Temat: Prędkość jako wektor.
Prędkość jest wielkością wektorową, bo ma nie tylko wartość, ale i kierunek w przestrzeni.
Wielkości skalarne, takie jak temperatura, masa, objętość charakteryzuje tylko jedna liczba, bo nie mają kierunku
w przestrzeni.
Jak moŜna określić kierunek w przestrzeni? Strzałką. Tej strzałce dodamy odpowiednią długość oznaczającą
wartość prędkości i mamy wektor.
Matematycy wpadli na sposób jak za pomocą liczb określić kierunek i zarazem długość wektora. MoŜemy podać
współrzędne punktu początkowego i końcowego strzałki. Do tego trzeba aŜ 6 liczb.
W naszym przypadku początek wektora to punkt (2,1,0), a koniec (4,4,1). Bywa, Ŝe punkt początkowy jest waŜny.
W wielu przypadkach wystarczy jednak podać współrzędne wektora, które określają boki prostopadłościanu, który
go zawiera. Wtedy wystarczą trzy liczby.
Współrzędne wektora piszemy w nawiasach kwadratowych. W przypadku wektora z rysunku mamy [2,3,1]. Ściśle
biorąc współrzędne wektora podają o ile współrzędne końca wektora są większe niŜ początku. Jeśli są mniejsze to
współrzędne są ujemne.
Ale wektor to nie jest byle strzałka. Normalnych strzałek się nie dodaje ani się nie mnoŜy przez liczby. Wektory
moŜna nawet odejmować od siebie. Dziś powiemy o dodawaniu.
Beczka o prędkości 3 m/s toczy się po samochodzie o prędkości 4 m/s raz do przodu raz do tyłu.
Widzimy, Ŝe na skutek ruchu samochodu oraz beczki po samochodzie raz ma ona prędkość względem ziemi 7 m/s
a raz tylko 1 m/s.
Dla wektorów dodawanie 3 i 4 moŜe dać 7 lub 1. Ktoś jednak moŜe powiedzieć, ze w drugim przypadku mamy
odejmowanie wektorów. Wcale nie, cały czas jest dodawanie. Z dodawania moŜe nam wyjść nawet 5.
A takŜe 6, 3 . 2. – kaŜda liczba od 1 do 7.
Odkryliśmy regułę trójkata dodawania wektorów:
Aby dodać dwa wektory w końcu pierwszego umieszczamy początek drugiego. Wektor wypadkowy ma
początek w początku pierwszego a koniec w końcu drugiego.
Czy kolejność dodawania jest waŜna? Łatwo sprawdzić Ŝe nie.
Praca domowa
1.
Znajdź graficznie wektor prędkości wypadkowej:
2
1
v
v
+
1
2
v
v
+
3
2
v
v
+
3
1
v
v
+
2.
Korzystając z osi układu współrzędnych podaj współrzędne wektorów
1
v
= [ ? , ? ],
2
v
= [ ? , ? ],
3
v = [ ? , ? ].
Temat: Zadania na składanie prędkości.
Zad 1. Motorówka płynąc z prądem rzeki ma prędkość v
1
= 5 m/s a pod prąd v
2
= 3m/s. Jaka jest prędkość nurtu, a
jaka łódki względem wody?
Rozwiązanie:
Prędkość w dół rzeki jest sumą prędkości łódki względem wody i samej wody. Natomiast prędkość w górę rzeki
jest prędkością względem wody pomniejszoną o prędkość nurtu.
Choć problem jako prosty tego nie wymaga moŜemy narysować wektory:
Do szarego wektora łódki po stojącej wodzie dokłada się niebieski wody, raz go powiększając, raz zmniejszając.
MoŜemy zatem zapisać układ równań:
v
ł
+ v
w
= 5
v
ł
– v
w
= 3
Uzyskujemy v
ł
= 4 m/s, a v
w
= 1 m/s.
Zad 2. Sęp leci nad pustynią w kierunku poziomym. Ma szybkość 10 m/s. Wpada w komin powietrzny o prędkości
wznoszenia 2 m/s i krąŜąc w nim po spirali wzlatuje na wysokość nawet kilku kilometrów, z której łatwo wypatrzy
padlinę. Znajdź graficznie wektor prędkości wypadkowej, oblicz jej wartość i zmierz kątomierzem lub oblicz za
pomocą funkcji trygonometrycznych wartość kąta, pod którym ptak będzie się wznosił.
Rozwiązanie:
198
,
10
104
2
10
v
2
2
≈≈≈≈
====
++++
====
Aby wyznaczyć kąt obliczmy jego sinus. Przypominamy, Ŝe sinus to stosunek przyprostokątnej leŜącej
naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej.
Zatem:
1961
,
0
198
,
10
2
sin
====
====
αααα
Funkcja sinus przyporządkowuje
kątowi liczbę będącą stosunkiem
odpowiednich boków. Ale w tej
chwili nie znamy jeszcze wartości
kąta. Do jej znalezienia naleŜy
skorzystać z funkcji, która
przyporządkowuje w odwrotną
stronę: stosunkowi boków wartość
kąta. Do okienka kalkulatora
Windowsa w widoku naukowym
wpisujemy wyliczoną wartość
sinusa, po czym zaznaczamy
przycisk inv (invert=odwrotny) a
następnie sin. Na innych
kalkulatorach moŜna to załatwić
jednym przyciskiem oznaczonym
jako arcsin lub sin
-1
.
Otrzymujemy 11, 309, co zaokrąglamy do 11 stopni.
Zad 3. Pływak potrafi płynąć z maksymalną szybkością 1 m/s, ale prędkość nurtu górskiej rzeki wynosi aŜ 2 m/s.
Na dwu przeciwległych brzegach naprzeciwko siebie jest tylko 15 metrów, z których moŜna wejść lub wyjść z
wody. Obok są strome skały. Czy pływak zdoła dotrzeć do przeciwległego brzegu tak jak zaplanował, czy będzie
musiał wyjść z wody kilka kilometrów dalej, gdzie brzeg jest znów do tego dogodny. Zakładamy, Ŝe płynąc
utrzymuje ciało prostopadle do nurtu. Narysuj wektor wypadkowej prędkości pływaka i zaznacz linię, wzdłuŜ
której będzie się poruszał. (zadanie na podstawie autentycznego zdarzenia).
Rozwiązanie
Co sekundę pływak jest o metr bliŜej przewlekłego brzegu. Na pokonanie rzeki potrzebuje zatem 10 sekund. W
tym czasie woda zniesie go o 20 metrów.
Zad 4. Motorówka ma względem wody prędkość 5 m/s. Prędkość nurtu rzeki to 3 m/s. Przystanie naprzeciwko
siebie po przeciwległych brzegach rzeki. Z jaką maksymalną prędkością moŜe łódka kursować między nimi? Pod
jakim katem do kierunku trasy powinna mieć ustawiony dziób?
Rozwiązanie
Gdyby łódka wyłączyła napęd woda znosiłaby ją co sekundę o trzy metry w prawo.
Jednak z włączonym silnikiem z punktu, w którym by się po sekundzie znalazła, moŜe
oddalić się o 5 m i dotrzeć do dowolnego punktu na zaznaczonym okręgu. Jeden z
nich leŜy na linii łączącej obie przystanie. Z rysunku i prostych obliczeń
otrzymujemy, Ŝe prędkość wypadkowa to 4 m/s.
Jak powinna się ustawić łódka pokazuje rysunek obok. Wynika z niego, Ŝe sinα = 0,6.
Za pomocą kalkulatora z funkcją odwrotną do sinusa znajdujemy , Ŝe α = 38,86º.
Zad 5. Ta sama motorówka o prędkości 5 m/s płynie w kierunku miejsca na przeciwległym brzegu widocznego
pod katem 45º z przystani. Prędkość nurtu jak poprzednio 3 m/s. Jaką wypadkową prędkość rozwinie łódka? Z
jaką wypadkową prędkością będzie wracać? Zrób odpowiedni rysunek i zmierz linijką długość wektora prędkości,
wyraź w m/s.
Rozwiązanie
Wynik pomiaru linijką daje ok. 3,3 cm w pierwszym i 1,2 cm w drugim przypadku. PoniewaŜ przyjęliśmy, Ŝe
jedna kratka to 1 m/s to prędkość z prądem wynosi około 6,6 m/s a pod prąd zaledwie 2,4 m/s.
Praca domowa
Zad 1. Balonik leci do góry z prędkością 2 m/s. jednocześnie wiatr znosi go w bok z szybkością 0,5 m/s. Znajdź
graficznie wartość wypadkowej prędkości. Za pomocą obliczeń na kalkulatorze naukowym wyznacz kąt o jaki tor
balonika odchyla się od pionu.
Zad 2. Powtórz zadanie piąte z lekcji wykonując rysunki i pomiary, gdy motorówka ma dotrzeć do punktu P
leŜącego w odległości od drugiej przystani równej połowie szerokości rzeki.
Zad 3. Pływak z zadania 3 z lekcji miałby szansę przepłynąć na drugi brzeg, gdyby część wysiłku skierował na
pokonanie nurtu wody. Znajdź graficznie, z jaką wypadkową prędkością, by się w efekcie poruszał, gdyby
popłynął po linii zaznaczonej na rysunku. Zmierz linijką wartość tej prędkości.
ZauwaŜ, Ŝe aby wylądować nie na skraju, a bliŜej środka odpowiedniego do tego fragmentu brzegu, musiałby
więcej wysiłku wkładać w pokonanie prądu rzeki, a mniej na przemieszczanie się w poprzek. To wydłuŜyłoby czas
przeprawy.
