Matematyka dyskretna 

AGH 

 

 

DZIAŁ ZLICZANIE – cz. II 

wszystkie zadania warte są 1 punkt 

 
 
Zad 1. 
Funkcja g nazywa się funkcją odwrotną do funkcji f, jeśli domena (dziedzina) g jest zbiorem 
wartości f, jeśli g (f (x)) = x dla każdego x w domenie (dziedzinie) f,  
oraz jeśli f (g (y)) = y dla każdego y w zbiorze wartości f. 
 

a.  Wyjaśnij, dlaczego funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada funkcję 

odwrotną.  

b.  Wytłumacz dlaczego jeżeli funkcja posiada funkcję odwrotną to posiada tylko jedną taką 

funkcję. 

 
Zad 2. 
Proszę wypisać wszystkie funkcje ze zbioru {1,2,3} na zbiór {a, b}. Proszę wskazać funkcje 
iniekcje oraz suriekcje. 
 
Zad 3. 
Wypisz zbiór wszystkich 3 elementowych permutacji zbioru {1, 2, 3, 4}, który jest 
równoważny do (relacją równoważności jest permutacja) 

a.  243 
b.  123 
c.  142 
d.  134 

Czy któreś z tych zbiorów mają takie same permutacje? 
 
Zad 4.  
Zadania należy wykonać korzystając z odpowiednich wzorów na permutacje, kombinacje, itd. 
tłumacząc za każdym razem możliwość ich użycia. 

a.  Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób 

(każda z osób może otrzymać więcej niż jedną tabliczkę)? 

b.  Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób 

(każda z osób może otrzymać najwyżej jedną tabliczkę)?  

c.  Na ile sposobów k identycznych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n 

osób (każda z osób może otrzymać więcej niż jedną tabliczkę)? 

d.  Na ile sposobów k różnych tabliczek czekolady można rozdzielić pomiędzy n osób 

(każda z osób może otrzymać najwyżej jedną tabliczkę)? 

e.  Jaka jest ilość funkcji różnowartościowych f  z {1, 2, . . . ,k} do {1, 2, . . . ,n}? 
f.  Jaka  jest ilość funkcji f  z {1, 2, . . . ,k} do {1, 2, . . . ,n}? 
g.  Na ile sposobów można wybrać k-elementowy podzbiór ze zbioru n-elementowego? 
h.  Na ile sposobów k-elementowy wielozbiór może być utworzony z n-elementowego 

zbioru? Nie ma takiej odpowiedzi w podanych: (2k-1 po k) 

i.  Na ile sposobów k-najwyższych rangą urzędników w Polsce może zostać wybranych z 

pośród n-osób? (Ma to być uporządkowana lista, a nie zbiór.) 

j.  Na ile sposobów k cukierków (niekoniecznie tego samego rodzaju) może zostać 

wybranych z pośród n rodzajów? 

k.  Na ile sposobów k dzieci może wybrać jeden cukierek (każdy o innym smaku) z 

pośród n różnych smaków cukierków? 

 
 
Zad 5. 

a.  Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b 

sąsiadowały z sobą? 

b.  Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b 

nie sąsiadowały z sobą? 

c.  Na ile sposobów można ustawić litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejności, by litery a i b 

sąsiadowały z sobą, ale litery a i c nie? 

 
Zad 6. 

a.  Na ile sposobów można rozmieścić 14 przedmiotów (jednego rodzaju) w 3 pudełkach 

tak, by w jednym z pudełek znalazło się co najmniej 8 przedmiotów? 

b.  Na ile sposobów można rozmieścić 14 przedmiotów w 3 pudełkach tak, by w żadnym 

z pudełek nie znalazło się więcej niż 7 przedmiotów? 

c.  Ile jest liczb między 0 a 999, których suma cyfr jest równa 20? Wskazówka: każda z 

cyfr musi być równa co najmniej 2; można zastosować część (b).