1
Optyka kryształów
1.
Dwójłomność
Rozpatrzmy promień światła padającą prostopadle na ścianę kryształu. Promień ten ulega
podwójnemu załamaniu zwanym też dwójłomnością. Polega na tym, iż wiązka światła padająca na
kryształ optycznie anizotropowy rozdziela się w tym krysztale na dwa promienie.
(Rys 1.1)
Jeden z nich zachowuje się jak promień padający na kryształ izotropowy, czyli ulega załamaniu w
płaszczyźnie wyznaczonej przez kierunek padania wiązki i prostej prostopadłej do powierzchni
padania. Promień ten nazywamy promieniem zwyczajnym i oznaczamy literą „
o
”. Drugi promień
zachowuje się inaczej i nazywamy go promieniem nadzwyczajnym i oznaczamy literą „
e
”. Promień
ten ulega załamaniu w tak zwanym przekroju głównym, czyli w płaszczyźnie zawierającej kierunek
padania i oś krystalograficzną Z kryształu. Przedstawia to (Rys 1.1) na którym wiązka pada
prostopadle na powierzchnię kryształu optycznie anizotropowego, gdzie przekrój główny to
płaszczyzna wyznaczona przez punkty ABCD.
Oś krystalograficzna Z nazywana jest także osią optyczną ze względu na jej specyficzną właściwość
(nie zawsze musi to być oś krystalograficzna Z). Polega ona na tym, że jeśli wiązka padająca miałaby
kierunek równoległy do kierunku osi optycznej, nie zaszłoby podwójne załamanie. Na wyjściu
otrzymalibyśmy jedną wiązkę (T. Penkala 1971). Matematycznie dwójłomność można wyrazić
poprzez równanie:
0
n
n
n
e
−
=
Δ
(1.1)
Podwójnemu załamaniu światła w krysztale towarzyszy zjawisko polaryzacji. W kryształach
optycznie jednoosiowych drgania świetlne należące do promienia nadzwyczajnego zachodzą zawsze
w przekroju głównym, to jest w płaszczyźnie zawierającej oś optyczną, a drgania świetlne należące do
promieni zwyczajnych są zawsze prostopadłe do przekrojów głównych.(Rys1.2)
(Rys1.2)
2
Drgania świetlne należące do promienia nadzwyczajnego, zaznaczone na ryc. 41 poziomymi
kreskami, zachodzą w przekroju głównym, zawierającym kierunek osi optycznej OO' (w
płaszczyźnie rysunku).Drgania świetlne należące do promieni zwyczajnych, zaznaczone
na (Rys 1.2) punktami, są prostopadłe do płaszczyzny drgań świetlnych promieni
nadzwyczajnych (do płaszczyzny rysunku). Tak więc jeśli do kryształu wchodzi światło
niespolaryzowane wychodzi z niego już spolaryzowane.
2.Elipsoida współczynników załamania
Współczynniki
e
n i
0
n można wyznaczyć wykreślając tak zwaną elipsoidę współczynników
załamania.
Dielektryczne własności anizotropowego kryształu można opisać poprzez wyrażenie:
j
ij
i
E
D
κ
=
(2.1)
gdzie:
•
i
D -składowa wektora indukcji pola elektrycznego
•
ij
κ
- tensor przenikalności elektrycznej dielektryka
•
j
E -składowa wektora natężenia pola elektrycznego.
Przy obraniu takiego układu współrzędnych, w którym kierunek osi
1
OX
pokrywałby się z
kierunkiem
11
κ , oś
2
OX
z
22
κ , a
3
OX z
33
κ
, możemy wykreślić elipsoidę o równaniu:
1
33
2
3
22
2
2
11
2
1
=
+
+
κ
κ
κ
X
X
X
(2.2)
Ponieważ
11
1
κ
=
n
,
22
2
κ
=
n
,
33
3
κ
=
n
równanie 2.2. możemy zapisać w następujący sposób:
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
=
+
+
n
X
n
X
n
X
(2.3)
Wykreślając powyższe równanie otrzymamy elipsoidę współczynników załamania, inaczej zwaną
indykatrysą optyczną (Rys.2.3.1).
3
(Rys.2.1)
Konstrukcja elipsoidy współczynników załamania
Wykreślmy ze środka tej elipsoidy prostą OC o kierunku zgodnym z kierunkiem wektora falowego
rozprzestrzeniającej się w krysztale fali elektromagnetycznej. Następnie wykreślmy przekrój tej
elipsoidy prostopadły do prostej OC. Przekrój ten będzie elipsą. Długości półosi tej elipsy OA i OB
będą równe współczynnikom załamania
0
n i
e
n .
Po wprowadzeniu tensora nieprzenikalności dielektryka
ij
η
, gdzie
2
1
11
1
n
=
η
,
2
2
22
1
n
=
η
,
2
3
33
1
n
=
η
równanie 2.3 przybiera postać:
1
2
3
33
2
2
22
2
1
11
=
+
+
X
X
X
η
η
η
(2.4)
W przypadku, gdy osie układu nie pokrywają się z osiami głównymi tensora nieprzenikalności
elektrycznej dielektryka, równanie indykatrysy optycznej wygląda następująco:
∑
=
=
n
j
j
ij
i
X
X
1
1
η
(dla i=1,2,3)(2.5a)
Einstein dla wygody zaproponował zapis bez znaku sumy(sumowania jesteśmy świadomi ☺)
1
=
⋅
⋅
j
ij
i
X
X
η
(2.5b)
i tą notacją posługujemy się w fizyce kryształów(i w tym opracowaniu)
Dla kryształów należących do układów
heksagonalnego, tetragonalnego i trygonalnego elipsoida
współczynników załamania jest zawsze elipsoidą obrotową dookoła osi symetrii (Rys.2.2).
4
(Rys 2.2)
Jeżeli tą osią jest oś
3
X (oś krystalograficzna Z), to równanie elipsoidy zapiszemy jako
1
2
2
3
2
0
2
2
2
0
2
1
=
+
+
e
n
X
n
X
n
X
(2.6)
Przekrój środkowy prostopadły do osi głównej i tylko ten przekrój jest kołem o promieniu
n
0
. Stąd
podwójnemu załamaniu nie ulegnie tylko taka fala świetlna, której wektor falowy jest
równoległy do osi optycznej. Oś główną nazywamy
osią optyczną, a kryształy mające
wyróżniony tylko jeden kierunek, kryształami jednoosiowymi. Kryształ nazywamy dodatnim,
gdy
(
)
0
n
n
e
−
jest dodatnie, natomiast ujemnym, gdy
(
)
0
n
n
e
−
jest ujemne.
W trzech pozostałych układach krystalograficznych,
rombowym, jednoskośnym i trójskośnym, elipsoida
współczynników załamania jest elipsoidą trójosiową (Rys 2.3).
(Rys2.3)
Ma ona dwa przekroje kołowe, a zatem i dwa uprzywilejowane kierunki wektora falowego, dla których
nie ma podwójnego załamania. Te dwa kierunki nazywam;
pierwotnymi osiami optycznymi lub krócej
osiami optycznymi, i mówimy, że kryształy i są dwuosiowe.
3.
Powierzchnia falowa
Załóżmy, że wewnątrz kryształu umieściliśmy punktowe źródło światła. Czoło emitowanej fali tworzy w
każdej chwili stale rozprzestrzeniając się powierzchnię. Wyobrażamy sobie, że w jakiejś późniejszej chwili
czoło to się zatrzymało tak utworzoną powierzchnię nazywamy
powierzchnią falową.
5
(Rys 3.1)
Kryształ jednoosiowy. W przypadku kryształu jednoosiowego powierzchnia falowa składa się z kuli i
elipsoidy obrotowej, przy czym powierzchnie te są ze sobą styczne wzdłuż osi optycznej,(Rys 3.1). Z
konstrukcji elipsoidy współczynników załamania wynika, że jednemu z tych promieni odpowiada
zawsze ten sam współczynnik załamania
n
0
, a więc i ta sama prędkość niezależnie od kierunku,
współczynnik zaś załamania odpowiadający drugiej przybiera wartości leżące między
0
n a
e
n w
zależności od kierunku wektora falowego. Tak więc powierzchnia falowa będzie się składała z dwóch
powłok: kuli (odpowiadającej promieniom zwyczajnym) i elipsoidy obrotowej dookoła osi optycznej,
stycznej do kuli przy końcach osi optycznej (powłoka ta odpowiada promieniom nadzwyczajnym).
Na rysunku 13.5 pokazana jest powierzchnia falowa odpowiadająca promieniom nadzwyczajnym.
(Rys 3.2)
Pokazuje on różnicę pomiędzy wektorem falowym a
kierunkiem promienia, widać że te dwa kierunki
nie są identyczne, np. w punkcie
P kierunkiem promienia jest kierunek OP, który nie pokrywa się z
kierunkiem normalnej do powierzchni.(pokrywałyby się dla promienia zwyczajnego).
b) Kryształ dwuosiowy. W kryształach dwuosiowych powierzchnia falowa nie jest tak prosta jak w kryształach
jednoosiowych. Przedstawia ją rysunek 3.3
(Rys 3.3)
6
4.Zjawisko elektrooptyczne.
Zjawisko elektrooptyczne, polega na zmianie współczynników załamania światła w krysztale pod
wpływem przyłożonego pola elektrycznego. Zmianę tą możemy przedstawić:
( )
(
)
....
!
2
1
0
2
+
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
+
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
=
l
k
l
k
ij
k
k
ij
ij
ij
E
E
E
E
E
E
E
E
η
η
η
η
(4.1)
Gdzie:
ijk
k
ij
r
E
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
η
- nazywamy liniowym współczynnikiem elektrooptycznym. Jest to tensor trzeciej rangi.
ijkl
l
k
ij
g
E
E
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
η
2
2
1
-nazywamy kwadratowym współczynnikiem elektrooptycznym. Jest to tensor
czwartej rangi.
Tensory te mają następującą symetrie liniowy
[ ]
V
V
2
, kwadratowy
[ ]
2
2
V
, jest to tzw. notacja Jahna
czyli odpowiednio,:
jik
ijk
r
r
=
oraz
jilk
jikl
ijlk
ijkl
g
g
g
g
=
=
=
,
5.
Zjawisko piezooptyczne i elastooptyczne.
Zmiana współczynników załamanie kryształu może być spowodowana różnymi czynnikami, nie
tylko poprzez pole elektryczne. Wpływ naprężenia mechanicznego na własności optyczne nazywa
się efektem piezooptycznym. Wpływ odkształcenia na własności optyczne kryształu to efekt
elastooptyczny.
Efekty piezooptyczny i elastooptyczny są przejawem zjawiska fotosprężystości i opisują zmiany
składowych tensora nieprzenikalności dielektryka
η
kryształu w wyniku przyłożenia do kryształu
naprężenia mechanicznego
σ lub w wyniku wystąpienia w krysztale deformacji mechanicznych ε .
Zmiany te można opisać zależnością:
kl
ijkl
ij
σ
π
η
⋅
=
Δ
(5.1)
kl
ijkl
ij
p
ε
η
⋅
=
Δ
(5.2)
gdzie
ijkl
π
są składowymi tensora efektu piezooptycznego, zaś
ijkl
p są składowymi tensora efektu
elastooptycznego.
Ze względu na fakt, że zarówno tensor naprężenia jak i tensor nieprzenikalności dielektrycznej są
symetrycznymi tensorami drugiej rangi oraz fakt, że również i zmiany tensora nieprzenikalności
wykazują zjawisko symetrii:
ji
ij
η
η
Δ
=
Δ
(5.3)
7
to zarówno tensor efektu piezooptycznego oraz tensor efektu elastooptycznego tworzą tensory
czwartej rangi, symetryczne ze względu na przestawienie dwóch pierwszych albo dwóch ostatnich
par indeksów, czyli
[ ]
2
2
V
:
jilk
jikl
ijlk
ijkl
π
π
π
π
=
=
=
(5.4)
Uwzględniając, że pomiędzy tensorami deformacji i naprężenia występują zależności opisane
poprzez tensory sprężystości
ijkl
s i sztywności
ijkl
c :
kl
ijkl
ij
s
σ
ε
=
(5.5)
kl
ijkl
ij
c
ε
σ
=
(5.6)
to również i pomiędzy tensorami efektu piezooptycznego i elastooptycznego można znaleźć związki:
klmn
ijkl
ijmn
c
p
π
=
(5.7)
klmn
ijkl
ijmn
s
p
=
π
(5.8)
Wynik pomiaru obydwu współczynników elektrooptycznych zależy również od sposobu jego
przeprowadzenia. Po przyłożeniu do kryształu pola elektrycznego może on ulec odkształceniu na
skutek odwrotnego efektu piezoelektrycznego. Odkształcenie to spowoduje zmianę współczynników
załamania na skutek efektu elastooptycznego.
Odkształcenie wywołane działaniem pola elektrycznego możemy wyrazić jako:
...
+
⋅
⋅
+
⋅
=
l
k
klij
k
kij
ij
E
E
E
d
γ
ε
(5.9)
gdzie:
•
ij
ε
- tensor odkształceń mechanicznych
•
kij
d - tensor efektu piezoelektrycznego
•
ijkl
γ
-tensor elektrostrykcji
Ograniczając się do efektów pierwszego rzędu:
kl
ijkl
k
ijk
i
ij
ij
p
E
r
ε
η
η
η
⋅
+
⋅
=
−
=
Δ
0
(5.10)
gdzie:
•
ijkl
p - tensor efektu elastooptycznego
Łącząc wzory (1.5.2) i (1.5.3) otrzymujemy:
(
)
k
kml
ijml
ijk
k
kml
ijml
k
ijk
i
ij
ij
E
d
p
r
E
d
p
E
r
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
⋅
=
−
=
Δ
0
η
η
η
(5.11)
Możliwe jest więc wprowadzenie dwóch następujących współczynników:
ε
r - właściwy liniowy współczynnik elektrooptyczny
σ
r - wtórny liniowy współczynnik elektrooptyczny
Czyli:
kml
ijml
ijk
ijk
d
p
r
r
⋅
+
=
ε
σ
(5.12)
Rozpatrując także efekty drugiego rzędu:
l
k
ijkl
mn
ijmn
k
ijk
i
ij
ij
E
E
g
p
E
r
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
=
Δ
ε
η
η
η
0
(5.13)
8
(
)
l
k
ijkl
l
k
klmn
k
kmn
ijmn
k
ijk
ij
E
E
g
E
E
E
d
p
E
r
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
Δ
γ
η
(5.14)
l
k
klmn
ijmn
l
k
ijkl
k
kmn
ijmn
k
ijk
ij
E
E
p
E
E
g
E
d
p
E
r
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
Δ
γ
η
(5.15)
(
)
(
)
l
k
klmn
ijmn
ijkl
k
kmn
ijmn
ijk
ij
E
E
p
g
E
d
p
r
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
=
Δ
γ
η
(5.16)
Analogicznie do liniowego współczynnika elektrooptycznego, możliwe jest wprowadzenie dwóch
różnych kwadratowych współczynników elektrooptycznych:
ε
g - właściwy kwadratowy współczynnik elektrooptyczny
σ
g - wtórny kwadratowy współczynnik elektrooptyczny.
Jeśli kryształ nie podlega deformacji mówi się o mierzeniu pierwotnego lub właściwego efektu
elektrooptycznego
(P.Górski W.Kucharczyk 1999).