach  [3,  5,  6].  Zestawy  kołowe  odwzorowane  są   przez  ruchome  masy  skupione,  przy
czym  pominięto  siły  bezwładności  tych  mas  w  ruchu  pionowym.  Ramy  wó zkó w  jezdnych
(łą cznie  z  silnikami  trakcyjnymi)  oraz  nadwozie  modelowane  są   jako  sztywne  tarcze,
„sztywno  prowadzone”  w  kierunku  osi  toru.  Zawieszenia  pierwszego  i  drugiego  stopnia  są
liniowymi więziami lepkosprężystymi.

W niniejszej pracy przyjęto obciążenie ruchome mostu w postaci pociągu typu Shinkansen,

złożonego z powtarzalnych jednostek napędowych, powszechnie stosowanego na liniach japoń-
skich [2]. Założono, że prędkość pociągu v jest stała. Formuły określające dynamiczne interakcje
przenoszone przez zawieszenia pojazdó w podano w pracy [6]. Macierzowe ró wnania ró wnowagi
dynamicznej podukładó w układu MTP wyznaczono, stosując metodę sformułowaną w monogra-
fii [3] i rozwiniętą w pracach [5, 6]. W metodzie tej wykorzystuje się ró wnania Lagrange’a oraz
stosuje się zapis ró wnań ró wnowagi dynamicznej częściowo w niejawnej postaci, z siłami inte-
rakcji jako niewiadomymi pośrednimi. Są to interakcje przenoszone przez zawieszenia pojazdó w
szynowych, łączniki szyn z podkładami oraz podsypkę.

Rys. 3. Odcinek toru bezstykowego:

1 –  belka modelują ca szyny,
2 –  więzi modelują ce łą czniki
szyn z podkładami,
3 –  podkłady,
4 –  więzi modelują ce podsypkę
tłuczniową ,
5 –  płyta pomostowa.

Rys. 5. Przekró j poprzeczny mostu SB15
w środku rozpiętości

Wynikowe ró wnania ruchu układu MTP mają postać

(

)

ï
î

ï
í

(1)

gdzie:

- podwektory wspó łrzędnych uogó lnionych, opisują ce drgania podu-

kładó w MR, S, P, KN; B

– macierz bezwładności podukładu MR; B

, K

– macierz bez-

władności i sztywności podukładu S; C

– macierz tłumienia wynikają ca ze sztucznego tłu-

mienia nadkrytycznego, w obszarze skrajnych elementó w skończonych podukładu S;

–

czas retardacji dla stali; B

– macierz bezwładności podukładu P; B

, K

– macierze bez-

władności i sztywności podukładu KN;

– podwektory obcią żeń uogó lnionych

podukładó w MR, S, P, KN. Sprzężenie ró wnań (1) jest ukryte w wektorach prawych stron,
wyrażonych przez zbiory interakcji liniowych (zawieszenia pojazdó w) i nieliniowych (łą cz-
niki szyn z podkładami, podsypka). Szczegó łowa struktura macierzy i wektoró w występują-
cych w ró wnaniach (1) została podana w pracach [3, 6].

Sprzężone ze sobą ró wnania (1) opisują nieliniowe drgania nieustalone, quasi-ustalone

i swobodne układu MTP, w pionowej płaszczyźnie quasi-symetrii układu. Opracowano proce-
durę rekurencyjno-iteracyjną numerycznego całkowania tych ró wnań, z częściowym wykorzy-
staniem bezwarunkowej stabilności metody średniego przyspieszenia Newmarka [6].

Rys. 4. Charakterystyka sprężysta i tłumią ca odcinka podsypki o długości d

3. Analiza dynamiczna typoszeregu belkowych mostów stalowych

Opracowano typoszereg belkowych mostó w stalowych, o pełnościennej konstrukcji nośnej, z
pomostem zamkniętym, jednotorowych i jednoprzęsłowych [8], zgodnie z polskimi normami
[9, 10]. Typoszereg obejmuje sześć obiektó w, o analogicznej geometrii przekroju poprzecz-
nego, pokazanej na rys. 5. Wartości podstawowych parametró w mostó w tworzą cych typo-
szereg podano w tablicy 1, gdzie W

oznacza wskaźnik zginania dla włó kien dolnych w

środku rozpiętości belek głó wnych. Belki głó wne mają trzy zestawy nakładek, dla wszyst-
kich obiektó w określone przez wzory

(2)

Z przeprowadzonych symulacji drgań swobodnych podukładu most – tor (MT) wyni-

ka, że jest mu przyporzą dkowana podstawowa częstotliwość quasi-liniowych drgań swobod-
nych, któ rą można szacować ze wzoru

925

(3)

gdzie E = 206 GPa jest modułem Younga dla stali.

W układzie MTP podukład MT jest poddany działaniu periodycznego wymuszenia parame-

trycznego i siłowego [3]. Prędkości krytyczne pociągu, któ rym odpowiadają rezonanse siłowe
podstawowego układu modalnego podukładu MT można prognozować ze wzoru [5]

[

]

km/h

(4)

gdzie i jest numerem składowej harmonicznej wymuszenia siłowego. Prognozowane warto-
ści prędkości krytycznych pocią gu typu Shinkansen, odpowiadają ce obiektom mostowym
wymienionym w tablicy 1, zestawiono w tablicy 2.

Tablica 1. Typoszereg belkowych mostó w stalowych [8]

Kod mostu

kg/m

SB15
SB18
SB21
SB24
SB27
SB30

15
18
21
24
27
30

5380
5780
6170
6520
6650
6770

0.0428
0.0658
0.0967
0.1406
0.1936
0.2688

0.0558
0.0750
0.1005
0.1280
0.1580
0.1990

Tablica 2. Prognozowane prędkości krytyczne pocią gu Shinkansen dla typoszeregu mostó w

Symulacje procesó w dynamicznych i quasi-statycznych w układzie MTP zostały wy-

konane przy założeniu toru ustabilizowanego, w okresie letnim. W skład toru wchodzą szyny
UIC 60, łą czniki typu SB 3 oraz podkłady strunobetonowe PS 94. Wartości średnie parame-
tró w fizycznych toru, opisują ce nieliniowy model przyjęty w niniejszej pracy, oszacowano
na podstawie danych zawartych m.in. w pracach [3,11-14] i zestawiono poniżej:

0.36

MN/m

165

294

kNs/m

MN/m

120

00025

6110

kg/m

130

gdzie: I

– moment bezwładności pary szyn, przy zginaniu w płaszczyźnie pionowej; c

–

wspó łczynnik tłumienia lepkiego łącznikó w przypadających na jeden podkład; m

– masa

podkładu, k

– sztywność podsypki na ściskanie na odcinku d, w strefach dojazdowych do

mostu, z uwzględnieniem podatności podtorza. Parametry

estymowano na podstawie

symulacji testowych. Przyjęto

m/s

kNs/m/m

500

Dalsze zwiększa-

nie

l ,'

lub zmniejszanie

zmienia odpowiedź dynamiczną podukładu KN o mniej niż 1%.

Wartości parametró w fizycznych pojazdó w szynowych, wchodzących w skład pocią gu Shin-
kansen, są m.in. zestawione w pracach [2, 5]. Przyjęto liczbę pojazdó w N=12.

km/h

Kod mostu

i=1

i=2

i=3

SB15
SB18
SB21
SB24
SB27
SB30

8.27
6.87
5.92
5.32
4.88
4.62

744
617
533
479
439
415

372
309
266
239
220
208

248
206
178
160
146
139

Drgania układu MTP były symulowane z wykorzystaniem własnego programu użytkowego

DYRAB  [15].  Program  służy  do  symulacji  układu  MTP  w  warunkach  dynamicznego  i  quasi-
statycznego przejazdu pociągu przez most. Postprocesor programu umożliwia  graficzną wizuali-
zację dynamicznych i quasi-statycznych przebiegó w czasowych ugięć oraz naprężeń normalnych
w skrajnych włó knach belek głó wnych, w dowolnym przekroju poprzecznym. Jedna seria obli-
czeń na PC 1.3 GHz trwa 1 –  15 minut, w zależności od parametró w wejścia.

Przeprowadzono studyjną analizę dynamiczną obiektó w mostowych z tablicy 1, obciążo-

nych pociągiem Shinkansen, poruszającym się z prędkościami v=100 –  300 km/h. Analizowano
odpowiedź  dynamiczną  i  quasi-statyczną  podukładu  KN,  w  zakresie  przebiegó w  czasowych
ugięć i naprężeń normalnych oraz wspó łczynnikó w dynamicznych ugięć i naprężeń.

Na rys. 6 pokazano wykresy wspó łczynnika dynamicznego dla naprężeń normalnych w

dolnych włó knach w środku rozpiętości belek głó wnych, obliczanego z klasycznego wzoru

( )

max

(5)

gdzie

(t),

(t) – dynamiczny i quasi-statyczny przebieg czasowy naprężeń.

Przebiegi czasowe naprężeń w najbardziej niekorzystnym przypadku, t.j. dla mostu

SB15 obcią żonego pocią giem poruszają cym się z prędkością v=250 km/h, przedstawiono na
rys. 7. Rysunek ten ilustruje jednocześnie grafikę generowaną przez program DYRAB.

Na podstawie przeprowadzonych symulacji dynamicznych i quasi-statycznych ukła-

dó w MTP, częściowo zilustrowanych na rys. 6, 7, sformułowano następują ce wnioski dla
belkowych mostó w stalowych rozpatrywanego typu:

Prędkości  krytyczne  pocią gu  Shinkansen,  odpowiadają ce  rezonansowi  siłowemu
podstawowego układu modalnego podukładu MT, wywołanemu przez podstawową
składową  harmoniczną  wymuszenia siłowego, są  praktycznie nieosią galne.

Teoretyczna prognoza prędkości krytycznych pocią gu Shinkansen, odpowiadają -
cych rezonansowi siłowemu podstawowego układu modalnego, wywołanemu przez
trzecią składową harmoniczną wymuszenia siłowego, w większości przypadkó w
została potwierdzona przez symulacje drgań.

Liczba N=12 jest wystarczają ca do wyznaczenia drgań quasi-ustalonych mostu.

Mosty małych rozpiętości

(

)

nie są dostosowane do przenoszenia ob-

cią żeń poruszają cych się z prędkościami v= 240 – 300 km/h. Mogą wó wczas wy-
stą pić stany rezonansowe, któ rym odpowiadają wspó łczynniki dynamiczne

Prowadzi to do zmęczenia niskocyklowego nakładek belek głó wnych.

W przypadku dużych prędkości pocią gó w (v = 160 – 300 km/h) najbardziej ko-
rzystne są mosty średnich rozpiętości (l = 21 – 30 m). Jest to zwią zane przede
wszystkim ze zmniejszaniem się amplitud wymuszenia podukładu MT ze wzrostem
rozpiętości. Ponadto wzrasta moc tłumienia przez podsypkę w tych mostach.

Wspó łczynniki dynamiczne dla ugięć KN są o kilka procent mniejsze lub ró wne
wspó łczynnikom dynamicznym dla naprężeń normalnych w KN.

Największe wspó łczynniki dynamiczne dla naprężeń normalnych odpowiadają
przekrojowi w środku rozpiętości przęsła.

Pod względem jakościowym, przebiegi czasowe naprężeń dynamicznych w istotny
sposó b zależą od położenia analizowanego przekroju KN.

Opracowane nieliniowe modele fizyczne układu MTP są dość złożone i zbliżają
prognozowane teoretycznie drgania układu do drgań w układach rzeczywistych.

Literatura

[1] FRYBA L., Vibrations of solids and structures under moving load. Academia, Praha, 1972.
[2] MATSUURA A., Dynamic behaviour of bridge girder for high speed railway bridge.

RTRI Quarterly Reports. 1979, Vol. 20, No. 2.

[3] KLASZTORNY M., Drgania jednotorowych mostó w kolejowych wywołane ruchem

pociągó w poruszających się z dużymi prę dkoś ciami. WPWr, Wrocław, 1987.

[4] NIEMIERKO A., Some design and performance problems related to behaviour of

bridge structures on high speed railway lines. Arch. Civil Eng., 1996, Vol.42, No.4,
pp.401-423.

[5] KLASZTORNY M., Vertical vibrations of a multi-span beam steel bridge induced by a

superfast passenger train. Structural Eng. & Mechanics. 2001, Vol.12, No.3, pp. 267-281.

[6] KLASZTORNY M. & PODWÓ RNA M., New computational algorithms in dynamics

of bridge – track – moving train system. CD Proc. 2

European Conf. on Computational

Mechanics, Cracow (Poland). 2001, Minisymposium 28. Paper No 110: 1-20.

[7] ROMANISZYN Z., WOLFRAM T., Nowoczesny tabor szynowy. IPS PK, Krakó w, 1997.

[8] MACHELSKI Cz., Typoszereg stalowych mostó w kolejowych. Raport serii SPR

Nr135/01. Instytut Inżynierii Lą dowej PWr, Wrocław, 2001.

[9] PN-82/S-10052. Obiekty mostowe. Konstrukcje stalowe. Projektowanie.

[10] PN-85/S-10030. Obiekty mostowe. Obciążenia.
[11] AHLBECK, D.R., MEACHAM H.C & PRAUSE R.H., The development of analytical

models for railroad track mechanics. Proc. Symp. on Railroad Track Mechanics. Perga-

mon Press, 1975, 239-263.

[12] DUKKIPATI R.V. & AMYOT J.R., Computer aided simulation in railway dynamics.

New York – Basel: Marcel Dekker, Inc, 1988.

[13] ESVELD C., Modern railway track. Germany, 1989.
[14] KRUŻYŃ SKI M., PIOTROWSKI A., PODWÓ RNA M., Badania doświadczalne wy-

cinka toru kolejowego. Raport serii SPR Nr1/02, IIL PWr, Wrocław, 2002.

[15] KLASZTORNY M., MYŚ LECKI K., Program komputerowy DYRAB do obliczeń dy-

namicznych mostó w kolejowych. Raport Nr IMiK/4/1999. IMiK PW, Warszawa, 1999.

DYNAMIC ANALYSIS OF A SERIES-OF-TYPES OF STEEL BEAM

BRIDGES LOADED BY A TRAIN MOVING AT HIGH SPEEDS

Summary

A planar, physical and mathematical, nonlinear model of the bridge  –  track –  moving train
system  has  been presented.  The  theory  is  related  to  single-track,  simply-supported  bridges,
with  a  steel  beam  superstructure  and  a  ballasted  closed  platform.  A  series-of-types  of  the
bridges  undertaken  has  been  designed  in  accordance  with  Polish  codes.  The  dynamic  and
quasi-static responses of the bridges to a Shinkansen train moving at velocity v = 100 –  300
km/h  have  been  simulated,  using  own  computer  software.  Practical  usability  of  steel  beam
bridges on high speed railway lines has been verified.

Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Nr 8 T07E 024 20, finansowanego
w latach 2001 – 2003 przez Komitet Badań Naukowych.