1
Miara łukowa kąta
Definicja
Miarą łukową kąta w kole o promieniu
r
nazywamy
stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości
promienia koła.
Jednostką miary łukowej jest radian.
90
◦
=
1
4
2πr
r
rad =
π
2
rad
180
◦
=
1
2
2πr
r
rad = π rad
1
◦
=
π
180
rad
1 rad =
180
◦
π
2
Kąty w układzie współrzędnych
Każda liczba rzeczywista może być traktowana jako miara łukowa
kąta.
3
Funkcje trygonometryczne
sin α =
y
r
cos α =
x
r
tg α =
y
x
ctg α =
x
y
4
Definicja
Funkcję postaci
y = sin x
nazywamy funkcją sinus.
Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistych (
x ∈ R
), zbiorem
wartości funkcji sinus jest przedział domknięty
[−1, 1]
(
y ∈ [−1, 1]
).
Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podstawo-
wym
T = 2π
.
5
Definicja
Funkcję postaci
y = cos x
nazywamy funkcją cosinus.
Dziedziną funkcji cosinus jest zbiór liczb rzeczywistych (
x ∈ R
),
zbiorem wartości jest przedział domknięty
[−1, 1]
(
y ∈ [−1, 1]
).
Funkcja cosinus jest funkcją parzystą i okresową o okresie podstawo-
wym
T = 2π
.
6
Definicja
Funkcję postaci
y = tg x
nazywamy funkcją tangens.
Dziedziną funkcji tangens jest zbiór
R r
(
π
2
+ kπ : k ∈ Z
)
, zbiorem
wartości funkcji tangens jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podsta-
wowym
T = π
.
7
Definicja
Funkcję postaci
y = ctg x
nazywamy funkcją cotangens.
Dziedziną funkcji cotangens jest zbiór
R r {kπ : k ∈ Z}
, zbiorem
wartości funkcji cotangens jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja cotangens jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podsta-
wowym
T = π
.
8
Definicja
Funkcję odwrotną do funkcji
f :
"
−
π
2
,
π
2
#
→ [−1, 1]
danej wzorem
f (x) = sin x
nazywamy funkcją arcsin (czyt. arkus
sinus).
arcsin : [−1, 1] →
−
π
2
,
π
2
9
Dziedziną funcji arcsin jest przedział domknięty
[−1, 1]
, przeciw-
dziedziną przedział domknięty
"
−
π
2
,
π
2
#
.
Funkcja arcsin jest funkcją rosnącą i nieparzystą.
y = sin x
⇐⇒
x = arcsin y
x ∈
−
π
2
,
π
2
y ∈ [−1, 1]
Przykład
Oblicz:
•
arcsin
√
2
2
•
arcsin (−
1
2
)
10
Definicja
Funkcję odwrotną do funkcji
f : [0, π] → [−1, 1]
danej wzorem
f (x) = cos x
nazywamy funkcją arccos (czyt. arkus
cosinus).
arccos : [−1, 1] → [0, π]
11
Dziedziną funcji arccos jest przedział domknięty
[−1, 1]
, przeciw-
dziedziną przedział domknięty
[0, π]
.
Funkcja arccos jest funkcją malejącą.
y = cos x
⇐⇒
x = arccos y
x ∈ [0, π]
y ∈ [−1, 1]
Przykład
Oblicz:
•
arccos
−
√
2
2
•
arccos 1
12
Definicja
Funkcję odwrotną do funkcji
f :
−
π
2
,
π
2
!
→ R
danej
wzorem
f (x) = tg x
nazywamy funkcją arctg (czyt. arkus tangens).
arctg : R →
−
π
2
,
π
2
13
Dziedziną funcji arctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną
przedział otwarty
−
π
2
,
π
2
!
.
Funkcja arctg jest funkcją rosnącą i nieparzystą.
y = tg x
⇐⇒
x = arctg y
x ∈
−
π
2
,
π
2
y ∈ R
Przykład
Oblicz:
•
arctg (−1)
•
arctg
√
3
14
Definicja
Funkcję odwrotną do funkcji
f : (0, π) → R
danej
wzorem
f (x) = ctg x
nazywamy funkcją arcctg (czyt. arkus tangens).
arcctg : R → (0, π)
15
Dziedziną funcji arcctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną
przedział otwarty
(0, π)
.
Funkcja arcctg jest funkcją malejącą.
y = ctg x
⇐⇒
x = arcctg y
x ∈ (0, π)
y ∈ R
Przykład
Oblicz:
•
arcctg (−1)
•
arcctg
√
3
16
Przykład
Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować
wykres funkcji:
•
y = arcsin (3x − 6) − π
•
y = 2arcctg (x + 1) −
π
2
Przykład
Rozwiąż równanie lub nierówność:
arccos
2 − x
3
= π
arctg
1
x
> arctg 9x
Przykład
Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować
wykres funkcji:
•
y = sin(arcsin x)
•
y = arcsin (sin x)
17
Podstawowe związki między funkcjami cyklometrycznymi
Dla każdego
x ∈ [−1, 1]
zachodzi:
arcsin x = − arcsin (−x) =
π
2
− arccos x
Dla każdego
x ∈ R
zachodzi:
arctg x = − arctg (−x) =
π
2
− arcctg x
18
Funkcje elementarne
Definicja
Podstawową funkcją elementarną nazywamy funkcję
stałą, potęgową, wykładniczą, logarytmiczną, trygonometryczną lub
cyklometryczną. Funkcję, którą można otrzymać z podstawowych
funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmety-
cznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcją elementarną.
Przykład
Następujące funkcje są funkcjami elementarnymi:
•
f (x) = 3x
9
− x
2
,
f (x) =
4x
2
− 1
x
5
+ 5
•
f (x) =
3
√
3x
2
+ 1,
f (x) = log
2
(x + 3)
•
f (x) = sin(arctg x + 1)
•
sh x =
e
x
− e
−x
2
,
ch x =
e
x
+ e
−x
2
19
Przykład
Uzasadnić, że funkcja
f : R → [0, +∞]
dana wzorem
f (x) = |x|
jest funkcją elementarną.
Przykład
Przykłady funkcji nieelementarnych:
• Funkcja ”signum”:
sgn x =
1
x > 0
0
x = 0
−1
x < 0
• Funkcja ”część całkowita”:
z(x) = k
jeżeli
x ∈ [k, k + 1),
k ∈ Z
20
• Funkcja Dirichleta:
D(x) =
1
x ∈ Q
0
x ∈ R r Q