4. ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO
4.1 PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
Def. 4.1.1 (transformata Laplace’a)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0,
). Transformatę Laplace’a funkcji f oznaczamy symbolem F(s) lub L{f(t)} i
definiujemy wzorem
)
(s
F
L{f(t)}
0
)
(
dt
e
t
f
st
def
,
gdzie s jest zmienną rzeczywistą. Funkcję F(s) nazywamy także L-transformatą lub obrazem funkcji f(t).
Fakt 4.1.2 (transformaty ważniejszych funkcji)
Funkcja
Transformata
1
s
1
n
t
1
!
n
s
n
t
e
s
1
t
sin
2
2
s
t
cos
2
2
s
s
Fakt 4.1.3 (warunki wystarczające istnienia transformaty Laplace’a)
Niech
1. funkcja
R
f
)
,
0
[
:
ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju na każdym przedziale [0,T], gdzie
T > 0;
2.
Ct
t
M
R
C
Me
t
f
)
(
0
0
.
Wtedy transformata Laplace’a L{f(t)} istnieje dla s > C.
Uwaga. Funkcję f spełniającą warunki 1. i 2. powyższego faktu będziemy nazywali oryginałem.
Fakt 4.1.4 (o liniowości przekształcenia Laplace’a)
Jeżeli istnieją transformaty Laplace’a funkcji f i g oraz c
R, to
1. istnieje transformata Laplace’a funkcji f + g oraz
L{f(t)+g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)};
2. istnieje transformata Laplace’a funkcji cf oraz
L{cf(t)} = cL{f(t)}.
Fakt 4.1.5 (o jednoznaczności transformaty Laplace’a)
Jeżeli funkcje ciągłe
R
g
f
)
,
0
[
:
,
mają takie same transformaty Laplace’a: F(s) = G(s), to są równe na przedziale
[0,
).
4.2 METODA OPERATOROWA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Fakt 4.2.1 (transformata n-tej pochodnej)
Jeżeli funkcja f(t) oraz jej pochodne f’(t), f’’(t), ..., f
(n-1)
(t) są oryginałami, a ponadto funkcja ta ma na przedziale (0,
) ciągłą n-
tą pochodną, to istnieje transformata L{f(t)} oraz
L{f
(n)
(t)} =
= s
n
L{f(t)} – s
n-1
f(0
+
) – s
n-2
f’(0
+
) + ... – sf
(n-2)
(0
+
) – f
(n-1)
(0
+
) =
= s
n
F(s) – s
n-1
f(0
+
) – s
n-2
f’(0
+
) + ... – sf
(n-2)
(0
+
) – f
(n-1)
(0
+
),
gdzie F(s) = L{f(t)},
)
(
lim
)
0
(
0
t
f
f
t
,
)
(
'
lim
)
0
(
'
0
t
f
f
t
, ...,
)
(
lim
)
0
(
)
1
(
0
)
1
(
t
f
f
n
t
n
.
Uwaga. Jeżeli funkcje f(t), f’(t), ..., f
(n-1)
(t) są ciągłe prawostronnie w punkcie t
0
= 0, to f(0
+
) = f(0), f’(0
+
) = f’(0), ..., f
(n-1)
(0
+
) =
f
(n-1)
(0).
