INSTRUKCJA 

ĆWICZENIA LABORATORYJNEGO NR 205 

 
 
 
 
 

OBLICZANIE WIELOŚCI ZWARCIOWYCH 

W SIECI ZE SKUTECZNIE I NIESKUTECZNIE 

UZIEMIONYM PUNKTEM NEUTRALNYM 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Łódź, wrzesień 2003 roku 

 
 
 

 

- 2 - 

 

 
 

 

- 3 - 

 

1. 

WSTĘP 

 
 

Celem  ćwiczenia  jest  wykonanie  obliczeń  wielkości  zwarciowych  początkowych  dla  zwarć 

symetrycznych  i  niesymetrycznych  w  wielonapięciowej  sieci  elektroenergetycznej  za  pomocą 
maszyny  cyfrowej.  Obliczenia  te  będą  wykonywane  w  sieci  ze  skutecznie  i  nieskutecznie 
uziemionym punktem neutralnym. W ramach ćwiczenia będą wykonywane następujące zadania: 
1. 

Budowa schematów zastępczych sieci dla składowej zgodnej i zerowej. 

2. 

Obliczanie  impedancji  elementów  sieci  dla  składowej  zgodnej  i  zerowej  w  jednostkach 
względnych. 

3. 

Zapoznanie  się  ze  sposobem  wprowadzania  danych  w  programie  komputerowym 
obliczającym wielkości zwarciowe. 

4. 

Przeprowadzenie  obliczeń  dla  zwarcia  trójfazowego  za  pomocą  maszyny  cyfrowej  oraz 
analiza wyników obliczeń. 

5. 

Dobór dławików ograniczających prądy zwarciowe. 

6. 

Wykonanie obliczeń dla zwarć niesymetrycznych w sieci ze skutecznie uziemionym punktem 
neutralnym. 

7. 

Analiza wyników obliczeń z uwzględnieniem transformacji składowych symetrycznych. 

8. 

Analiza warunków skuteczności uziemienia sieci elektroenergetycznej. 

9. 

Wykonanie  obliczeń  i  analizy  wyników  dla  zwarć  niesymetrycznych  w  sieci  zawierającej 
linie magnetyczne sprzężone. 

10.  Wykonanie  obliczeń  dla  zwarć  doziemnych  w  sieci  z  nieskutecznie  uziemionym  punktem 

neutralnym, a więc: 



  w sieci z izolowanym punktem neutralnym, 



 

w sieci z kompensacją prądu zwarcia doziemnego, 



 

w sieci z kompensacją prądu zwarcia doziemnego i z automatyką wymuszania dodatkowej 
składowej czynnej tego prądu, 



  w sieci z punktem neutralnym uziemionym przez rezystor. 

W  ramach  obliczeń  dla  zwarć  doziemnych  w  sieci  z  nieskutecznie  uziemionym  punktem 
neutralnym  zostanie  przeanalizowany  wpływ  prądów  odbiorów  na  prądy  i  napięcia 
zakłóceniowe. 

Obliczenia będą wykonywane przy wykorzystaniu programu ZWAK31. 
 
 

2. 

MODEL

 

MATEMATYCZNY

 

SYSTEMU

 

ELEKTROENERGETYCZNE-

GO

 

DLA

 

OBLICZEŃ

 

WIELKOŚCI

 

ZWARCIOWYCH 

 
2.1  Zastosowanie  metody  potencjałów  węzłowych  do  obliczania  zwarć  przy  założeniu 

jednakowych sił elektromotorycznych generatorów 

 
2.1.1  Obliczanie prądów i napięć przy zwarciach symetrycznych 
 
 

Rozpatrzmy  sieć  elektroenergetyczną,  n-węzłową,  w  której  w  węzłach  od  1  do  g  są 

przyłączone generatory (rys.2.1). Dla obliczeń zwarciowych wszystkie generatory odwzorowujemy 
za  pomocą  źródła  napięciowego  o  jednakowej  sile  elektromotorycznej  E

E

d

"



  (siła 

elektromotoryczna  nadprzejściowa  generatora)  i  impedancji  nadprzejściowej  Z

"

  -  różnej  dla 

każdego 

generatora. 

Rozpoczynając 

tworzenie 

modelu 

matematycznego 

systemu 

elektroenergetycznego dla stanu zakłóceniowego założono, że: 



 

rozpatrywana siec jest siecią symetryczną, 



  zostanie  zastosowana  metoda  potencjałów  węzłowych  wraz  z  metodą  składowych 

symetrycznych. 

 

- 4 - 

 

Zakładając  ponadto,  że  tworzymy  schemat  dla  zwarcia  symetrycznego  w  węźle  k-tym  można 
narysować schemat zastępczy sieci do wyznaczania zwarć (rys. 2.2). 
 

 

Rys. 2.1. Schemat ogólny sieci elektroenergetycznej. 
 

 

 
Rys.2.2. Schemat sieci dla obliczeń zwarciowych. 
 

 

Rys.2.3. Schemat zastępczy sieci dla obliczeń zwarciowych. 

 

- 5 - 

 

Węzły 1', 2'...g' są punktami ekwipotencjalnymi i można je połączyć. Przyjmiemy, że węzeł 

ten  jest  węzłem  odniesienia  rozpatrywanej  sieci  i  nadajemy  mu  numer  zero.  Posiada  on  zerowy 
potencjał (rys.2.3). Równanie potencjałów węzłowych będzie postaci: 
 











































































































n

k

1

n

,

n

k

,

n

1

,

n

n

,

k

k

,

k

1

,

k

n

,

1

k

,

1

1

,

1

n

k

1

U

U

U

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I





































 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1) 

 
gdzie: 



 

k

1

I

I 

 - prądy węzłowe; 



 

n

1

U

U







 - napięcia węzłów od 1 do n względem węzła odniesienia (napięcia węzłowe); 



 

n

,

n

1

,

1

Y

Y



 - elementy macierzy admitancyjnej węzłowej sieci. 

 
Równanie (2.1) można zapisać w postaci: 
 

I

Y

U

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2) 

 
gdzie: 



  I - macierz prądów węzłowych; 



 

Y - macierz admitancyjna węzłowa sieci; 



 

U



- wektor napięć węzłowych. 

 
Przy zwarciu w k-tym węźle mamy: 
 

0

I

oraz

0

I

I

I

I

k

n

1

k

1

k

1























   

 

 

 

 

 

 

(2.3) 

 



U

E

E

k

d

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.4) 

 
Wektory prądów i napięć węzłowych są, więc następujące: 
 





T

k

0

0

I

0

0







I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.5) 

 





T

n

1

k

1

k

1

U

U

E

U

U























U

 

 

 

 

 

 

 

(2.6) 

 
Równanie (2.2) to układ n równań węzłowych, w których wielkościami nieznanymi są: 



 

napięcia węzłowe oprócz 

E

E

U

"

d

k











, 



 

prąd węzłowy w węźle k-tym. 

 
Aby rozwiązać powyższy układ równań można go przekształcić do postaci: 
 



U

Y

I

Z I



  



1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.7) 

 
gdzie: 



  Z - macierz impedancyjna węzłowa sieci. 

 

- 6 - 

 

Równanie (2.7) jest postaci: 
 











































































































0

I

0

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

U

E

U

k

n

,

n

k

,

n

1

,

n

n

,

k

k

,

k

1

,

k

n

,

1

k

,

1

1

,

1

n

1





































 

 

 

 

 

 

 

 

(2.8) 

 
Z równania (2.8) prąd węzłowy w węźle k-tym wynosi : 
 

k

,

k

k

Z

E

I





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.9) 

 
W rzeczywistości prąd zwarciowy 

Zk

I

przy zwarciu w węźle k-tym odpływa od tego węzła, a więc 

ma kierunek przeciwny do prądu węzłowego 

k

I , który dopływa do węzła, czyli: 

 

k

,

k

Zk

Z

E

I



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.10) 

 
Należy zauważyć, że prąd 

Zk

I

 to prąd zwarciowy początkowy. Napięcie w dowolnym i-tym węźle 

możemy obliczyć ze wzoru: 
 





Zk

k

,

i

k

,

k

k

,

k

k

,

i

k

,

k

k

,

k

k

,

i

Zk

k

,

i

k

k

,

i

i

i

I

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

E

Z

E

I

Z

E

I

Z

E

U

E

U



























































 

 

 

 

(2.11) 

 
Znając  napięcia  w  węzłach  można  obliczyć  rozpływ  prądów,  i  tak  prąd  w  gałęzi  łączącej  węzły 
p oraz q wynosi: 
 

q

p

k

,

p

k

,

q

Zk

q

p

k

,

k

k

,

p

k

,

q

q

p

q

p

pq

Z

Z

Z

I

Z

Z

Z

Z

E

Z

U

U

I













 

 

 

 

 

 

(2.12) 

 
gdzie: 



 

q

p

Z

- impedancja gałęzi łączącej węzły p oraz q. 

 

Z powyższych rozważań wynika, że znając macierz impedancyjną  węzłową sieci otrzymaną 

poprzez odwrócenie macierzy admitancyjnej węzłowej możemy obliczać wielkości zwarciowe przy 
zwarciu w dowolnym węźle sieci. 
 
2.1.2  Obliczanie prądów i napięć przy zwarciach niesymetrycznych 
 
 

Obliczanie wielkości zwarciowych przy zwarciach niesymetrycznych najlepiej wykonywać 

przy zastosowaniu metody składowych symetrycznych. Załóżmy dodatkowo, że obliczenia te 

 

- 7 - 

 

będziemy wykonywać w oparciu o otrzymane macierze impedancyjne węzłowe sieci dla 
składowych symetrycznych: 



  zgodnej 

 

1

Z

, 



  przeciwnej 

 

2

Z

, 



  zerowej 

 

0

Z

. 

Składowe symetryczne prądu zwarciowego przy zwarciu w węźle k-tym wynoszą: 



 

trójfazowym 
 

 

 

 

 

0

I

I

Z

Z

E

I

k

0

k

2

P

k

,

k

1

k

1









 

 

 

 

 

 

 

 

(2.13) 

 
gdzie: 

P

Z

- impedancja przejścia w miejscu zwarcia. 

 



  dwufazowym 

 

 

 

 

 

 

0

I

Z

Z

Z

E

I

I

k

0

P

k

,

k

2

k

,

k

1

k

2

k

1













 

 

 

 

 

 

(2.14) 

 



  dwufazowym doziemny 

 

 

 

 

 





 

 

P

k

,

k

0

k

,

k

2

P

k

,

k

0

k

,

k

2

k

,

k

1

k

1

Z

3

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z

E

I











   

 

 

 

 

 

 

(2.15) 

 

 

 

 

 

 

P

k

,

k

0

k

,

k

2

P

k

,

k

0

k

1

k

2

Z

3

Z

Z

Z

3

Z

I

I











 

 

 

 

 

 

 

 

(2.16) 

 

 

 

 

 

 

P

k

,

k

0

k

,

k

2

k

,

k

2

k

1

k

0

Z

3

Z

Z

Z

I

I









 

 

 

 

 

 

 

 

(2.17) 

 



  jednofazowym 

 

 

 

 

 

 

 

P

k

,

k

0

k

,

k

2

k

,

k

1

k

0

k

2

k

1

Z

3

Z

Z

Z

E

I

I

I













 

 

 

 

 

(2.18) 

 
Prądy  fazowe  w  miejscu  zwarcia  obliczamy  transformując  prądy  składowych  symetrycznych  do 
układu współrzędnych fazowych wg zależności: 
 

 

 

 

































































k

2

k

1

k

0

2

2

k

3

L

k

2

L

k

1

L

I

I

I

a

a

1

a

a

1

1

1

1

I

I

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.19) 

 
lub zapisując krócej: 

 

- 8 - 

 

s

1

f

I

S

I





   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.20) 

 
Napięcia w dowolnym i-tym węźle, w tym i w węźle zwartym, obliczamy z wzoru: 
 

 

 

 

k

1

k

,

i

1

i

1

I

Z

E

U





  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.21) 

 

 

 

 

k

2

k

,

i

2

i

2

I

Z

U





   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.22) 

 

 

 

 

k

0

k

,

i

0

i

0

I

Z

U





   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.23) 

 
Następnie wyznaczamy wielkości fazowe: 
 

s

1

f

U

S

U





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.24) 

 
Prądy w dowolnej gałęzi łączącej węzły p oraz q wyznaczyć można z wzoru: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

,

2

,

1

dla

Z

Z

Z

I

Z

U

U

I

q

p

k

,

p

k

,

q

k

q

p

q

p

pq





























 

 

 

 

(2.25) 

 
 

Przed określeniem wielkości fazowych prądu w gałęzi lub napięcia w węźle, w obliczeniach 

wartości  składowych  symetrycznych,  program  uwzględnia  transformacje  składowych 
symetrycznych na skutek stosowania w sieci transformatorów o układach połączeń Yd, Dy, Dz oraz 
Zy.  Program  podczas  wczytywania  danych  wejściowych,  dla  każdego  węzła,  określa  kąt 
przesunięcia  napięcia  w  tym  węźle,  w  stanie  jałowym  względem  węzła  sieci,  który  przyjmujemy 
jako węzeł odniesienia. Powyższej transformacji możemy dokonać według zależności: 
 

 

 





q

p

j

pq

1

pq

1

e

I

I











   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.26) 

 

 

 





q

p

j

pq

2

pq

2

e

I

I













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.27) 

 

 

 





k

i

j

i

1

i

1

e

U

U











   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.28) 

 

 

 





k

i

j

i

1

i

1

e

U

U













  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.29) 

 
gdzie: 



 

k

,

i

,

q

,

p

oraz









-  kąty  przesunięcia  napięcia  w  tym  węźle,  w  stanie  jałowym  względem 

węzła odniesienia. 

W  oparciu  o  zaprezentowaną  teorię  możemy  obliczać  wielkości  zwarciowe  dla  zwarć 
symetrycznych i niesymetrycznych w sieci ze skutecznie uziemionym punktem neutralnym. Jest to 
klasyczny algorytm obliczania tych stanów. 
 
 
 
 
 

 

- 9 - 

 

2.2  Zastosowanie metody potencjałów węzłowych do obliczania zwarć w sieci ze skutecznie 

i nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym 

 

 

Rys.2.4. Schemat zastępczy sieci dla obliczeń zwarciowych. 
 
 

Możliwość  obliczania  wielkości  zwarciowych  w  sieci  ze  skutecznie  i  nieskutecznie 

uziemionym punktem neutralnym jest dużym udogodnieniem. Model matematyczny dla obliczania 
zwarć w sieci elektroenergetycznej ze skutecznie i nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym 
można otrzymać zamieniając modele matematyczne generatora, ze źródła napięciowego (rys.2.3) na 
źródło  prądowe  (rys.2.4).  Prąd  ten  jest  prądem  węzłowym  dołączonym  w  węźle  dołączenia 
generatora do sieci. Węzłem odniesienia jest w tym przypadku umyślony przewód powrotny. Prąd 
węzłowy źródła, dołączonego do j-tego węzła dla 



-tej składowej  I

j

n
( )



, otrzymujemy zamieniając 

to źródło z modelu napięciowego na  model prądowy, a prąd ten można obliczyć ze wzoru: 
 

 
 

j

j

n

j

)

(

Z

E

I









 

 

dla 

0

,

2

,

1





 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.30) 

 
gdzie:  



 

 

j

E



 - siła elektromotoryczna źródła dołączonego do j-tego węzła dla 



-tej składowej, 



 

 

j

Z



 - impedancja źródła dołączonego do j-tego węzła dla 



-tej składowej. 

 
W węzłach, do których nie jest dołączone żadne źródło prąd węzłowy źródła wynosi zero. 
Równania dla każdej składowej możemy zapisać w postaci: 
 

 

   











I

Z

U

   

dla 

0

,

2

,

1





 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.31) 

 
gdzie:  



 

 



U

- napięcie węzłowe 



-tej składowej, równe napięciu w danym węźle dla danej składowej, 



 

 





I

 - prąd węzłowy 



-tej składowej, 



 

 



Z

- macierz impedancyjna węzłowa sieci dla 



-tej składowej. 

Przy  założeniu,  że  zakłócenia  modelujemy  za  pomocą  prądu  węzłowego,  prąd 

)

(





I

  ma  dwa 

składniki: 

 

- 10 - 

 



 

składnik prądu źródłowego 

n

)

(



I

, 



 

składnik prądu zakłóceniowego 

)

(



I

, 

przy czym: 
 

)

(

n

)

(

)

(













I

I

I

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.32) 

 
W przypadku symetrii źródeł mamy, że: 
 

0

i

0

n

)

1

(

n

)

0

(

n

)

2

(







I

I

I

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.33) 

 
Równanie (2.31) wygodnie jest przekształcić do postaci: 
 

 

     





   

   

 

   



































I

Z

U

I

Z

I

Z

I

I

Z

U

n

n

n

   

 

 

 

(2.34) 

 

Wektor 

 

n



U

  są  to  napięcia  w  poszczególnych  węzłach  w  stanie  normalnym.  Taki  sposób 

postępowania umożliwia uwzględnianie: 



 

różnych sił elektromotorycznych (co do modułu i fazy) w poszczególnych źródłach, 



 

gałęzi  przyłączonych między  węzłem a węzłem  odniesienia np.  gałęzi  odbiorczych czy  gałęzi 
poprzecznych w schematach zastępczych elementów. 

Te  możliwości  modelu  matematycznego  sieci  elektroenergetycznej  pozwalają  za  pomocą 

jednego modelu - równania (2.34) - obliczać: 



 

prądy  i  napięcia  podczas  zwarć  wielkoprądowych,  tzn.  zwarć  symetrycznych 
i niesymetrycznych w sieci ze skutecznie uziemionym punktem neutralnym, 



 

prądy  i  napięcia  podczas  zwarć  małoprądowych,  tzn.  zwarć  jednofazowych  w  sieci 
z nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym, 



  stany  ustalone  normalne  gdyby  odbiory  zamodelować  stałymi  impedancjami  a  wektor  prądu 

zakłóceniowego przyjąć równy zero, 



 

stany ustalone normalne gdyby odbiory zamodelować stałymi prądami zapisanymi w wektorze 
prądu zakłóceniowego, 



  stany ustalone normalne niesymetryczne, gdyby odbiory zamodelować stałymi prądami różnymi 

w każdej fazie, zapisanymi w wektorze prądu zakłóceniowego, 



 

prądy  i  napięcia  podczas  zakłóceń  z  uwzględnieniem  prądów  obciążeniowych  przy 
modelowaniu odbiorów za pomocą jednego z podanych sposobów. 

 
 

W przypadku zwarcia w węźle k-tym wektor prądu zakłóceniowego jest następujący: 

 





0

...

0

I

0

...

0

)k

(

T

)

(









I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.35) 

 
a układ równań odwzorowujący zwarcie będzie postaci: 
 

 

 

 

 

k

k

,

k

n

k

k

I

Z

U

U













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.36) 

 
 
gdzie: 



 

 

k

,

k

Z



- impedancja własna węzła k-tego dla 



-tej składowej. 

 

- 11 - 

 

 
W powyższym układzie trzech równań mamy sześć niewiadomych, trzy napięcia 

 

k

U



  oraz trzy 

prądy 

 

k

I



. Układ ten można rozwiązać dopisując trzy równania zależne od rodzaju zwarcia, tzn. 

równania brzegowe zwarcia. 
 

W  przypadku  gdyby  stany  ustalone,  normalne,  symetryczne  obliczać  poprzez  modelowanie 

odbiorów  stałymi  impedancjami  to  wektor  prądu  zakłóceniowego  należy  przyjąć  równy  zero. 
Wtedy: 
 

 

   

 

n

1

n

1

1

1

U

I

Z

U





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.37) 

 
W  oparciu  o  zaprezentowaną  teorię  opracowano  program  ZWAK31.  Za  pomocą  tego  programu 
możemy  obliczać  wielkości  zwarciowe  dla  zwarć  symetrycznych  i  niesymetrycznych  w  sieci  ze 
skutecznie i nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym. W przypadku wykonywania obliczeń 
zwarć doziemnych w sieci z nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym należy w schematach 
zastępczych gałęzi uwzględnić ich elementy poprzeczne (pojemności). 
 
2.3  Impedancje elementów sieci elektroenergetycznej w układzie składowych symetrycznych 
 
2.3.1  Wstęp 
 
 

W programie ZWAK31 przyjęto następujące założenia odnośnie impedancji elementów sieci 

elektroenergetycznej: 



 

impedancje  dla  składowej  przeciwnej  mogą  być  równe  impedancji  składowej  zgodnej  dla 
wszystkich elementów sieci, 



 

schemat zastępczej sieci dla składowej zgodnej i zerowej musi być taki sam. 

Założenie 2) można zrealizować poprzez wprowadzenie w schematach zastępczych elementów sieci 
dla składowej zgodnej i zerowej dodatkowych, sztucznych gałęzi o bardzo dużych lub małych 
impedancjach doprowadzających te schematy do jednakowej postaci. Dla typowych elementów 
sieci elektroenergetycznej, które posiadają różne schematy zastępcze, w tabl. 2.1. zestawiono 
wspólne schematy zastępcze tych elementów dla składowej zgodnej i zerowej. 
 

 

- 12 - 

 

Tabl.2.1. Schematy zastępcze i impedancje elementów systemu elektroenergetycznego 

Lp  Nazwa elementu  Schemat zastępczy  Impedancje  dla 

składowej 
zgodnej 

Impedancje dla składowej zerowej 

1 

2 

3 

4 

5 

1 

Transformator 
YNd 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

YN  

d 

 

 

 

 

 

 









c

1

T

1

b

1

T

1

a

1

Z

Z

2

1

Z

Z

2

1

Z

 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 

 

 
 

0

Z

Z

Z

3

Z

Z

c

0

b

0

u

T

1

a

0











 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 

 

 
 

0

Z

Z

Z

3

Z

9

.

0

Z

c

0

b

0

u

T

1

a

0











 

2 

Transformator 
YNyn 

 

a

Z

 

YN

 

yN 

 

 

 

T

1

a

1

Z

Z



 

 

 

2

uy

uY

T

1

a

0

Z

3

Z

3

Z

Z









 

3 

Transformator 
YNy 

 

a

Z

 

YN

 

y 

 

 

 

T

1

a

1

Z

Z



 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 





a

0

Z

 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 





 

uY

T

1

a

0

Z

3

Z

6

4

Z







 

4 

Transformator 
YNyn ze wspól-
nym 
uziemieniem 

 

a

Z

 

YN

 

yN 

 

 

 

T

1

a

1

Z

Z



 

 

 





2

u

T

1

a

0

1

Z

3

Z

Z









 

5 

Transformator 
Zyn 
(uziemiający) 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

Z

 

yN 

 

 

 

 

 

 









c

1

T

1

b

1

T

1

a

1

Z

Z

2

1

Z

Z

2

1

Z

 

 

 

 

 





 

 

0

Z

Z

3

Z

4

3

Z

Z

3

X

15

.

0

j

R

4

.

0

Z

c

0

uy

T

1

b

0

uZ

T

1

T

1

a

0















 

6 

Transformator 
Zyn lub Yzn 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

ZN 

Y  

 

 

 

 

 

 









c

1

T

1

b

1

T

1

a

1

Z

Z

2

1

Z

Z

2

1

Z

 

 

 

 

 

 

0

Z

Z

3

X

15

.

0

j

R

4

.

0

Z

Z

c

0

2

uZ

T

1

T

1

b

0

a

0















 

7 

Transformator 
trójuzwojenio-
wy 

YNyd 

gdzie: 
g - górne 
s - średnie 

d - dolne 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

e

Z  

d

 

g 

s 

 

 

 

 

 

 

 

 











e

1

T s

1

c

1

T g

1

b

1

T d

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 

 

 

 

 

0

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

e

0

u

Tgd

1

b

0

c

0

a

0













 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 

 

 

 

 

0

Z

Z

3

Z

8

.

0

Z

Z

Z

e

0

u

Tgd

1

b

0

c

0

a

0













 

 

 

- 13 - 

 

cd. tabl. 2.1. 

1 

2 

3 

4 

5 

8 

Transformator 
trójuzwojeniowy 
YNdd gdzie: 
g - górne 
s - średnie 
d - dolne 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

e

Z  

d  

g 

s 

 

 

 

 

 

 

 

 











e

1

T s

1

c

1

T g

1

b

1

T d

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

0

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

e

0

c

0

u

Td

1

Ts

1

Td

1

Ts

1

Tg

1

b

0

a

0





















 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

0

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

9

.

0

Z

Z

e

0

c

0

u

Td

1

Ts

1

Td

1

Ts

1

Tg

1

b

0

a

0



































 

9 

Autotransformator 
YautoNd 

lub 

transformator 
YNynd 

 

g gorne
s srednie
d do e







ln

 

a

Z

b

Z

d

Z

c

Z

e

Z

Y

y

d

 

 

 

 

 

 

 

 
 













e

1

d

1

Td

1

c

1

Ts

1

b

1

Tg

1

a

1

Z

0

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 

 





 

 





 
 

 

 

0

Z

Z

3

Z

Z

Z

1

Z

3

Z

Z

1

Z

3

Z

Z

e

0

u

Td

1

d

0

c

0

u

Ts

1

b

0

u

Tg

1

a

0































 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 

 





 

 





 

 

 





 

 

 

 

0

Z

Z

6

Z

3

Z

85

.

0

Z

6

Z

3

Z

85

.

0

Z

Z

1

Z

3

Z

85

.

0

Z

1

Z

3

Z

85

.

0

Z

e

0

Tgs

1

u

Td

1

Tgs

1

u

Td

1

d

0

c

0

u

Ts

1

b

0

u

Tg

1

a

0







































 

10  Autotransformator 

YautoN 

 

a

Z  

YN

 

yN 

 

 

 

T

1

a

1

Z

Z



 

Rdzeń pięciokolumnowy: 

 

 





2

u

T

1

a

0

1

Z

3

Z

Z









 

Rdzeń trójkolumnowy: 

 

 





2

u

AT

1

a

0

1

Z

3

Z

85

.

0

Z









 

 
 
 
 
 
 
 

 

- 14 - 

 

cd. tabl. 2.1. 

1 

2 

3 

4 

5 

11  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami  na  obu 
końcach 

 

a

Z  

b

Z  

I  

II 

 

 

 

 

 

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z





 

 

   





 

 

   





 

II

mI

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

mI

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z





























 

12  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami 

na 

jednym końcu 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

I  

II 

 

 

 

 

 

 









c

1

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

 

 

   





 

 

   





 

 

   





II

mI

2

II

mI

II

0

I

0

c

0

II

mI

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

mI

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z









































 

13  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami 

na 

jednym końcu 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z

 

I

 

II 

 

 

 

 

 

 

0

Z

Z

Z

Z

Z

c

1

II

1

b

1

I

1

a

1







 

 

 

 

 

 

II

mI

c

0

II

mI

II

0

b

0

II

mI

I

0

a

0

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

3

Z

Z























 

14  Linia 

dwutorowa 
pracująca  z  nie 
połączonymi 
torami  na  obu 
końcach 

 

a

Z  

b

Z

b

Z  

c

Z  

I  

II 

c

Z  

c

Z



 

c

Z



 

 

 

 

 

 

 









c

1

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

 

 

   





 

 

   





 

 

   





II

mI

2

II

mI

II

0

I

0

c

0

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z





























 

 
Wyjaśnienia do tabl. 2.1.: 



 

u

Z

 -impedancja uziemienia punktu gwiazdowego transformatora. 



 



 -przekładnia transformatora. 



 

Impedancje transformatorów i autotransformatorów są sprowadzone na stronę górnego napięcia, 



  W  niektórych  punktach  pominięto  gałęzie  odwzorowujące  impedancje  magnesowania 

transformatora dla składowej zerowej. 



 

Należy pamiętać, że prądy płynące w gałęziach schematu zastępczego nie mają odpowiedników 
fizycznych. Prąd w torze należy, więc wyznaczać jako sumę prądów płynących w odpowiednich 
gałęziach  schematu  zastępczego.  Dotyczy  to  także  linii  dwutorowej  pracującej  z  połączonymi 
torami na jednym  końcu  - wiersz 12. W tym  przypadku schemat zastępczy w postaci  trójkąta 
najlepiej jest przekształcić do postaci gwiazdy - wiersz 13.  



 

Wyznaczanie prądów płynących w gałęziach sieci jako sumy geometrycznej prądów płynących 
w odpowiednich  gałęziach  schematu  zastępczego  jest  sposobem  niewygodnym  i  może  być 
uproszczone poprzez dodanie gałęzi o małych impedancjach realizujących ten sam cel. 

 

- 15 - 

 

 

W  tabl.  2.1.  występują  impedancje,  które  można  uzyskać  na  podstawie  pomiarów  lub 

w wyniku  obliczeń  w  oparciu  o  dane  znamionowe  urządzenia  lub  w  przypadku  linii  w  oparciu 
o schemat i odległości rozmieszczenia przewodów fazowych i odgromowych na słupie.  

Poniżej  zostaną  zaprezentowane  wzory  umożliwiające  obliczenie  impedancji  linii  w  oparciu 

o rozmieszczenie przewodów na słupie. W obliczeniach tych będzie zakładane, że: 



 

linia  jest  w  pełni  symetryczna  geometrycznie  oraz  elektrycznie  tzn.  że  linią  jest 
z przepleceniami, 



 

przewody odgromowe są uziemione, 



 

uziomy  słupów  nie  uczestniczą  w  odprowadzaniu  prądów  płynących  w  przewodach 
odgromowych. 

 
2.3.2  Linia jednotorowa z jednym przewodem odgromowym 
 
 

Impedancja własna i wzajemna kilometryczna przewodów fazowych: 

 





 

km

r

D

lg

145

.

0

j

R

R

Z

o

z

zk

pk

wk









   

 

 

 

 

 

 

(2.38) 

 

 

km

b

D

lg

145

.

0

j

R

Z

m

z

zk

mk







 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.39) 

 
gdzie: 



 

pk

R

- rezystancja kilometryczna przewodu fazowego obliczana z przekroju tego przewodu; 



 

zk

R

- rezystancja kilometryczna ziemi (zwykle przyjmuje się, że 

km

05

.

0

R

zk





); 



 

z

D -  odległość  miedzy  przewodem  fazowym  a  umyślonym  przewodem  powrotnym 

znajdującym się w ziemi, zwykle przyjmuje się, że 

m

1000

D

z



; 



 

o

r - zastępczy promień przewodu; 



 

m

b

- średni odstęp przewodów od siebie. 

 
Zastępczy  promień  przewodu  dla  pojedynczego  przewodu  typu  AFl  wynosi  0,8  promienia 
rzeczywistego,  a  w  przypadku  przewodów  wiązkowych,  jeśli  przewody  w  wiązce  są  ułożone  na 
wierzchołkach wieloboku foremnego wyraża się wzorem; 
 

n

1

n

rz

o

D

r

8

.

0

r





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.40) 

 
gdzie: 



 

rz

r  - rzeczywisty promień przewodu; 



  D - odległość przewodu w wiązce; 



  n - liczba przewodów w wiązce. 

 
Średni odstęp przewodów fazowych wynosi: 
 

3

1

L

3

L

3

L

2

L

2

L

1

L

m

b

b

b

b



   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.41) 

 
gdzie: 



 

1

L

3

L

3

L

2

L

2

L

1

L

b

,

b

,

b

 - rzeczywiste odstępy między przewodami fazowymi. 

 

 

- 16 - 

 

Impedancja  własna  kilometryczna 

k

Z



  przewodu  odgromowego 



  i  wzajemna  kilometryczna 

Z

m k



 pętli przewód odgromowy - przewód fazowy wynosi: 

 





 

km

r

D

lg

145

.

0

j

R

R

Z

z

zk

k

k















   

 

 

 

 

 

 

(2.42) 

 

 

km

b

D

lg

145

.

0

j

R

Z

m

z

zk

k

m











   

 

 

 

 

 

 

 

(2.43) 

 
 
gdzie: 



 

k

R



- rezystancja kilometryczna przewodu odgromowego; 



 



r

- zastępczy promień przewodu odgromowego; 



 



m

b

- średnia odległość miedzy przewodem odgromowym a przewodami fazowymi. 

 
Wielkość 



m

b

 obliczamy z wzoru: 

 

3

3

L

2

L

1

L

m

b

b

b

b











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.44) 

 
Kilometryczna impedancja linii dla składowej zgodnej i zerowej wynosi: 
 

 

 

km

r

b

lg

145

.

0

j

R

Z

Z

Z

o

m

pk

mk

wk

k

1











   

 

 

 

 

 

(2.45) 

 

 

k

2

k

m

mk

wk

k

0

Z

Z

3

Z

2

Z

Z











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.46) 

 
Prąd w przewodzie odgromowym obliczamy z wzoru: 
 

 

 





r

0

m

0

k

1

I

3

Z

Z

I

3

I

















   

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.47) 

 
gdzie: 



 

r

k -  współczynnik  redukcyjny  przewodów  odgromowych,  w  skrócie  współczynnik  redukcyjny 

linii. 

 
Pozostała część prądu 

 

0

I

3

 płynącego daną linią wraca poprzez ziemię. 

 
2.3.3  Linia jednotorowa z dwoma przewodami odgromowymi 
 

Impedancja  tej  linii  dla  składowej  zgodnej  można  obliczyć  z  wzoru  (2.45)  a  dla  składowej 

zerowej z zależności: 
 

 

k

k

2

k

m

mk

wk

k

0

Z

Z

Z

6

Z

2

Z

Z















 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.48) 

 

- 17 - 

 

 
gdzie: 



 

k

Z



- impedancja wzajemna przewód odgromowy 



 - przewód odgromowy 



. 

 
W  tym  przypadku  średnią  odległość  między  przewodami  odgromowymi  i  fazowymi 



m

b

 

obliczamy z wzoru: 
 

6

3

L

2

L

1

L

3

L

2

L

1

L

m

b

b

b

b

b

b

b

















 

 

 

 

 

 

 

 

(2.49) 

 
Impedancję 

k

Z



 obliczamy z zależności: 

 

 

km

b

D

lg

145

.

0

j

R

Z

z

zk

k











   

 

 

 

 

 

 

 

(2.50) 

 
gdzie: 



 



b

 - odległość miedzy przewodami odgromowymi. 

 
Prąd w przewodzie odgromowym teraz wynosi: 
 

 



















Z

Z

Z

I

3

I

I

m

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.51) 

 
2.3.4  Linia dwutorowa z dwoma przewodami odgromowymi 
 

Impedancję dla składowej zgodnej każdego z torów obliczamy z wzoru (2.45) podstawiając 

parametry danego toru. Impedancję dla składowej zerowej toru obliczamy ze wzoru: 
 

 















Z

Z

Z

2

3

Z

2

Z

Z

2
m

mI

wI

I

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.52) 

 

 















Z

Z

Z

2

3

Z

2

Z

Z

2
m

mII

wII

II

0

   

 

 

 

 

 

 

 

(2.53) 

 
W przypadku linii dwutorowej występuje dodatkowa impedancja wzajemna przewody fazowe toru 
I - przewody fazowe toru II, która bez uwzględnienia wpływu przewodów odgromowych określamy 
z zależności: 
 

 

km

b

D

lg

145

.

0

j

R

Z

II

mI

z

zk

IIk

mI











 

 

 

 

 

 

 

 

(2.54) 

 

9

II

3

L

I

3

L

II

2

L

I

3

L

II

1

L

I

3

L

II

3

L

I

2

L

II

2

L

I

2

L

II

1

L

I

2

L

II

3

L

I

1

L

II

2

L

I

1

L

II

1

L

I

1

L

II

mI

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.55) 

 
gdzie: 



 

II

1

L

I

1

L

b



 - odległość miedzy faza L1 toru I a faza L1 toru II.  

 

- 18 - 

 

 
Całkowita impedancja wzajemna tor I - tor II z uwzględnieniem przewodów odgromowych wynosi: 
 



















Z

Z

Z

2

3

Z

3

Z

3

2

m

II

I

m

II

I

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.56) 

 
Wzory (2.52), (2.53) i (2.56) uproszczono zakładając pełną symetrię obu torów oraz że: 
 











m

mII

mI

Z

Z

Z

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.57) 

 
przy czym 



m

b

 obliczamy wtedy z wzoru: 

 

6

II

3

L

II

2

L

II

1

L

I

3

L

I

2

L

I

1

L

m

b

b

b

b

b

b

b

















 

 

 

 

 

 

 

(2.58) 

 
Prądy w przewodach odgromowych obliczamy z wzoru (2.51). 
 
2.3.5  Wyznaczenie schematu zastępczego linii 
 

W  celu  określenia  schematów  zastępczych  omawianych  linii,  w  oparciu  o  podane  powyżej 

wzory na impedancję dla składowej zerowej każdego z torów oraz impedancję wzajemną przewody 
fazowe toru  I -  przewody  fazowe toru  II, należy zbudować macierz impedancyjną linii zwartej  na 
jej jednym końcu (przy takim założeniu wyprowadzano wzory na impedancje torów i impedancję 
wzajemną  w  oparciu  o  wymiary  geometryczne  linii).  Dla  linii  dwutorowej  nie  połączonej  z  obu 
końców (przypadek najbardziej ogólny) macierz taka ma postać: 
 

 

 

 























II

II

I

m

II

I

m

I

Lz

Z

Z

Z

Z

0

0

0

3

3

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.59) 

 
Macierz tą należy odwrócić w celu otrzymania macierzy admitancyjnej linii zwartej: 
 

 

 

 

 





 

 





 

 





 

 

 











































































2

0

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

0

0

3

3

3

3

3

3

II

I

m

II

I

I

II

I

m

II

I

II

I

m

II

I

m

II

I

II

I

m

II

I

m

II

I

II

Lz

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Y

 

 

 

 

(2.60) 

 
Macierz admitancyjną linii zwartej zapiszemy w prostszej postaci: 
 

 

 

 

 

 















II

I

Lz

Y

Y

Y

Y

0

0

0

0

0

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.61) 

 
W  celu  otrzymania  macierzy  admitancyjnej  linii  nie  zwartej  należy  każdy  element  powyższej 
macierzy pomnożyć przez macierz jedynkową postaci: 
 

















1

1

1

1

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.62) 

 

 

- 19 - 

 

W wyniku otrzymujemy macierz admitancyjną linii włączonej pomiędzy węzłami I-I

'

 dla toru 1-go 

oraz II-II' dla toru 2-go: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

I

II

I

I

I

I

II

I

I

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L























































0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Y

 

 

 

 

 

 

(2.63) 

 
czyli: 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

'

'

3

3

3

3

3

3

3

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

II

II

I

I

II

II

I

I

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

M

Z

I

I

II

I

m

II

I

m

I

I

II

I

m

II

I

m

II

I

m

II

I

m

II

II

II

I

m

II

I

m

II

II

L

































































































Y

 

 

 

 

(2.64) 

 
gdzie: 
 

 

 





2

0

0

3

II

I

m

II

I

Z

Z

Z

M











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.65) 

 
Elementy  wzajemne  macierzy  z  równania  (2.64)  wzięte  ze  znakiem  minus  to  admitancje  gałęzi 
schematu  zastępczego  podane  w  tabl.  2.1  w  wierszu  14  (podane  tam  impedancje  są  równe 
odwrotności admitancji). Ponieważ w macierzy admitancyjnej brak zer tzn., że schemat zastępczy 
będzie wielobokiem  zupełnym  o czterech wierzchołkach  - mamy wtedy tzw. schemat kopertowy. 
Suma  elementów  danego  wiersza  to  admitancja  gałęzi  pomiędzy  danym  węzłem  a  węzłem 
odniesienia jednak przy tak tworzonej macierzy 

 

L

0

Y

 wielkości te zawsze będą równe zeru. 

W przypadku, gdy linia dwutorowa pracuje z połączonymi torami na jednym końcu np. węzły 

I'  oraz  II'  tworzą  jeden  węzeł  I'  to  macierz  admitancyjną  tej  linii  otrzymujemy  dodając  do  siebie 
wiersz I' i II' a następnie kolumnę I' z II' w macierzy (2.63). W wyniku tej operacji otrzymamy: 
 

 

 

 

 





 

 

 





 

 

 





 

 





 

 

 





 

II

I

I

II

I

I

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

















































0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

Y

 

 

(2.66) 

 

 

 

 





 





 





 





 

II

I

I

II

I

I

M

Z

M

Z

Z

M

Z

M

Z

Z

M

Z

Z

M

Z

M

Z

Z

M

Z

II

II

I

m

II

II

I

m

II

I

m

II

II

I

m

II

II

I

m

II

I

m

II

II

L

'

'

3

3

3

3

3

3

0

0

0

0

0

0

0



















































































Y

   

(2.64) 

 

 

- 20 - 

 

Schemat zastępczy tej linii będzie trójkątem.  
 

1 

2 

3 

4 

5 

11  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami  na  obu 
końcach 

 

a

Z  

b

Z  

I  

II 

 

 

 

 

 

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z





 

 

   





 

 

   





 

II

mI

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

mI

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z





























 

12  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami 

na 

jednym końcu 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z  

I  

II 

 

 

 

 

 

 









c

1

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

 

 

   





 

 

   





 

 

   





II

mI

2

II

mI

II

0

I

0

c

0

II

mI

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

mI

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z









































 

13  Linia 

dwutorowa 
pracująca 

z 

połączonymi 
torami 

na 

jednym końcu 

 

a

Z  

b

Z  

c

Z

 

I

 

II 

 

 

 

 

 

 

0

Z

Z

Z

Z

Z

c

1

II

1

b

1

I

1

a

1







 

 

 

 

 

 

II

mI

c

0

II

mI

II

0

b

0

II

mI

I

0

a

0

Z

3

Z

Z

3

Z

Z

Z

3

Z

Z























 

14  Linia 

dwutorowa 
pracująca  z  nie 
połączonymi 
torami  na  obu 
końcach 

 

a

Z  

b

Z

b

Z  

c

Z  

I  

II 

c

Z  

c

Z



 

c

Z



 

 

 

 

 

 

 









c

1

II

1

b

1

I

1

a

1

Z

Z

Z

Z

Z

 

 

   





 

 

   





 

 

   





II

mI

2

II

mI

II

0

I

0

c

0

I

0

2

II

mI

II

0

I

0

b

0

II

0

2

II

mI

II

0

I

0

a

0

Z

3

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z

Z

Z

3

Z

Z

Z





























 

 

Powyższa  metodologia  ma  charakter  ogólny  i  może  być  stosowana  dla  linii  wielotorowych 

np.  do  aktualnie  projektowanej  linii  czterotorowej  (dwa  tory  na  napięciu  400  kV  i  dwa  tory  na 
napięciu  220  kV).  Brakuje  tutaj  jedynie  omówienia  przypadku,  gdy  linie  równoległe  są  różnych 
napięć  i  występuje  pomiędzy  nimi  przesunięcie  fazowe.  Obecnie  buduje  się  wiele  linii 
napowietrznych z przewodami izolowanymi o napięciu znamionowym 15 kV (lub 20 kV) i 0,4 kV 
na  wspólnym  słupie.  Przesunięcie  fazowe  pomiędzy  takimi  liniami  wynosi  150

o

,  co  wynika 

z obecności pomiędzy tymi liniami transformatora Dy5 lub Yz5. Metodologia tworzenia schematu 
zastępczego takich linii nie będzie tutaj omówiona a można ją znaleźć w [2]. 
 
 
 
 
 
 
 

 

- 21 - 

 

3. 

OPIS

 

UŻYTKOWANIA

 

PROGRAMU

 

ZWAK31

 

 

 
3.1.  Ogólna charakterystyka programu 
 
 

Programem  ZWAK31  można  obliczać  wielkości  zwarciowe  początkowe  przy  pojedynczym 

zwarciu symetrycznym lub niesymetrycznym, w miejscu zwarcia i w dowolnym miejscu sieci. Sieć 
może  być  dowolną,  wielonapięciową  siecią.  Rozpatrywana  sieć  może  być  ze  skutecznie  lub 
nieskutecznie  uziemionym  punktem  neutralnym  lub  być  siecią  gdzie  znajdują  się  oba  typy  sieci. 
Możliwość jednoczesnego modelowania sieci ze skutecznie lub nieskutecznie uziemionym punktem 
neutralnym lub sieci gdzie znajdują się oba typy ww. sieci jest dużym udogodnieniem. 
 

Wyniki  obliczeń  program  podaje  we  współrzędnych  fazowych  i  w  składowych 

symetrycznych,  w  jednostkach  mianowanych  i  w  jednostkach  względnych.  W  wynikach  obliczeń 
uwzględniona  jest  transformacja  prądów  i  napięć  przez  transformatory  istniejące  w  sieci,  co  do 
modułu i fazy względem miejsca zwarcia tzn. uwzględniona jest różna transformacja wielkości dla 
składowej zgodnej i przeciwnej w transformatorze o grupie połączeń Yd. W programie parametry 
sieci  wczytywane są z klawiatury komputera lub z dysku. W programie  przewidziano możliwość 
wprowadzenia  dowolnej  zmiany  we  wczytanych  danych  wejściowych  praktycznie  w  dowolnym 
momencie wykonywania obliczeń np. po pomyłce w trakcie wczytywania danych lub, gdy chcemy 
w trakcie obliczeń zmienić jedną z wczytanych danych. W wielu miejscach programu przewidziano 
procedury  kontrolujące  odczytywane  dane  wejściowe  i  uniemożliwiające  wczytywanie  danych 
niezgodnych  z  przyjętymi  założeniami  np.  nie  można  podać  dwukrotnie  tego  samego  numeru 
gałęzi. 
 

Podstawową wielkością potrzebną dla tych obliczeń są impedancje własne i wzajemne będące 

elementami  macierzy  impedancyjnej  węzłowej  sieci 

Z

  dla  poszczególnych  składowych.  Macierz 

impedancyjną  węzłową  sieci  obliczamy  z  wykorzystaniem  techniki  macierzy  rzadkich  w  oparciu 
o macierz admitancyjną węzłową 

Y

. W programie: 



  macierz  Y  rozkładamy za pomocą metody bifaktoryzacji,  



 

impedancje własną lub wzajemne obliczamy za pomocą metody wektorów rzadkich. 

 

W przypadku wykonywania obliczeń zwarć doziemnych w sieci z nieskutecznie uziemionym 

punktem neutralnym należy w schematach zastępczych gałęzi uwzględnić ich elementy poprzeczne 
(pojemności).  W  tym  celu  program  ZWAK31  został  wyposażony  w  procedurę,  która  dla  linii 
napowietrznych i kablowych średnich napięć oblicza ich impedancje podłużna i poprzeczne. 
 
3.2.  Wczytywanie danych wejściowych 
 
 

Mając  za  zadanie  wykonanie  obliczeń  zwarciowych  za  pomocą  programu  ZWAK31 

w konkretnej sieci należy: 
1. 

Narysować schemat zastępczy tej sieci dla składowej zgodnej i zerowej. 

2. 

Przyjmując odpowiednią moc podstawową obliczyć impedancje (rezystancje i reaktancje) dla 
składowej zgodnej, przeciwnej i zerowej każdej gałęzi rozpatrywanej sieci. 

3. 

Zbudować  jeden  wspólny  schemat  sieci  dla  obu  składowych  wprowadzając  w  obu  tych 
schematach  dodatkowe  gałęzie  o  bardzo  dużych  lub  bardzo  małych  impedancjach 
odwzorowujące  przerwy  lub  połączenia  w  schematach  dla  składowej  zgodnej  i  zerowej. 
W praktyce  impedancje  te  powinny  mieć  wartość  największą  (najmniejszą),  jaką  można 
wprowadzić  za  pomocą  programu.  W  praktyce  przerwę  (



)  modelujemy  za  pomocą  liczby 

999999.  Dla  różnych  elementów  sieci  elektroenergetycznej  w tab. 2.1  podano  praktyczny 
sposób postępowania w tych przypadkach.  

4. 

W  powyższym  schemacie  ponumerować  wszystkie  węzły  i  gałęzie  dowolnymi  liczbami 
naturalnymi, przy czym  węzeł odniesienia musi mieć numer zero. Zgodnie z rozdziałem 2 
węzeł odniesienia przyjmujemy w umyślonym przewodzie powrotnym. 

 

- 22 - 

 

5. 

Dla każdego węzła podać napięcie znamionowe oraz określić kąt przesunięcia napięcia w tym 
węźle  w  stanie  jałowym  względem  węzła,  w  którym  przyjęliśmy  że  ma  fazę  zero  (może  to 
być dowolny węzeł). 

6. 

Wczytać  dane  o  topologii  sieci  i  impedancjach  gałęzi  (w  jednostkach  względnych)  do 
komputera, przy czym dla gałęzi mamy do wyboru dwa sposoby postępowania: 



 

wczytujemy impedancje gałęzi, 



 

wczytujemy długość linii oraz rodzaj linii. 

W tym drugim przypadku program sam oblicza impedancje wzdłużną oraz poprzeczną gałęzi. 
Z tych impedancji tworzy  czwórnik  typu 



. Powoduje to,  że w przypadku zwarcia w sieci 

z nieskutecznie uziemionym punktem neutralnym prąd w takiej gałęzi nie odpowiada prądowi 
rzeczywistemu.  Można  temu  zapobiec  wprowadzając  przed  daną  gałąź  dodatkową  gałąź 
o bardzo małej impedancji i obliczając prąd w tej gałęzi zamiast w następnej. 

7. 

Wczytać napięcia znamionowe i fazę napięcia w każdym węźle. 

8. 

Wczytać następujące dane o źródłach prądu zwarciowego: 



 

numery gałęzi z generatorem, podane w punkcie 6; 



 

część rzeczywistą i urojoną siły elektromotorycznej każdego generatora. 

9. 

Wczytać dane sterujące obliczeniami, do których należą: 



  miejsce zwarcia , 



  rodzaj zwarcia, 



  wartość rezystancji i reaktancji przejścia w miejscu zwarcia,  



 

rodzaj obliczeń. 

Dane wejściowe do programu ZWAK31 wczytywane są do komputera w trybie konwersacyjnym. 
W programie przewidziano możliwość wprowadzenia dowolnej zmiany we wczytywanych danych 
wejściowych po wykonaniu wczytywania tych danych lub po wykonaniu części obliczeń. 
 

W  ramach  przygotowywania  się  do  wykonania  ćwiczenia,  w  domu  dla  zadanej  przez 

prowadzącego sieci należy wykonać punkty od 1) do 5). 
 
3.3.  Wyniki obliczeń 
 
 

Wyniki  obliczeń  za  pomocą  programu  ZWAK31  składają  się  z  kilku  typów  wydruków, 

a mianowicie: 
1. 

Wydruk aktualnej bazy danych do obliczeń. 

2. 

Wydruk wartości prądu w gałęziach, w stanie normalnym, we współrzędnych fazowych. 

3. 

Wydruk wartości napięć w węzłach, w stanie normalnym, we współrzędnych fazowych. 

4. 

Wydruk  wartości  prądu  w  miejscu  zwarcia  we  współrzędnych  fazowych  i  składowych 
symetrycznych,  przy  czym  fazy  wszystkich  wielkości  obliczanych  za  pomocą  programu  są 
liczone przy założeniu, że napięcie wymuszające jest położone w osi rzeczywistych. 

5. 

Wydruk  wartości  napięcia  w  miejscu  zwarcia  we  współrzędnych  fazowych  i  składowych 
symetrycznych. 

6. 

Wydruk  wartości  napięcia  w  dowolnym  węźle  we  współrzędnych  fazowych  i  składowych 
symetrycznych oraz wartości napięć międzyprzewodowych. 

7. 

Wydruk  wartości  prądu  w  dowolnej  gałęzi  sieci  we  współrzędnych  fazowych  i  składowych 
symetrycznych. Fazy prądu są tu określane przy założeniu, że prąd w gałęzi płynie od węzła 
początkowego  do  końcowego.  W  przypadku,  gdy  jest  odwrotnie  należy  fazę  prądu  zmienić 
o 180

o

. 

W  wydrukach  uwzględniona  jest  transformacja  prądu  i  napięcia  przez  istniejące  w  sieci 
transformatory. Transformacja ta jest wykonana, co do modułu i  fazy, a  określana jest względem 
miejsca  zwarcia.  W  przypadku,  gdy  wektory  prądu  lub  napięcia  tworzą  układy  niesymetryczne, 
uwzględniona jest różna transformacja dla składowej zgodnej i przeciwnej. 
 
 
 

 

- 23 - 

 

4. 

LITERATURA 

 
[1] 

Anderson P. M.: Analysis of Faulted Power Systems. The Iowa State University Press, Ames 
1973.  

[2] 

Bernas S., Ciok Z.: Modele matematyczne elementów systemu elektroenergetycznego. WNT, 
Warszawa 1977. 

[3] 

Kacejko  P.,  Machowski  J.:  Zwarcia  w  sieciach  elektroenergetycznych.  W.N.T.  Warszawa 
1993. 

[4] 

Kobosko S.: Obliczanie zwarć w systemach elektroenergetycznych. W.P.W. Warszawa 1984. 

[5] 

Kończykowski  S.,  Bursztyński  J.:  Zwarcia  w  układach  elektroenergetycznych.  W.N.T., 
Warszawa 1965. 

[6] 

Kowalski Z.: Teoria zwarć w układach elektroenergetycznych. W.P.Ł. Łódź 1988. 

[7] 

Stagg  G.W.,  El-Abiad  A.H.:  Computer  Methods  in  Power  System  Analysis.  Mc  Graw-Hill, 
New York, 1968. 

 

 

- 24 - 

 

ZAŁĄCZNIK

 NR 

1:

 

O

BLICZANIE ZWARĆ SYMETRYCZNYCH

 

 
1. 

Sieć do obliczania zwarć 

 
Dana jest wielonapięciowa sieć elektroenergetyczna przedstawiona na rys. 1 oraz 2. 
 

 

Rys.  1 

Schemat sieci dla obliczania zwarć. 

 
Tabl. 1 

Dane znamionowe elementów z rys. 1. 

Symbol Dane znamionowe elementu 

1 

2 

G1 

%

15

X

kV

75

.

15

U

MVA

250

S

d

n

n









 

G2 

%

12

X

kV

3

.

6

U

MVA

25

S

d

n

n









 

T1 

kW

750

P

%

14

U

kV

75

.

15

U

kV

121

U

MVA

250

S

cu

z

nd

ng

n















 

YNd11; rdzeń trójkolumnowy 

T2 

11

YNd

kW

128

P

%

11

U

kV

3

.

6

U

kV

121

U

MVA

25

S

cu

z

nd

ng

n















 

rdzeń trójkolumnowy 

T3 

kW

128

P

%

11

U

kV

75

.

15

U

kV

121

U

MVA

25

S

cu

z

nd

ng

n















 

YNd11; rdzeń trójkolumnowy 

T4 

11

YNynd

kW

700

P

kW

900

P

kW

950

P

%

0

.

9

U

%

5

.

12

U

%

5

.

15

U

kV

15

U

kV

115

U

kV

400

U

M VA

50

/

M VA

250

/

M VA

250

S

w

d

cu

w

g

cu

d

g

cu

w

d

z

w

g

z

d

g

z

nw

nd

ng

n













































 

rdzeń pięciokolumnowy 

 
 

 

- 25 - 

 

cd. tabl. 

1. 

1 

2 

T5 

5

Dyn

kW

6

.

6

P

%

6

U

kV

4

.

0

U

kV

75

.

15

U

kVA

630

S

cu

z

nd

ng

n















 

rdzeń trójkolumnowy 

At 

11

Nd

Y

kW

520

P

kW

540

P

kW

850

P

%

20

U

%

34

U

%

10

U

kV

30

U

kV

115

U

kV

220

U

M VA

50

/

M VA

160

/

M VA

160

S

auto

w

d

cu

w

g

cu

d

g

cu

w

d

z

w

g

z

d

g

z

nw

nd

ng

n













































 

rdzeń pięciokolumnowy 

UE1 

 

 

2

.

1

X

X

M VA

10000

S

kV

220

U

1

0

z

n







 

UE2 

 

 

8

.

1

X

X

M VA

25000

S

kV

400

U

1

0

z

n







 

L1 

 

 

 

km

50

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L2 

 

 

 

km

20

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L3 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L4 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

41

.

0

X

km

125

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L5 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

41

.

0

X

km

125

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L6 

 

 

 

km

40

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

 
Tabl. 2 

Dane znamionowe dławików przeciwzwarciowych U

n

= 6kV. 

 

n

I  

A 

250 

250 

400 

400 

630 

630 

630 

1000  1000  1000  2000 

U



 

% 

4 

6 

4 

6 

5 

6 

8 

6 

8 

10 

10 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

- 26 - 

 

 

L1 

L5 

L2 

L3 

L4 

C 

A 

B 

D 

T4 

15 kV 

T4 

UE2 

110 kV 

UE1 

AT 

L6 

15 kV 

400 kV 

6 kV 

15 kV 

15 kV 

0,4 kV 

6 kV 

220 kV 

15 kV 

T2 

T2 

T2 

G2 

G2 

G2 

T3 

T3 

T5 

T1 

T1 

G1 

G1 

D1 

D1 

D2 

E 

F 

G 

H 

I 

J 

K 

L 

M 

N 

K1 

K1 

R 

P 

L7 

Rys.  2 

Schemat sieci dla obliczania zwarć. 

 
Tabl. 3 

Dane znamionowe elementów z rys. 2. 

Symbol Dane znamionowe elementu 

1 

2 

G1 

%

12

X

kV

3

.

6

U

MVA

15

S

d

n

n









 

G2 

%

15

X

kV

5

.

10

U

MVA

150

S

d

n

n









 

T1 

11

YNd

kW

128

P

%

11

U

kV

3

.

6

U

kV

121

U

MVA

25

S

cu

z

nd

ng

n















;       

rdzeń trójkolumnowy 

T2 

kW

550

P

%

14

U

kV

75

.

15

U

kV

121

U

MVA

150

S

cu

z

nd

ng

n















 

rdzeń trójkolumnowy 

T3 

kW

128

P

%

11

U

kV

75

.

15

U

kV

121

U

MVA

25

S

cu

z

nd

ng

n















 

YNd11; rdzeń trójkolumnowy 

T4 

11

YNynd

kW

700

P

kW

900

P

kW

950

P

%

0

.

9

U

%

5

.

12

U

%

5

.

15

U

kV

15

U

kV

115

U

kV

400

U

M VA

50

/

M VA

250

/

M VA

250

S

w

d

cu

w

g

cu

d

g

cu

w

d

z

w

g

z

d

g

z

nw

nd

ng

n













































 

rdzeń pięciokolumnowy 

T5 

5

Dyn

kW

6

.

6

P

%

6

U

kV

4

.

0

U

kV

75

.

15

U

kVA

630

S

cu

z

nd

ng

n















 

rdzeń trójkolumnowy 

 
 
 
 

 

- 27 - 

 

cd. tabl. 

3. 

 

1 

2 

At 

11

Nd

Y

kW

520

P

kW

540

P

kW

850

P

%

20

U

%

34

U

%

10

U

kV

15

U

kV

115

U

kV

220

U

M VA

50

/

M VA

160

/

M VA

160

S

auto

w

d

cu

w

g

cu

d

g

cu

w

d

z

w

g

z

d

g

z

nw

nd

ng

n













































 

rdzeń pięciokolumnowy 

UE1 

 

 

1

.

1

X

X

M VA

12000

S

kV

220

U

1

0

z

n







 

UE2 

 

 

8

.

1

X

X

M VA

22000

S

kV

400

U

1

0

z

n







 

L1 

 

 

 

km

50

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L2 

 

 

 

km

50

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L3 

 

 

 

km

20

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L4 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L5 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

41

.

0

X

km

125

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L6 

 

 

 

km

30

L

km

07

.

1

X

km

41

.

0

X

km

125

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

L7 

 

 

 

km

40

L

km

07

.

1

X

km

42

.

0

X

km

24

.

0

R

kV

110

U

k

0

k

1

k

1

n

















 

 
 
2. 

Wykonanie ćwiczenia 

 
1. 

Wczytać przygotowane dane wejściowe do programu ZWAK31 opisujące sieć rys. 1 lub 2. 

2. 

Sprawdzić czy dla stanu przed zwarciem wszystkie napięci w węzłach wynoszą 1,05 jw. 

3. 

Dla zwarcia trójfazowego w wybranym węźle wykonać obliczenia:  



 

prądów i napięć w miejscu zwarcia, 



 

prądów w wybranych gałęziach, 



 

napięć w wybranych węzłach. 

4. 

Sprawdzić  czy  suma  prądów  zwarciowych  płynących  w  gałęziach  jest  równa  zeru  dla 
wybranego węzła. 

5. 

Wykonać  obliczenia  wielkości  zwarciowych  koniecznych  dla  wyznaczenia  impedancji 
widzianej z jednego końca wybranego elementu. 

6. 

Określić  parametry  dławika  D1,  aby  moc  zwarciowa  przy  zwarciu  w  punkcie  K1  była 
mniejsza od 100 MVA. Prąd obciążenia przyjąć równy 350 A (200A, 500 A). 

7. 

Pomiędzy szyny M i N sieci włączyć dławik szynowy D2 o prądzie 1000 A, 10%. Określić 
wpływ  tego  dławika  szynowego  na  wielkości  zwarciowe  w  tym  na  napięcie  w  sąsiednim 
węźle. 

8. 

Wykonać poprzedni punkt z wyłączonym jednym z transformatorów T2. 

 
3. 

Wykonanie sprawozdania 

 
W sprawozdaniu należy zamieścić: 



 

Obliczenia impedancji elementów sieci z rys. 1 lub 2.